Fiche de mathématiques

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Bac Scientifique
Pondichéry - Session Avril 2010

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

6 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Partie A - Restitution organisée de connaissances :

Soit $a$ et $b$ deux réels tels que $a < b$ et $f$ et $g$ deux fonctions continues sur l'intervalle $[a ; b]$ . On suppose connus les résultats suivants :
$\displaystyle\int_{a}^b \left[f(t) + g(t) \right] \text{d}t = \displaystyle\int_{a}^b f(t) \text{d}t + \displaystyle\int_{a}^b g(t) \text{d}t$ .
Si pour tout $t \in [a ; b], f(t) \ge 0$ alors $\displaystyle\int_{a}^b f(t) \text{d}t \ge 0$ .
Montrer que : si pour tout $t \in [a ; b], f(t) \le g(t)$ alors $\displaystyle\int_{a}^b f(t)\:\text{d}t \le \displaystyle\int_{a}^b g(t) \text{d}t$ .

Partie B

Soit $n$ un entier naturel non nul. On appelle $f_{n}$ la fonction définie sur $[0 ; + \infty[$ par $f_{n}(x) = \ln \left(1 + x^n\right)$ et on pose $I_{n} = \displaystyle\int_{0}^1 \ln \left(1 + x^n\right) \text{d}x$ .
On note $\mathcal{C}_{n}$ la courbe représentative de $f_{n}$ dans un repère orthonormal $(O ; \vec{i},\vec{j})$ .

1. a) Déterminer la limite de $f_{1}$ en $+ \infty$ .
    b) Étudier les variations de $f_{1}$ sur $[0 ; +\infty[$ .
    c) À l'aide d'une intégration par parties, calculer $I_{1}$ et interpréter graphiquement le résultat.
(Pour le calcul de $I_{1}$ on pourra utiliser le résultat suivant :
pour tout $x \in [0 ; 1], \dfrac{x}{x + 1} = 1 - \dfrac{1}{x + 1}$ )

2. a) Montrer que pour tout entier naturel non nul $n$ , on a $0 \le I_{n} \le \ln 2$ .
    b) Étudier les variations de la suite $\left(I_{n}\right)$
    c) En déduire que la suite $\left(I_{n}\right)$ est convergente.

3. Soit $g$ la fonction définie sur $[0 ; +\infty[$ par $g(x) = \ln (1 + x) - x$ .     a) Étudier le sens de variation de $g$ sur $[0 ; +\infty[$ .
    b) En déduire le signe de $g$ sur $[0 ; +\infty[$ .
Montrer alors que pour tout entier naturel $n$ non nul, et pour tout $x$ réel positif, on a $\ln \left(1 + x^n\right) \le x^n$ .     c) En déduire la limite de la suite $\left(I_{n}\right)$ .

5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

L'espace est muni d'un repère orthonormal $(O ; \vec{i},\vec{j},\vec{k})$ .
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration pourra consister à fournir un contre-exemple.

1. La droite de représentation paramétrique $\left \lbrace \begin{array}{l c l}x& =& t + 2 \\ y &=& -2t \\ z &=& 3t - 1 \\ \end{array}\right.$ , $t \in \mathbb{R}$ est parallèle au plan dont une équation cartésienne est : $x + 2 y + z - 3 = 0$ .

2. Les plans $P$ , $P'$ , $P''$ d'équations respectives $x - 2y + 3z = 3$ , $\quad$ $2x + 3y - 2z = 6$ et $4x - y + 4z = 12$ n'ont pas de point commun.

3. Les droites de représentations paramétriques respectives
$\left \lbrace \begin{array}{l c l} x&=&2 - 3t \\ y&=& 1 + t \\ z&=&-3 + 2t \\ \end{array}\right.$ , $t \in \mathbb{R}$ et $\left \lbrace \begin{array}{l c l} x&=& 7 + 2u \\ y &=& 2 + 2u \\ z&=&- 6 - u \\ \end{array}\right. \, , \, u\in \mathbb{R}$ sont sécantes.

4. On considère les points :
A, de coordonnées $(-1 ; 0 ; 2)$ , B, de coordonnées $(1 ; 4 ; 0)$ , et C, de coordonnées $(3 ; -4 ; -2)$ .
Le plan (ABC) a pour équation $x + z = 1$ .

5. On considère les points :
A, de coordonnées $(-1 ; 1 ; 3)$ , B, de coordonnées $(2 ; 1 ; 0)$ , et C, de coordonnées $(4 ; -1 ; 5)$ .
On peut écrire C comme barycentre des points A et B.

5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Les parties A et B peuvent, dans leur quasi-totalité, être traitées de façon indépendante.

Partie A

Dans cette partie, on se propose d'étudier des couples $(a, b)$ d'entiers strictement positifs, tels que : $a^2 = b^3$ Soit $(a, b)$ un tel couple et $d = \text{PGCD}(a, b)$ . On note $u$ et $v$ les entiers tels que $a= du$ et $b = dv$ .

1. Montrer que $u^2 = dv^3$ .

2. En déduire que $v$ divise $u$ , puis que $v = 1$ .

3. Soit $(a, b)$ un couple d'entiers strictement positifs.
Démontrer que l'on a $a^2 = b^3$ si et seulement si $a$ et $b$ sont respectivement le cube et le carré d'un même entier.

4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse. sera prise en compte dans l'évaluation.
Montrer que si $n$ est le carré d'un nombre entier naturel et le cube d'un autre entier, alors $n \equiv 0\quad [7]$ ou $n \equiv 1 \quad [7]$ .

Partie B

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal $(O ; \vec{i},\vec{j},\vec{k})$ , on considère la surface $S$ d'équation $x^2 \times y^2 = z^3$ .
Pour tout réel $\lambda$ , on note $\mathcal{C}_{\lambda}$ la section de $S$ par le plan d'équation $z = \lambda$ .

1. Les graphiques suivants donnent l'allure de $\mathcal{C}_{\lambda}$ tracée dans le plan d'équation $z = \lambda$ , selon le signe de $\lambda$ .
Attribuer à chaque graphique l'un des trois cas suivants : $\lambda < 0, \lambda = 0, \lambda > 0$ , et justifier l'allure de chaque courbe.

Bac scientifique Pondichéry Avril 2010 - terminale : image 1

graphique 1

Bac scientifique Pondichéry Avril 2010 - terminale : image 2

graphique 2

Bac scientifique Pondichéry Avril 2010 - terminale : image 3

graphique 3

2. a) Déterminer le nombre de points de $\mathcal{C}_{25}$ dont les coordonnées sont des nombres entiers strictement positifs.
b) Pour cette question, on pourra éventuellement s'aider de la question 3 de la partie A.
Déterminer le nombre de points de $\mathcal{C}_{2 010}$ dont les coordonnées sont des nombres entiers strictement positifs.

5 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Une urne contient 10 boules blanches et $n$ boules rouges, $n$ étant un entier naturel supérieur ou égal à 2. On fait tirer à un joueur des boules de l'urne. À chaque tirage, toutes les boules ont la même probabilité d'être tirées. Pour chaque boule blanche tirée, il gagne 2 euros et pour chaque boule rouge tirée, il perd 3 euros.
On désigne par $X$ la variable aléatoire correspondant au gain algébrique obtenu par le joueur.

Les trois questions de l'exercice sont indépendantes.

1. Le joueur tire deux fois successivement et sans remise une boule de l'urne.
    a) Démontrer que : $P(X = -1) = \dfrac{20n}{(n + 10)(n + 9)}$ .
    b) Calculer, en fonction de $n$ la probabilité correspondant aux deux autres valeurs prises par la variable $X$ .
    c) Vérifier que l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ vaut : $\text{E}(X) = \dfrac{-6n^2 -14n + 360}{(n + 10)(n + 9)}$ .     d) Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles l'espérance mathématique est strictement positive.

2. Le joueur tire 20 fois successivement et avec remise une boule de l'urne. Les tirages sont indépendants. Déterminer la valeur minimale de l'entier $n$ afin que la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge au cours de ces 20 tirages soit strictement supérieure à 0,999.

3. On suppose que $n = 1 000$ . L'urne contient donc 10 boules blanches et 1 000 boules rouges.
Le joueur ne sait pas que le jeu lui est complètement défavorable et décide d' effectuer plusieurs tirages sans remise jusqu'à obtenir une boule blanche.
Le nombre de boules blanches étant faible devant celui des boules rouges, on admet que l'on peut modéliser le nombre de tirages nécessaires pour obtenir une boule blanche par une variable aléatoire $Z$ suivant la loi : $\text{pour tout } k \in \N, p(Z \le k) = \displaystyle \int_{0}^k 0,01\text{e}^{-0,01x}\:\text{d}x$ . On répondra donc aux questions suivantes à l'aide de ce modèle.
    a) Calculer la probabilité que le joueur ait besoin de tirer au plus 50 boules pour avoir une boule blanche, soit $P (Z \le 50)$ .
    b) Calculer la probabilité conditionnelle de l'évènement : «le joueur a tiré au maximum 60 boules pour tirer une boule blanche» sachant l'évènement «le joueur a tiré plus de 50 boules pour tirer une boule blanch ».

4 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

On considère la suite $\left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}}$ définie par :
$u_{0} = 1$ et pour tout $n \in \N, u_{n+1} = \dfrac{1}{3}u_{n} + n - 2$ .

1. Calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ .

2. a) Démontrer que pour tout entier naturel $n \ge 4, u_{n} \ge 0$ .
    b) En déduire que pour tout entier naturel $n \ge 5, u_{n} \ge n - 3$ .
    c) En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)_{n\in \N}$ .

3. On définit la suite $\left(v_{n}\right)_{n\in \N}$ par : pour tout $n \in \N, v_{n} = -2u_{n} + 3n - \dfrac{21}{2}$ .
    a) Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)_{n\in \N}$ est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.
    b) En déduire que : pour tout $n \in \N, u_{n} = \dfrac{25}{4}\left(\dfrac{1}{3} \right)^n + \dfrac{3}{2}n -\dfrac{21}{4}$ .
    c) Soit la somme $S_{n}$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^n u_{k}$ .
Déterminer l'expression de $S_{n}$ en fonction de $n$ .

Voir la correction

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Partie A - Restitution organisée de connaissances

$f$ et $g$ sont continues sur $[a;b]$ donc $g-f$ est continue sur $[a;b]$ et $\displaystyle \int_a^b[g(t)-f(t)]\,\text{d}t$ est bien définie.
De plus, pour tout $t\in [a;b]$ , $f(t)\leq g(t)$ donc $g(t)-f(t)\geq 0$
donc $\displaystyle\int_a^b[g(t)-f(t)]\,\text{d}t\geq 0$ c'est à dire: $\displaystyle \int_a^bg(t)\,\text{d}t-\int_a^bf(t)\,\text{d}t\geq 0$
On en déduit : $\displaystyle \int_a^bf(t)\,\text{d}t\leq \int_a^bg(t)\,\text{d}t$

Partie B

1. a) Pour tout $x\in[0;+\infty[$ , $f_1(x)=\ln\,(1+x)$
$\lim \limits_{x\to +\infty} 1+x = +\infty$ et $\lim \limits_{X\to +\infty}\ln\,X=+\infty$ donc par composition de limites :
$\boxed{\lim\limits_{x\to +\infty}f_1(x)=+\infty}$

1. b) $f_1$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ comme composée des fonctions :
$x\mapsto 1+x$ dérivable sur $[0;+\infty[$ à valeurs dans $[1;+\infty[$
$x\mapsto \ln\,x$ dérivable sur $[1;+\infty[$
$f'_1(x)=\dfrac{1}{1+x}$ et sur $[0;+\infty[$ , $f'_1(x)>0$
donc : $\boxed{f_1\text{ est strictement croissante sur } [0;+\infty[}$

1. c) $f_1$ est continue sur $[0;1]$ comme composée des fonctions :
$x\mapsto 1+x$ continue sur $[0;1]$ à valeurs dans $[1;2]$
$x\mapsto \ln\,x$ continue sur $[1;2]$
$I_1$ est donc bien définie.
$\displaystyle I_1=\int_0^1\ln\,(1+x)\,\text{d}x$
On pose :
$u(x)=\ln\,(1+x)$ et $v'(x)=1$
d'où :
$u'(x)=\dfrac{1}{1+x}$ et $v(x)=x$
$u$ et $v$ sont dérivables sur $[0;1]$ à dérivées continues sur cet intervalle :
d'où, en appliquant la formule d' intégration par parties :
$\displaystyle I_1=\left[x\,\ln\,(1+x)\right]_0^1-\int_0^1\dfrac{x}{1+x}\,\text{d}x$
Puis, avec l'indication de l'énoncé :
$\displaystyle I_1=\ln\,2-\int_0^1\left[1-\dfrac{1}{1+x}\right]\,\text{d}x$
$\displaystyle I_1=\ln\,2-\left[x-\ln\,(1+x)\right]_0^1$
$\displaystyle \boxed{I_1=2\,\ln\,2-1}$
Remarque : la fonction $x\mapsto x+1$ est une primitive de la fonction $x\mapsto 1$ sur $[0;1]$
En écrivant $v(x)=x+1$ , l'indication de l'énoncé devenait inutile.
Sur $[0;1]$ , $1+x\geq 1$ donc $\ln\,(1+x)\geq 0$ par croissance de la fonction logarithme sur $]0;+\infty[$
La courbe $\mathcal{C}_1$ est donc au dessus de l'axe des abscisses sur $[0;1]$

I₁ est l'aire en unités d'aire du domaine limité par l'axe des abscisses,
la courbe représentative de $\mathcal{C}_1$ , les droites d' équation $x = 0$ et $x = 1$ .

2. a) Pour tout entier naturel $n$ non nul :
$f_n$ est continue sur $[0;1]$ comme composée des fonctions :
$x\mapsto 1+x^n$ continue sur $[0;1]$ à valeurs dans $[1;2]$
$x\mapsto \ln\,x$ continue sur $[1;2]$
$I_n$ est donc bien définie.
Sur $[0;1]$ , $0\leq x^n\leq 1$
donc $1\leq 1+x^n\leq 2$ puis par croissance de la fonction logarithme sur $]0;+\infty[$ :
$0\leq f_n(x)\leq \ln\,2$
Par application des inégalités de la moyenne, on obtient pour tout entier naturel $n$ non nul :
$\displaystyle 0\leq I_n\leq (1-0)\,\ln\,2$
$\boxed{\displaystyle 0\leq I_n\leq \ln\,2}$

2. b) Pour tout entier naturel $n$ non nul et pour tout $x$ de $[0;1]$ :
$0\leq x\leq 1$ d'où par produit par $x^n\geq 0$ : $0\leq x^{n+1}\leq x^n$
donc $1 \leq 1+x^{n+1}\leq 1+x^n$
La fonction logarithme étant croissante sur $]0;+\infty[$ , on obtient :
$0\leq \ln\,\left(1+x^{n+1}\right)\leq \ln\,\left(1+x^n\right)$ c'est à dire : $0\leq f_{n+1}(x)\leq f_n(x)$
Du théorème de la partie A, on déduit :
$\displaystyle \int_0^1f_{n+1}(x)\,\text{d}x\leq \int_0^1f_n(x)\,\text{d}x$ soit $I_{n+1}\leq I_n$
$\boxed{\text{La suite }(I_n) \text{ est donc décroissante.}}$

2. c) La suite $(I_n)$ est décroissante et minorée par 0 :
$\boxed{\text{La suite }(I_n)\text{ est donc convergente.} }$

3. a) $g(x)=f_1(x)-x$ et $g$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ comme somme de fonctions dérivables sur cet intervalle :
$g'(x)=\dfrac{1}{1+x}-1=-\dfrac{x}{1+x}$
donc sur $[0;+\infty[$ , $g'(x)\leq 0$
$\boxed{g\text{ est donc décroissante sur }[0;+\infty[}$

3. b) En utilisant la décroissance de $g$ sur $[0;+\infty[$ :
pour tout $x\geq 0$ , $g(x)\leq g(0)$ puis avec $g(0)=0$ :
$\boxed{\text{Sur }[0;+\infty[,\;\;g(x)\leq 0}$
On en déduit que pour tout $x$ réel positif : $\ln\,(1+x)\leq x$ inégalité qu'on peut appliquer à $x^n$ réel positif :
Pour tout entier naturel $n$ non nul et tout réel $x$ positif, on a donc :
$\boxed{\ln\,(1+x^n)\leq x^n}$

3. c) Pour tout entier naturel $n$ non nul et tout réel $x$ positif, $0\leq \ln\,(1+x^n)\leq x^n$

On intègre cette inégalité sur $[0;1]$ pour obtenir :
$\displaystyle 0\leq \int_0^1\ln\,(1+x^n)\,\text{d}x\leq \int_0^1x^n\,\text{d}x$ soit $0\leq I_n\leq \left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^1$
$\displaystyle{0\leq I_n\leq \dfrac{1}{n+1}}$
Or, $\displaystyle \lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{1}{n+1}=0$
Le théorème des "gendarmes" permet de conclure :
$\boxed{\lim\limits_{n\to +\infty}I_n=0}$

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. VRAI
Un vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ de la droite $D$ donnée a pour coordonnées (1 ; -2 ; 3).
Un vecteur normal $\overrightarrow{n}$ au plan donné a pour coordonnées (1,2,1).
$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{n}=1\times 1-2\times 2+3\times 1=0$ donc $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{n}$ sont orthogonaux.
La droite $D$ est donc parallèle au plan donné.

2. FAUX
On peut remarquer que le point $A(3,0,0)$ appartient aux 3 plans.
Ou bien chercher les éventuels points communs aux 3 plans en résolvant le système :
$\begin{cases}x-2y+3z=3\;\;L_1\\2x+3y-2z=6\;\;L_2\\x-y+4z=12\;\;L_3\end{cases}$ équivalent au système : $\begin{cases}x-2y+3z=3\;\;L_1\\\qquad 7y-8z=0\;\;L_2-2L_1\\\qquad 7y-8z=0\;\;L_3-4L_1\end{cases}$ ou encore : $\begin{cases}x-2y+3z=3\\\qquad 7y-8z=0\end{cases}$
Ces deux dernières équations sont les équations cartésiennes de deux plans non parallèles donc sécants selon une droite.

3. VRAI
On cherche un éventuel point d'intersection des deux droites. Pour cela, on résout le système formé par les six équations à cinq inconnues :
$\begin{cases}x=2-3t\\y=1+t\\z=-3+2t\\x=7+2u\\y=2+2u\\z=-6-u\end{cases}$ d'où $t$ et $u$ sont nécessairement solutions du système : $\begin{cases}2-3t=7+2u\\1+t=2+2u\\-3+2t=-6-u\end{cases}$
Soit encore : $\begin{cases}3t+2u=-5\\t-2u=1\\2t+u=-3\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases}4t=-4\\t-2u=1\\2t+u=-3\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases}t=-1\\u=-1\\2t+u=-3\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases}t=-1\\u=-1\end{cases}$
Les deux droites sont donc sécantes en $A(5;0;-5)$

4. VRAI
On vérifie dans un premier temps que $A,B$ et $C$ ne sont pas alignés :
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}(2;4;-2)$ et $\overrightarrow{AC}(-4;4;4)$ ne sont pas colinéaires donc $A,B$ et $C$ sont non alignés et définissent un plan.
Les coordonnées de $A,B$ et $C$ vérifient l'équation cartésienne $x+z=1$ du plan donné.
Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc bien $x+z=1$

5. FAUX
Si $C$ est barycentre des points $A$ et $B$ , alors $A,B$ et $C$ sont nécessairement alignés.
Or, les vecteurs $\overrightarrow{AB}(3;0;-3)$ et $\overrightarrow{AC}(5;-2;2)$ ne sont pas colinéaires.
Les points $A,B$ et $C$ ne sont pas alignés et $C$ n'est donc pas barycentre de $A$ et $B$ .

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

1. $d=PGCD(a,b)$ il existe donc $u$ et $v$ entiers naturels non nuls premiers entre eux tels que $\begin{cases}a=du\\b=dv\end{cases}$
Si $a$ et $b$ sont solutions de l'équation $a^2=b^3$ , alors $d^2u^2=d^3v^3$
et $d$ étant non nul :
$\boxed{u^2=dv^3}$

2. D' après l'égalité précedente, $v$ divise $u^2$
Or $v$ est premier avec $u$ donc d' après le théorème de Gauss :
$\boxed{v\text{ divise }u}$
$v$ entier naturel non nul étant premier avec $u$ et divisant $u$ :
$\boxed{v=1}$

3. Si $a$ et $b$ entiers strictements positifs sont solutions de l' équation : $a^2=b^3$ alors :
$\begin{cases}a=du\\b=d\end{cases}$ et $d=u^2$ d'après la question 1. donc $\begin{cases}a=u^3\\b=u^2\end{cases}$
Réciproquement : s' il existe $u$ entier naturel non nul tel que $\begin{cases}a=u^3\\b=u^2\end{cases}$ , alors $a^2=u^6=b^3$ où $a$ et $b$ sont des entiers naturels non nuls.

Donc $a$ et $b$ sont solutions de l'équation $a^2 = b^3$ si et seulement si
$a$ et $b$ sont respectivement cube et carré d'un même entier.

4. Si $n=0$ , alors $n\equiv 0\;\;[7]$
Si $n \neq 0$ et avec $n=a^2=b^3$ , les questions précédentes permettent d'affirmer qu'il existe un entier naturel non nul $u$ tel que $n=u^6$
Si $u$ est multiple de 7, alors $u\equiv 0\;\;[7]$ donc $n\equiv u^6\equiv 0\;\;[7]$
Si $u$ n'est pas multiple de 7, alors $u$ est premier avec 7 et d'après le petit théorème de Fermat : $n\equiv u^6\equiv 1\;\;[7]$
Donc :

Si $n$ est le carré d'un entier naturel et le
cube d'un autre entier, alors $n\equiv 0\;\;[7]$ ou $n\equiv 1\;\;[7]$

Partie B

1. $\mathcal{C}_{\lambda}$ est l'ensemble des points de l'espace dont les cooordonnées vérifient le système : $\begin{cases}x^2y^2=z^3\\z=\lambda\end{cases}$
Si $\lambda <0$ , alors $x^2y^2=\lambda ^3<0$ et le système n'a pas de solution.
Si $\lambda =0$ , le système devient : $\begin{cases}x^2y^2=0\\z=0\end{cases}$ soit $\begin{cases}x=0\\z=0\end{cases}$ ou $\begin{cases}y=0\\z=0\end{cases}$
$\mathcal{C}_0$ est donc la réunion des deux axes de coordonnées abscisses et ordonnées.
Si $\lambda >0$ , le système devient : $\begin{cases}x^2y^2=\lambda^3\\z=\lambda\end{cases}$ soit $\begin{cases}xy=\lambda\sqrt{\lambda}\\z=\lambda\end{cases}$ ou $\begin{cases}xy=-\lambda\sqrt{\lambda}\\z=\lambda\end{cases}$
$\mathcal{C}_{\lambda}$ est alors la réunion de deux hyperboles équilatères du plan d'équation $z=\lambda$
En résumé :

$\lambda <0$ correspond au graphique 2
$\lambda=0$ correspond au graphique 1
$\lambda >0$ correspond au graphique 3

2. a) $\mathcal{C}_{25}$ est l'ensemble des points de l'espace dont les cooordonnées vérifient le système : $\begin{cases}x^2y^2=25^3\\z=25\end{cases}$
Les coordonnées entières strictement positives des points de $\mathcal{C}_{25}$ sont donc solutions du système : $\begin{cases}xy=5^3\\z=25\end{cases}$
Les diviseurs positifs de $5^3$ sont 1,5,25 et 125.
Les points cherchés ont donc pour coordonnées : $\boxed{(1,125,25)\;(5,25,25)\;(25,5,25)\;(125,1,25)}$

2. b) Les coordonnées des points de $\mathcal{C}_{2010}$ sont solutions du système : $\begin{cases}x^2y^2=2010^3\\z=2010\end{cases}$
Avec $x$ et $y$ entiers strictement positifs et en posant $a=xy$ et $b=2010$ , on est ramené à la résolution de l'équation $a^2=b^3$ de la partie A.
Et d'après A. 3), si cette équation a des solutions alors $b$ est le carré d' un entier.
Or $b=2010=2\times 3\times 5\times 67$ n' est pas le carré d' un entier. L' équation n' a donc pas de solution.
$\boxed{\mathcal{C}_{2010}\text{ n' a aucun point dont les coordonnées sont des entiers strictement positifs }}$

exercice 3 - Commun à tous les candidats

1. a) Le nombre total de tirages de deux boules sans remise est $(n+10)(n+9)$
$(X=-1)$ est l' évènement "Tirer une boule blanche puis une boule rouge ou tirer une boule rouge puis une boule blanche"
Le nombre de tirages favorables pour l'évènement $(X=-1)$ est donc $10n+10n=20n$
D'où la probabilité de l'évènement $(X=-1)$ :
$\boxed{P(X=-1)=\frac{20n}{(n+10)(n+9)}}$

1. b) Les autres valeurs prises par la variable aléatoire $X$ sont 4 en tirant successivement deux boules blanches et -6 en tirant successivement deux boules rouges.
Le nombre de tirages favorables pour l'évènement $(X=4)$ est $10\times 9=90$
D'où la probabilité de l'évènement $(X=4)$ :
$\boxed{P(X=4)=\frac{90}{(n+10)(n+9)}}$
Le nombre de tirages favorables pour l'évènement $(X=-6)$ est $n(n-1)$
D'où la probabilité de l'évènement $(X=-6)$ :
$\boxed{P(X=-6)=\frac{n(n-1)}{(n+10)(n+9)}}$

Remarque : on pouvait traiter ces deux premières questions à l'aide d'un arbre pondéré.

1. c) Par définition, $E(X)=-P(X=-1)+4\,P(X=4)-6\,P(X=-6)$
$E(X)=\dfrac{-20n+360-6n(n-1)}{(n+10)(n+9)}$
$\boxed{E(X)=\dfrac{-6n^2-14n+360}{(n+10)(n+9)}}$

1. d) $E(X)>0 \Longleftrightarrow -6n^2-14n+360>0$ avec $n$ entier naturel supérieur ou égal à 2.
Résolvons l'équation : $-6x^2-14x+360=0$ dont le discriminant est $\Delta=(-14)^2+4\times 6\times 360=94^2$
L'équation admet deux racines réelles : $x_1=-9$ et $x_2=\dfrac{20}{3}$
$-6x^2-14x+360>0\Longleftrightarrow -9<x<\dfrac{20}{3}$
En tenant compte du fait que $n$ est un entier naturel supérieur ou égal à 2, on obtient :
$\boxed{2\leq n\leq 6}$

2. L'évènement contraire est "n'obtenir aucune boule rouge lors des 20 tirages" de probabilité $\left(\dfrac{10}{n+10}\right)^{20}$
La probabilité de l'évènement considéré est donc $p=1-\left(\dfrac{10}{n+10}\right)^{20}$
On cherche donc $n$ tel que $p>0,999$
Soit : $1-\left(\dfrac{10}{n+10}\right)^{20}>0,999$
$\left(\dfrac{10}{n+10}\right)^{20}<0,001 \\ \left(\dfrac{n+10}{10}\right)^{20}>1000 \\ \dfrac{n}{10}+1>\sqrt[20]{1000} \\ n>10\left(\sqrt[20]{1000}-1\right)$
Soit avec $n$ entier naturel supérieur ou égal à 2 :
$\boxed{n\geq 5}$

3. a) $\displaystyle P(Z\leq 50)=\int_0^{50}0.01e^{-0.01x}\,\text{d}x=\left[-e^{-0.01x}\right]_0^{50}$
$\boxed{P(Z\leq 50)=1-e^{-0.5}}$

3. b) $\displaystyle P_{(Z>50)}(Z\leq 60)=\dfrac{P(50<Z\leq 60)}{P(Z>50)}=\dfrac{P(50<Z\leq 60)}{1-P(Z\leq 50)}$
$\displaystyle P(50<Z\leq 60)}=\int_{50}^{60}0.01e^{-0.01x}\,\text{d}x=\left[-e^{-0.01x}\right]_{50}^{60}=e^{-0.5}-e^{-0.6}$
d' où : $\displaystyle P_{(Z>50)}(Z\leq 60)=\dfrac{e^{-0.5}-e^{-0.6}}{1-(1-e^{-0.5})}=\dfrac{e^{-0.5}(1-e^{-0.1})}{e^{-0.5}}$
$\boxed{\displaystyle P_{(Z>50)}(Z\leq 60)=1-e^{-0.1}}$
Remarque : On pouvait aussi noter que la variable aléatoire $Z$ suit une loi exponentielle dite "de durée de vie sans vieillissement" et que :
$\displaystyle P_{(Z>50)}(Z\leq 60)=P(Z\leq 10)=1-e^{-0.1}$

exercice 4 - Commun à tous les candidats

1. Avec $n=0$ , $u_1=\dfrac{1}{3}u_0-2=\dfrac{1}{3}-2$ et $\boxed{u_1=-\dfrac{5}{3}}$
Avec $n=1$ , $u_2=\dfrac{1}{3}u_1+1-2=-\dfrac{5}{9}-1$ et $\boxed{u_2=-\dfrac{14}{9}}$
Avec $n=2$ , $u_3=\dfrac{1}{3}u_2+2-2$ et $\boxed{u_3=-\frac{14}{27}}$

2. a) On fait une récurrence sur la propriété $P_n$ : pour tout entier naturel $n\geq 4,\quad u_n\geq 0$
Initialisation :
Avec $n=3$ , $u_4=\dfrac{1}{3}u_3+3-2=\dfrac{67}{81}$ donc $u_4\geq 0$ et $P_4$ est vraie.
Hérédité:
On suppose que $P_n$ est vraie pour un certain rang $n$ fixé supérieur à 4, c'est à dire $u_n\geq 0$
Alors $n-2\geq 0$ et $\dfrac{1}{3}u_n\geq 0$ donc $u_{n+1}\geq 0$ et l'hérédité est prouvée.
La propriété $P_n$ est vraie au rang 4 ; de plus elle est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout entier naturel $n\geq 4$
$\boxed{\text{Pour tout entier naturel }n\geq 4,\quad u_n\geq 0}$

2. b) D'après la question précédente, pour tout entier naturel $n\geq 5, \quad u_{n-1}\geq 0$
Or, $u_n=\dfrac{1}{3}u_{n-1}+n-1-2=\dfrac{1}{3}u_{n-1}+n-3$ et $u_{n-1}\geq 0$
D'où $u_n-(n-3)=\dfrac{1}{3}u_{n-1}\geq 0$ . Ainsi :
$\boxed{\text{Pour tout entier naturel }n\geq 5\quad u_n\geq n-3}$

2. c) $\displaystyle \lim_{n\to +\infty}(n-3)=+\infty$ et les théorèmes de comparaison permettent de conclure :
$\boxed{\displaystyle \lim\limits_{n\to +\infty}u_n=+\infty}$

3. a) $v_{n+1} = -2u_{n+1}+3(n+1)-\dfrac{21}{2}=-\dfrac{2}{3}u_n-2n+4+3n+3-\dfrac{21}{2}$
$v_{n+1}=-\dfrac{2}{3}u_n+n-\dfrac{7}{2}=\dfrac{1}{3}\left(-2u_n+3n-\dfrac{21}{2}\right)$
$v_{n+1}=\dfrac{1}{3}v_n$ et $v_0=-2u_0-\dfrac{21}{2}=-\dfrac{25}{2}$
$\boxed{(v_n)\text{ est donc une suite géométrique de raison }\dfrac{1}{3}\text{ et de premier terme }v_0=-\dfrac{25}{2}}$
On en déduit : $\boxed{v_n=-\dfrac{25}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}}$

3. b) $v_n=-2u_n+3n-\dfrac{21}{2}$ d'où $2u_n=-v_n+3n-\dfrac{21}{2}$
$u_n=-\dfrac{1}{2}v_n+\dfrac{3}{2}n-\dfrac{21}{4}$
$\boxed{u_n=\dfrac{25}{4}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+\dfrac{3}{2}n-\dfrac{21}{4}}$

3. c) $\displaystyle S_n=\sum_{k=0}^nu_k=\dfrac{25}{4}\sum_{k=0}^n\left(\dfrac{1}{3}\right)^k+\dfrac{3}{2}\sum_{k=0}^nk-\sum_{k=0}^n\dfrac{21}{4}$
$S_n=\dfrac{25}{4}\,\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}}{1-\dfrac{1}{3}}+\dfrac{3}{2}\,\dfrac{n(n+1)}{2}-\dfrac{21}{4}\,(n+1)$
$S_n=\dfrac{75}{8}\left[1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}\right]+\dfrac{3n^2-18n-21}{4}$
$\boxed{S_n=-\dfrac{75}{8}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}+\dfrac{6n^2-36n+33}{8}}$
Remarque : on peut vérifier cette formule après avoir calculé: $S_0=1,\quad S_1=-\dfrac{2}{3},\quad S_2=-\dfrac{20}{9},\quad S_3=-\dfrac{74}{27}$

Publié par TP/cailloux le 21-07-2010

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