Baccalauréat Général
Série Économique et Social
Métropole - Session Septembre 2010
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L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Coefficient : 5 (pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité) ou 7 (pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité) Durée : 3 heures
5 points
exercice 1 - Commun à tous les candidats
On s'intéresse à la population des personnes âgées de plus de 65 ans d'un certain pays en 2006.
Dans cette population :
58 % sont des femmes;
5 % des personnes sont atteintes d'une maladie incurable appelée maladie et parmi celles-ci les deux tiers sont des femmes.
On choisit au hasard une personne dans cette population.
l'évènement : «la personne choisie est une femme» ;
l'évènement : «la personne choisie est un homme» ;
l'évènement : «la personne choisie est atteinte de la maladie » ;
l'évènement : «la personne choisie n'est pas atteinte de la maladie ».
Les résultats seront arrondis au millième.
1. a) Donner la probabilité de l'évènement et celle de l'évènement .
Donner la probabilité de l'évènement sachant que l'évènement A est réalisé, notée .
b) Définir par une phrase l'évènement puis calculer sa probabilité.
c) Montrer que la probabilité de l'évènement sachant que est réalisé est égale à 0,057 à 10-3 près.
2. La personne choisie est un homme. Démontrer que la probabilité que cet homme soit atteint de la maladie est égale à 0,040 à 10-3 près.
3. Peut-on affirmer que, dans ce pays en 2006, dans la population des personnes âgées de plus de 65 ans, une femme risquait davantage de développer la maladie qu'un homme ? Justifier.
5 points
exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Cet exercice est composé de deux parties :
la partie I est un «vrai-faux» sans justification,
la partie II est un questionnaire à choix multiples avec justification.
Partie 1 :
Pour chacune des affirmations, recopier sur la copie le numéro de la question et indiquer sans justifier si elle est vraie ou fausse.
Une réponse exacte rapporte 0,5 point, une réponse fausse enlève 0,25 point. L'absence de réponse n'ajoute ni n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à cette partie est ramenée à zéro.
1.
2. Soit la fonction définie et dérivable sur l'intervalle par .
On note sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.
La tangente à la courbe au point d'abscisse 2 a pour équation .
3. Soit la fonction définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels par .
Le nombre dérivé de la fonction en 1 est .
4. Soit la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels par .
On définit la fonction par .
On affirme que la fonction est définie sur l'intervalle .
Partie II :
Pour chacune des questions, une seule réponse parmi les trois est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie correspondante puis justifier cette réponse.
Chaque réponse exacte et justifiée rapportera 1 point.
Toute trace de recherche. même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
1. Si pour tout nombre réel de l'intervalle , , alors la limite en de est :
0
2. est égal à :
3. est égale à :
5 points
exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Pour chacune des questions suivantes, une seule des réponses parmi les trois proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie, le numéro de la question et la lettre correspondant à la question choisie.
Partie 1 : Aucune justification n'est demandée
Une bonne réponse rapporte 0,5 point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.
1. Dans l'espace muni d'un repère orthonormal , on désigne par l'ensemble des points de coordonnées tels que et par le plan d'équation .
a) La surface passe par le point de coordonnées :
b) La courbe de niveau de cote 3 de la surface est :
une droite
une parabole
une hyperbole
c) Le plan (P) :
contient le point de coordonnées est parallèle au plan est parallèle à l'axe
2. Soient le graphe probabiliste ci-dessous et la matrice de transition associée à ce graphe, les sommets étant rangés dans l'ordre alphabétique.
Partie II : Recopier pour chaque question la réponse exacte et justifier celle-ci.
Chaque réponse exacte et bien justifiée rapportera 1 point.
Toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
1. On considère le graphe :
On peut affirmer que :
a) Le graphe admet une chaîne eulérienne.
Le graphe admet un cycle eulérien.
Le graphe est complet.
b) Le nombre chromatique du graphe est 3.
Le graphe admet un sous-graphe complet d'ordre 4.
Le graphe n'est pas connexe.
2. On définit la suite par et, pour tout entier naturel , par . On définit la suite pour tout entier naturel par . Alors:
La suite est arithmétique.
La suite est géométrique.
La suite est géométrique.
5 points
exercice 3 - Commun à tous les candidats
Partie A : Étude d'une fonction
On considère les fonctions , et définies et dérivables pour tout nombre réel de l'intervalle [4 ; 6] par :
, et .
On note la fonction dérivée de la fonction sur l'intervalle [4 ; 6].
Résolution de l'équation .
1. a) Démontrer que la fonction est strictement décroissante sur l'intervalle [4 ; 6].
b) Dresser le tableau de variations de la fonction .
c) Justifier que l'équation admet une solution unique sur l'intervalle [4 ; 6].
2. a) Compléter le tableau de valeurs ci-dessous (les résultats seront arrondis à la centaine la plus proche).
4
4,2
4,4
4,6
4,8
5
5,2
5,4
5,6
5,8
6
17 400
-3 600
-8 100
-25 500
-33 400
b) Sur la figure fournie ci-dessous, tracer la courbe représentative de la fonction dans le plan muni d'un repère orthogonal.
c) Placer sur ce graphique et en donner un encadrement d'amplitude 10-1.
Dans la suite de l'exercice, on admet que la valeur exacte du nombre réel est égale à où désigne la fonction logarithme népérien.
Partie B : Application économique
Les fonctions et définies dans la partie A modélisent respectivement l'offre et la demande d'un produit de prix unitaire , compris entre 4 et 6 euros :
est la quantité, exprimée en kilogrammes, que les producteurs sont prêts à vendre au prix unitaire ;
la quantité, exprimée en kilogrammes, que les consommateurs sont prêts à acheter au prix unitaire .
On appelle prix unitaire d'équilibre du marché la valeur de pour laquelle l'offre est égale à la demande.
1. Quel est, exprimé au centime d'euro près, le prix unitaire d'équilibre du marché ? Justifier.
2. Quelle quantité de produit, exprimée en kilogrammes, correspond à ce prix unitaire d'équilibre ?
5 points
exercice 4 - Commun à tous les candidats
L'évolution de la population de bouquetins des Alpes, dans le Parc National de la Vanoise depuis sa création, est donnée par le tableau suivant :
On note l'année, l'indice étant un nombre entier variant de 1 à 8.
On note le rang de l'année par rapport à 1960 : .
On désigne par le nombre de bouquetins l'année .
On se place dans le plan muni d'un repère orthogonal d'unités graphiques :
5 cm pour 10 années sur l'axe des abscisses,
1 cm pour 200 bouquetins sur l'axe des ordonnées.
On note le point de coordonnées .
Ainsi a pour coordonnées (3 ; 65) et a pour coordonnées (26 ; 700).
1. En disposant la feuille de papier millimétrée dans le sens de la longueur pour les abscisses, représenter le nuage des huit points et .
2. Dans cette question, on ne s'intéresse qu'au sous-nuage formé par les six points et .
On admet qu'un ajustement affine de ce sous-nuage est justifié et que la droite d'ajustement affine obtenue par la méthode des moindres carrés pour ce sous-nuage a pour équation .
a) Tracer cette droite sur le graphique précédent.
b) Estimer, avec cet ajustement affine, le nombre de bouquetins que l'on peut prévoir dans le Parc National de la Vanoise en 2010.
3. Dans cette question, on s'intéresse au nuage constitué des huit points et .
L'allure de ce nuage permet d'envisager un ajustement exponentiel de la série.
a) On pose .
Déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de en par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au centième.
b) En déduire une relation entre et de la forme , étant arrondi à l'unité et au centième.
c) En utilisant cette modélisation, calculer le nombre de bouquetins que l'on peut prévoir en 2010 dans le Parc.
d)Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. En utilisant cette modélisation, à partir de quelle année la population de bouquetins dépassera-t-elle 5 000 unités ?
Publié par TP/
le
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