Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Général
Série Littéraire
Enseignement de spécialité
Amérique du Sud - Session novembre 2010

Durée de l'épreuve : 3 heures Coefficient : 3
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

7 points

exercice 1

On considère les nombres $A_{n}$ définis par $A_{n} = 3^n + 3^{2n} + 3^{3n}$ où $n$ est un entier naturel.

1. Recopier et compléter le tableau ci-dessous :

$n$	0	1	2	3	4
$A_{n}$
Reste dans la division euclidienne de $A_{n}$ par 13

2. Les nombres suivants sont écrits dans le système de numération à base trois : $x = \left(\overline{1110}\right)_{\text{trois}} ; y = \left(\overline{1010100}\right)_{\text{trois}} ; z = \left(\overline{1001001000}\right)_{\text{trois}}$ Sont-ils divisibles par 13 ? Justifier en utilisant ce qui précède.

3. On s'intéresse au reste dans la division euclidienne de $A_{1 000}$ par 13.
    a) Justifier que $3^3 \equiv 1 \mod 13$ .
    b) En déduire le reste dans la division euclidienne de $3^{1 000}$ par 13.
    c) Quel est le reste dans la division euclidienne de $A_{1 000}$ par 13 ?

4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

Soit les propositions :
$\left(P_{0}\right)$ : pour tout entier naturel $n, A_{n}$ est un multiple de 13.
$\left(P_{1}\right)$ : il existe au moins un entier naturel $n$ tel que $A_{n}$ est un multiple de 13.
$\left(P_{2}\right)$ : pour tout entier naturel $n$ , si $n$ est un multiple de 3, alors $A_{n}$ n'est pas un multiple de 13 .

Dire si chacune de ces propositions est vraie ou fausse. Justifier.

5 points

exercice 2

Partie 1

On considère l'algorithme suivant :

Entrée :	$n$ un entier naturel.

Initialisation :	affecter à $u$ la valeur 1 ;
	affecter à $S$ la valeur 1 ;
	affecter à $i$ la valeur 0.

Traitement :	tant que $i < n$
	affecter à $u$ la valeur $2u + 1 - i$ ;
	affecter à $S$ la valeur $S + u$ ;
	affecter à $i$ la valeur $i + 1$ .

Sortie :	afficher $u$ ;
	afficher $S$ .

Justifier que, pour $n = 3$ , l'affichage obtenu est 11 pour $u$ et 21 pour $S$ .

Reproduire et compléter le tableau suivant :

Valeur de $n$	0	1	2	3	4	5
Affichage pour $u$				11
Affichage pour $S$				21

Partie 2

Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par : $u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n + 1} = 2u_{n} + 1 - n$ . et la suite $\left(S_{n}\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par : $S_{n} = u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n}$ .

1. Pour un entier naturel $n$ donné, que représentent les valeurs affichées par l'algorithme de la partie 1 ?

2. Le but de cette question est d'exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .
a) Recopier et compléter le tableau ci-dessous :

$n$	0	1	2	3	4	5
$u_{n}$
$u_{n} - n$

    b) Quelle conjecture peut-on faire à partir des résultats de ce tableau ?
    c) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n, u_{n} = 2^n + n$ .

3. Le but de cette question est de calculer $S_{n}$ en fonction de $n$ et d'utiliser un résultat de la première partie pour contrôler l'exactitude de ce calcul.
    a) Exprimer en fonction de $n$ les sommes : $1 + 2 + \cdots + n$ et $1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^n$ .
    b) En déduire une expression de $S_{n}$ en fonction de $n$ .
    c) Vérifier le résultat obtenu dans la première partie pour $n = 5$ .

4 points

exercice 3

Pour chacune des questions suivantes, une seule des réponses a), b), c) ou d) est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point.
Une réponse fausse n'enlève aucun point.
L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun.

1. Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - \dfrac{4}{9}x^2 + 2$ . Un dessin de la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal est donné ci-après :

Epreuve de spécialité du bac L Amérique du Sud novembre 2010 - terminale : image 1

    a) La courbe $\mathcal{C}$ admet deux tangentes parallèles à l'axe des abscisses aux points d'abscisses respectives 0 et 1.
    b) La tangente à $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse 3 passe par le point B de coordonnées (0 ; -12).
    c) La courbe $\mathcal{C}$ coupe la droite d'équation $y = 2$ en trois points distincts.
    d) La courbe représentative de la fonction $f'$ dérivée de $f$ est une parabole dont le sommet a pour abscisse 0,5.

2. La fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = \left(2 + x^2\right)\text{e}^{- x}$ a pour fonction dérivée la fonction $g'$ définie sur $\mathbb{R}$ par:
    a) $g'(x) = \left(x^2 + 2x + 2\right)\text{e}^{- x}$ .
    b) $g'(x) = 2x\text{e}^{- x}$ .
    c) $g'(x) = \left(- x^2 + 2x - 2\right)\text{e}^{- x}$ .
    d) $g'(x) = - 2x\text{e}^{- x}$ .

3. Soit le nombre A $= 1 789^{2 010}$ .
    a) La calculatrice ne permet pas d'obtenir une valeur approchée à l'unité près de log A car ce nombre est trop grand.
    b) A est un entier s'écrivant avec 6 537 chiffres dans le système décimal.
    c) A est un entier s'écrivant avec 6 538 chiffres dans le système décimal.
    d) $\log \text{A} = (\log(1 789))^{2 010}$ .

4. L'ensemble des solutions dans $\mathbb{R}$ de l'inéquation : $\text{e}^{\ln (x) - 4} < 1$ est :
    a) $\left]- \infty ; \dfrac{1}{\text{e}} - 4\right[$
    b) $]0 ; \ln 4[$ .
    c) $\left]0 ; \text{e}^4\right[$ .
    d) $\left]- \infty ; \text{e}^5\right[$ .

4 points

exercice 4

On s'intéresse aux tests de dépistage d'une maladie $m$ . Un individu de la population étudiée étant choisi au hasard, on désignera par :
    $M$ l'évènement «cet individu est atteint de la maladie $m$ » ; $\overline{M}$ l'évènement contraire de $M$ ;
    $T$ l'évènement «le test pratiqué sur cet individu est positif» ; $\overline{T}$ est l'évènement contraire de $T$ .

Pour un test de dépistage d'une maladie, le fabricant fournit en général deux indicateurs :
    la sensibilité ; c'est la probabilité pour qu'un individu malade ait un test positif ;
    la spécificité: c'est la probabilité pour qu'un individu non malade ait un test négatif.

On s'intéresse à une population dans laquelle on estime à 10% le pourcentage des individus ayant la maladie $m$ . On fait subir un test à tous les individus de cette population. Ce test a pour sensibilité 0,7 et pour spécificité 0,8. On choisit un individu au hasard dans cette population et on note $P(A)$ la probabilité d'un évènement A et $P_{B}(A)$ la probabilité de $A$ sachant $B$ .

1. Sans calculs, donner $P(M), P_{M}(T)$ et $P_{\overline{M}}(T)$ .

2. Reproduire sur la copie l'arbre de probabilités ci-dessous et le compléter. Aucune justification n'est demandée.

Epreuve de spécialité du bac L Amérique du Sud novembre 2010 - terminale : image 2

3. Déterminer $P(M \cap T)$ , $P(T)$ puis vérifier que la probabilité pour qu'un individu dont le test est positif soit atteint de la maladie $m$ est 0,28.

Publié par TP/ le 30-11--0001

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