Bac Technologique
Série Hôtellerie
Polynésie Française - Session Juin 2009
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Durée de l'épreuve : 1 heure 30 Coefficient : 2
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.
10 points
exercice 1
À compter du 1er janvier 2010, le directeur d'un palace décide de louer à l'année certaines de ses plus belles chambres. Il propose à ses plus fidèles clients deux types de contrats de location.
1er contrat : 20 000 € la première année puis une augmentation de 5 % tous les ans.
On note le montant de la location au 1er janvier de l'année . Ainsi, .
2e contrat : 20 000 € la première année puis une augmentation de 1 150 € tous les ans.
On note le montant de la location au 1er janvier de l'année . Ainsi, .
Les résultats seront arrondis au centime d'euro.
I - étude du 1er contrat :
1. Quel est le prix de la location d'une chambre le 1er janvier 2011 avec le premier contrat ? Et celui au 1er janvier 2012 ?
2. Exprimer en fonction de .
3. Quelle est la nature de la suite ? Quelle est sa raison ? Justifier.
4. Exprimer en fonction de .
5. Combien coûtera la location à l'année en 2019 ?
II - Étude du 2e contrat :
1. Quel est le prix de la location d'une chambre le 1er janvier 2011 avec le deuxième contrat ? Et celui au 1er janvier 2012 ?
2. Exprimer en fonction de .
3. Quelle est la nature de la suite ? Quelle est sa raison ? Justifier.
4. Exprimer en fonction de .
5. Combien coûtera la location à l'année en 2019 ?
III - Comparaison :
Un client fidèle décide de prendre une location au premier janvier 2010 pendant 10 ans. À quel contrat doit-il souscrire pour que sa dépense totale soit minimale ?
10 points
exercice 2
I - Étude d'une série statistique :
Un restaurateur s'intéresse, chaque mois de l'année 2008, au nombre moyen de couverts servis par jour dans son établissement. Il relève les données suivantes :
Mois
Janvier
Février
Mars
Avril
Mai
Juin
Rang
1
2
3
4
5
6
Nombre de couverts
18
29
32
36
41
44
Mois
Juillet
Août
Sept.
Octob.
Novem.
Décem.
Rang
7
8
9
10
11
12
Nombre de couverts
44
48
48
50
53
52
1. Représenter graphiquement, sur une feuille de papier millimétré, le nuage de points associé à cette série statistique, dans un repère orthogonal (O ; I, J) d'unités graphiques :
sur l'axe des abscisses : 1 cm pour 1 mois.
sur l'axe des ordonnées : 1 cm pour 5 couverts.
2. Un ajustement affine est-il pertinent ?
II - Étude d'une fonction :
On considère la fonction définie sur l'intervalle [1 ; 12] par :
.
On appelle la çourbe représentative de la fonction dans le même repère (O ; I,J).
1. a) Montrer que la fonction dérivée s'exprime par .
b) Étudier le signe de , puis dresser le tableau de variations de sur l'intervalle [1 ; 12].
2. Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant (on donnera des valeurs arrondies à 10-1).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3. Tracer dans le même repère que le nuage de points.
III - Application :
En admettant que la courbe constitue un bon ajustement du nuage de points et que la tendance affichée se confirme jusqu'au mois de février 2009, donner une estimation du nombre moyen de couverts servis par jour dans ce restaurant en février 2009. Justifier.
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le montant de la location au 1er janvier de l'année 
. Ainsi, 
.
le montant de la location au 1er janvier de l'année 
.
de la location d'une chambre le 1er janvier 2011 avec le premier contrat ? Et 
celui au 1er janvier 2012 ?
en fonction de )
? Quelle est sa raison ? Justifier.
.
de la location d'une chambre le 1er janvier 2011 avec le deuxième contrat ? Et 
celui au 1er janvier 2012 ?
en fonction de )
? Quelle est sa raison ? Justifier.
)
associé à cette série statistique, dans un repère orthogonal (O ; I, J) d'unités graphiques :
définie sur l'intervalle [1 ; 12] par :
 = 10\ln \left( x^2 + 6x\right))
.
la çourbe représentative de la fonction 
s'exprime par  = 10 \times \dfrac{2x + 6}{x^2 +6x})
.
)
, puis dresser le tableau de variations de