Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Technologique
Série Techniques de la Musique et de la Danse
Métropole - Session Juin 2009

5 points

exercice 1

Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie, sans justification, la réponse choisie.
Chaque réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou une absence de réponse est comptée 0 point.

Une boîte de jeu est constituée de cartes comportant chacune une question. Chaque question porte soit sur le thème «Musique», soit sur le thème «Danse». Le quart des questions porte sur le thème «Musique» et le reste porte sur le thème «Danse». Claire et Élise, deux élèves de Terminale TMD, jouent à ce jeu. Élise tire une carte au hasard dans la boîte, puis pose la question à Claire. Chaque carte a la même probabilité d'être tirée.
On sait que :
    Lorsque l'on pose à Claire une question sur le thème «Danse», la probabilité que Claire réponde correctement est $\dfrac{3}{5}$ .
    Lorsque l'on pose à Claire une question sur le thème «Musique», la probabilité que Claire réponde correctement est $\dfrac{2}{3}$ .
On considère les évènements suivants :
    D : «la question posée porte sur le thème Danse» ;
    M : «la question posée porte sur le thème Musique» ;
    C : «Claire répond correctement à la question posée».
Dans cet exercice, A et B étant deux évènements, la probabilité de l'évènement A se note $P$ (A) et la probabilité conditionnelle de l'évènement A sachant B se note $P_{\text{B}}$ (A).
On pourra s'aider d'un arbre de probabilité.

1. La probabilité que la question posée à Claire porte sur le thème «Musique» est :

a) $\dfrac{1}{2}$

b) $\dfrac{1}{4}$

c) $\dfrac{2}{3}$

2. La fraction $\dfrac{2}{3}$ de l'énoncé est égale à la probabilité:

a) $P(\text{C} \cap \text{M})$

b) $P_{\text{C}}(\text{M})$

c) $P_{\text{M}}(\text{C})$

3. La probabilité que la question posée porte sur le thème «Musique» et que Claire y réponde correctement est :

a) $\dfrac{1}{6}$

b) $\dfrac{3}{4}$

c) $\dfrac{1}{2}$

4. La probabilité que Claire ne réponde pas correctement à la question posée

a) $\dfrac{37}{60}$

b) $\dfrac{23}{60}$

c) $\dfrac{1}{12}$

5. Sachant que Claire n'a pas répondu correctement à la question posée, la probabilité pour que la question posée porte sur le thème «Musique» est :

a) $\dfrac{5}{23}$

b) $\dfrac{1}{12}$

c) $\dfrac{1}{3}$

8 points

exercice 2

    Dans la gamme de tempérament égal :
       - l'octave est divisée en 12 demi-tons par le fait que la suite des fréquences des notes est une suite géométrique de raison $q$ , où $q$ est le nombre réel strictement positif tel que $q^{12} = 2$ ;
       - une quinte juste contient sept demi-tons ;
       - les notes d'une octave sont: DO, DO#, RE, RE#, MI, FA, FA#, SOL, SOL#, LA, LA#, SI ;
       - à chaque octave est associé un indice $n$ entier naturel ; les notes d'une octave portent l'indice de cette octave ; ainsi LA $_{3}$ correspond à la note LA de l'octave d'indice 3 et LA $_{4}$ correspond à la note LA de l'octave d'indice 4 située au dessus de l'octave d'indice 3 ;
       - la fréquence, exprimée en hertz (Hz), de la note LA $_{3}$ est 440.

    On rappelle que log désigne la fonction logarithme décimal et que pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs : $\log (ab) = \log a + \log b$ et $\log \left(\dfrac{a}{b}\right) = \log a - log b$ .
    Un son d'intensité sonore $I$ , exprimée en W.m $^{-2}$ , a un niveau sonore L( $I$ ), exprimé en décibels (dB), défini par L $(I) = 10\log \left(\dfrac{I}{I_{0}}\right)$ où $I_{0} = 10^{-12}$ W.m^-2.

Les questions l, 2 et 3 concernent la gamme de tempérament égal.

1. On ajoute une quinte juste à la note LA $_{3}$ ·
    a) Quelle note obtient-on ?
    b) Calculer la fréquence, exprimée en hertz, de la note obtenue. Donner la valeur arrondie à l'unité.

2. En ajoutant une quinte juste à une note, on obtient la note LA $_{3}$ .
    a) De quelle note est-on parti ?
    b) Calculer la fréquence, exprimée en hertz, de cette note. Donner la valeur arrondie à l'unité.

3. Le rapport de fréquences $f_{1}$ et $f_{2}$ , exprimées en hertz, de deux notes est de l'ordre de 2,3784.
On désigne par $n$ le nombre de demi-tons qui séparent les deux notes.
    a) Démontrer que résoudre l'équation $2^{\frac{n}{12}} = 2,3784$ permet de trouver le nombre $n$ .
    b) En déduire le nombre entier $n$ .

4. Un son a une intensité sonore $I_{1}$ , égale à $3,7 \times 10^{-6}$ W.m $^{-2}$ . Calculer son niveau sonore L $\left(I_{1}\right)$ . On donnera le résultat à 1 dB près.

5. Un son d'intensité sonore $I_{2}$ a un niveau sonore L $\left(I_{2}\right)$ égal à 45 dB. Déterminer une valeur approchée à 10^-8 près de l'intensité sonore $I_{2}$ exprimée en W.m^-2.

7 points

exercice 3 - Enseignement obligatoire (au choix)

On désigne par I l'intervalle [1 ; 9].
On considère la fonction $f$ définie, pour tout réel $x$ de l'intervalle I, par : $f(x) = 10 \times \dfrac{\ln (x) - 1}{x}$ où $\ln (x)$ désigne le logarithme népérien du nombre $x$ . On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle I et par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal $(O ; \vec{i},\vec{j})$ d'unité graphique 1 cm.

1. Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle I, $f'(x) = 10 \times \dfrac{2 - \ln (x)}{x^2}$ .

2. a) Résoudre, dans l'intervalle I, l'équation $2 - \ln (x) = 0$ puis l'inéquation $2 - \ln (x) > 0$ .
b) En déduire, pour tout réel $x$ de l'intervalle I, le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$ .

3. a) Résoudre, dans l'intervalle I, l'équation $f(x) = 0$ . Donner la valeur exacte de la solution.
b) Que peut-on en déduire graphiquement pour la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ ?

4. Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant. On donnera dans chaque cas la valeur décimale arrondie au centième.

$x$	1	21	e	3	4	5	7	9
$f(x)$

5. Construire, dans le repère orthonormal $(O ; \vec{i},\vec{j})$ d'unité graphique 1 cm, la courbe $\mathcal{C}$ , ainsi que la tangente parallèle à l'axe des abscisses.

7 points

exercice 4 - Enseignement renforcé (au choix)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal $(O ; \vec{u},\vec{v})$ où l'unité graphique est 2 cm.

1. On considère le point M $_{1}$ d'affixe $z_{1} = 1 - \text{i}$ .
    a) Placer le point M $_{1}$ dans le repère $(O ; \vec{u},\vec{v})$ .
    b) Calculer le module et un argument du nombre complexe $z_{1}$ .

2. On considère le nombre complexe $z_{2}$ de module 2 et d'argument $\dfrac{\pi}{3}$ et M $_{2}$ le point d'affixe $z_{2}$ .
    a) Construire le point M $_{2}$ dans le repère $(O ; \vec{u},\vec{v})$ .
On laissera apparents les traits de construction.
    b) Écrire le nombre complexe $z_{2}$ sous la forme algébrique $a + \text{i} b$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels.

3. a) Démontrer que $\dfrac{z_{2}}{z_{1}} = \left(\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}\right) + \text{i}\left(\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\right)$ .
    b) En utilisant le résultat de la question 1. b., prouver que le nombre complexe $\dfrac{z_{2}}{z_{1}}$ a pour module $\sqrt{2}$ et pour argument $\dfrac{7\pi}{12}$ .
    c) Déduire des questions précédentes les valeurs exactes de $\cos \left(\dfrac{7\pi}{12}\right)$ et de $\sin \left(\dfrac{7\pi}{12}\right)$ .

Publié par TP/ le 30-11--0001

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