5 points

exercice 1

On a représenté ci-dessous en perspective parallèle deux pyramides régulières à base carrée SABCF et RFCDE, de même hauteur SP et RQ, où P est le centre du carré ABCF et Q le centre du carré CDEF.
Le plan horizontal contient les six points A, B, C, D, E et F.
Les points A et B sont dans un plan frontal.

On veut reproduire cette figure en perspective centrale sur la feuille de l'annexe suivante, à rendre avec la copie.
On laissera apparents tous les traits de construction

Dans la perspective centrale, on convient de noter avec une lettre minuscule les images des points. Ainsi a est l'image de A, b est l'image de B, etc.
Sur la feuille de l'annexe, on a tracé la ligne d' horizon, notée (h), les segments [ab] et [bc] ainsi que le point s.

1. Placer le point de fuite m de la droite (BC) et le point de fuite n de la droite (AC).

2. Construire l'image f du point F. Donner deux propriétés de la perspective centrale qui justifient la construction du point f.

3. Construire les points d et e images respectives des points D et E.

4. Quel est le point de fuite de la droite (SR) ? On ne demande pas de justification.

5. Terminer la construction des deux pyramides.


5 points

exercice 2

On considère les fonctions et définies sur l'intervalle [0 ; 2] par : et . On étudie la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 2] par .
Soient et les courbes représentant respectivement les fonctions , et dans un repère orthogonal (O, O).

1. a) Calculer la fonction dérivée de .
    b) Vérifier que, pour tout nombre réel de [0 ; 2], .
    c) En déduire que les inéquations et ont même ensemble de solutions.
Les courbes et sont tracées sur la feuille de l'annexe suivante. On note l'abscisse du point d'intersection des deux courbes et .

2. Dans cette question, on résout graphiquement l'inéquation .
    a) Ajouter sur le graphique le nom des courbes.
    b) Déterminer graphiquement, avec la précision permise par le graphique, une valeur approchée du nombre .
    c) Résoudre graphiquement, avec la précision permise par le graphique, l'inéquation .

3. Donner le tableau de variation de la fonction .

4. Compléter le graphique de l'annexe en traçant la courbe .


5 points

exercice 3

Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation

Trois amis Alain, Bernard et Corinne vont dîner à l'«Auberge de Bernoulli». L'aubergiste propose de tirer au sort la personne qui payera le dîner. Il leur présente un sachet opaque qui contient quatre boules, dont trois blanches et une noire. Le premier des trois amis qui tire la boule noire paie tous les repas. Si aucun des trois ne tire la boule noire, l'aubergiste offre le dîner.
Les trois amis veulent comparer deux méthodes différentes de tirer les boules.

Dans cet exercice, on notera :
    l'évènement «Alain tire une boule noire»,
    l'évènement «Bernard tire une boule noire»,
    l'évènement «Corinne tire une boule noire»,
    , et les évènements contraires des précédents.

Tous les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles

1. Première méthode
Alain, Bernard et Corinne doivent tirer au hasard et l'un après l'autre, dans l'ordre alphabétique de leur prénom, une boule puis la remettre dans le sachet. Lorsque la boule noire est tirée, on arrête les tirages.
    a) Calculer la probabilité de l'évènement , notée , et la probabilité conditionnelle de l'évènement sachant que est réalisé, notée .
    b) Recopier et compléter l'arbre de probabilités suivant :

    c) Calculer et .
    d) Quelle est la probabilité de l'évènement «l'aubergiste offre le dîner» ?

2. Deuxième méthode
Alain, Bernard et Corinne doivent tirer au hasard et l'un après l'autre, dans l'ordre alphabétique de leur prénom, une boule sans la remettre dans le sachet. Lorsque la boule noire est tirée, on arrête les tirages.
    a) Calculer les probabilités des évènements , et .
Calculer la probabilité de l'évènement «l'aubergiste offre le diner».

3. Expliquer pourquoi Corinne préfère la première méthode.
Quelle est la méthode la plus favorable à l'aubergiste ?


5 points

exercice 4

Partie A

On considère l'algorithme suivant :

Initialisation	:	Affecter à N la valeur 0.
		Affecter à U la valeur 10.
Traitement	:	Tant que
			Affecter à N la valeur N + 1.
			Affecter à U la valeur 2U - 5.
Sortie	:	Afficher N.

Faire fonctionner cet algorithme en complétant certaines des cases du tableau ci-dessous.

Partie B

On considère la suite définie par et, pour tout nombre entier naturel , .

1. Calculer et .

2. On veut démontrer, pour tout nombre entier naturel , l'égalité :
    a) Soit un nombre entier naturel. Montrer que si l'égalité est vraie, alors l'égalité est vraie.
    b) Que reste-t-il à vérifier pour démontrer que, pour tout nombre entier naturel , ?

Partie C

On cherche la plus petite valeur de telle que .

1. Expliquer comment modifier l'algorithme de la partie A pour obtenir cette valeur .

2. Déterminer cette valeur .