Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.
Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Le sujet comporte une annexe à rendre avec la copie.
Ce sujet nécessite une feuille de papier millimétrée.
6 points
exercice 1 - Commun à tous les candidats
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
Partie A
On considère l'équation différentielle .
1. Montrer que la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels par est une solution de l'équation différentielle .
2. On considère l'équation différentielle . Résoudre l'équation différentielle .
3. Soit une fonction définie et dérivable sur . Montrer que la fonction est une solution de l'équation différentielle si et seulement si la fonction est solution de l'équation différentielle .
4. En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle .
5. Déterminer l'unique solution de l'équation différentielle telle que .
Partie B
On considère la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels par où est un nombre réel donné.
On note la courbe représentative de la fonction dans un repère orthogonal.
1. Montrer que la fonction admet un maximum en .
2. On note le point de la courbe d'abscisse . Montrer que le point appartient à la courbe d'équation .
3. Sur le graphique donné en annexe 1 (à rendre avec la copie), le repère est orthogonal mais l'unité sur l'axe des abscisses et sur l'axe des ordonnées ainsi que les noms des courbes n'apparaissent pas.
Sur ce graphique, on a tracé deux courbes :
la courbe d'équation ;
la courbe d'équation pour un certain nombre réel donné.
a) Identifier les courbes et les nommer sur l'annexe 1 (à rendre avec la copie).
b) En expliquant la démarche utilisée, déterminer la valeur du nombre réel correspondante ainsi que l'unité graphique sur chacun des axes.
4. À l'aide d'une intégration par parties, calculer . Donner une interprétation graphique de cette intégrale.
5 points
exercice 2 - Commun à tous les candidats
1. Restitution organisée de connaissances. Démontrer à l'aide de la définition et des deux propriétés ci-dessous que si et sont deux suites adjacentes, alors elles sont convergentes et elles ont la même limite.
Définition : deux suites sont adjacentes lorsque l'une est croissante, l'autre est décroissante et la différence des deux converge vers 0.
Propriété 1 : si deux suites et sont adjacentes avec croissante et décroissante alors, pour tout entier naturel , .
Propriété 2 : toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge.
Dans la suite de cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
2. Dans les cas suivants, les suites et ont-elles la même limite ? Sont-elles adjacentes ? Justifier les réponses.
a) et ;
b) et ;
c) et .
3. On considère un nombre réel positif et les suites et définies pour tout nombre entier naturel non nul par : et .
Existe-t-il une valeur de telle que les suites soient adjacentes ?
4 points
exercice 3 - Commun à tous les candidats
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.
1. Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : 7 sont blanches et 3 sont noires. On tire simultanément 3 boules de l'urne. La probabilité de tirer 2 boules blanches et 1 boule noire est égale à :
2. De la même urne, on tire une boule, on note sa couleur, on la remet dans l'urne ; on procède ainsi à 5 tirages successifs avec remise. La probabilité d'avoir obtenu 3 boules noires et 2 boules blanches est égale à :
3. De la même urne, on tire une seule boule. Si elle est blanche, on lance un dé cubique (dont les faces sont numérotées de 1 à 6). Si la boule est noire, on lance un dé tétraédrique (dont les faces sont numérotées de 1 à 4). On suppose les dés bien équilibrés. Le joueur gagne s'il obtient le numéro 1. Sachant que le joueur a gagné, la probabilité qu'il ait tiré une boule blanche est égale à :
4. On note une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre ( étant un nombre réel strictement positif). La probabilité de l'événement est égale à :
5 points
exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct , on considère un point d'affixe 2 et le cercle de centre passant par .
Dans tout l'exercice on note le nombre complexe et le nombre complexe conjugué du nombre complexe .
1. a) Démontrer que .
b) Démontrer que les points et d'affixes respectives et appartiennent au cercle .
2. Soit un point du cercle d'affixe où est un nombre réel de l'intervalle .
a) Construire sur la figure de l'annexe 2 (à rendre avec la copie) le point image du point par la rotation de centre et d'angle .
b) Justifier que le point a pour affixe .
3. Soient et les milieux respectifs des segments et .
a) Justifier que le point a pour affixe .
b) On admet que le point a pour affixe .
Démontrer que . On pourra utiliser la question 1. a).
En déduire que le triangle est équilatéral.
4.Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
À l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, on conjecture qu'il existe une position du point , défini à la question 2., pour laquelle la longueur du coté du triangle est minimale.
On admet que .
On considère la fonction définie sur l'intervalle par .
Le tableau ci-dessous donne les variations de la fonction sur l'intervalle .
Compléter ce tableau de variation. Permet-il de valider la conjecture ? Justifier.
5 points
exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Dans tout l'exercice, est un repère orthonormal direct du plan complexe (unité graphique : 4 cm).
On désigne par le point d'affixe .
1. On considère la transformation du plan qui, à tout point d'affixe , associe le point d'affixe .
a) Déterminer les images respectives par la transformation du point et du point d'affixe .
b) En déduire la nature et les éléments caractéristiques de la transformation .
c) Déterminer l'image par la transformation du cercle de centre et de rayon 1.
2. désigne le cercle de centre d'affixe 2 et de rayon 1.
a) Construire le point appartenant au cercle tel que : .
b) À tout point du cercle d'affixe , on associe le point du cercle d'affixe tel que : .
Déterminer le module et un argument de . En déduire que .
c) Préciser la nature et les éléments caractéristiques de la transformation qui à tout point du plan d'affixe associe le point d'affixe telle que .
3.Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. À tout point du plan, on associe le point milieu du segment .
Quel est le lieu géométrique du point lorsque décrit le cercle ?
1. La fonction définie sur par est dérivable sur comme composée et produit de fonctions dérivables sur :
et on vérifie que pour tout réel,
2. L' équation différentielle est de la forme avec On sait d' après le cours que :
3.Pour tout réel :
On a donc l' équivalence :
4. D' après la question précédente, solution de solution de Donc pour tout réel :
d'où:
5. solution de donc avec constante arbitraire et
Partie B
1. est dérivable sur soit comme composée et produit de fonctions dérivables sur soit comme solution de ( solution de )
Pour tout , donc est du signe de sur Sur , et est donc croissante.
Sur , et est donc décroissante.
2. Soit le point de la courbe représentative de la fonction d' abscisse :
d' où :
3. a) admet un maximum sur et la fonction est décroissante sur Donc :
3. b) La courbe d' équation coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées
donc Le point correspondant au maximum de a pour coordonnées
Remarque : On pouvait aussi considérer le point d' intersection de la courbe avec l'axe des abscisses.
4. On pose et d'où et et sont dérivables sur à dérivées continues sur cet intervalle.
On peut donc aplliquer la formule d'intégration par parties :
Sur , et la courbe est donc au dessus de l' axe des abscisses.
exercice 2 - Commun à tous les candidats
1. Restitution organisée de connaissances.
Soit et deux suites respectivement croissante et décroissante telles que D'après la propriété 1 et avec la décroissance de , on a pour tout : Donc d'après la propriété 2, la suite croissante et majorée converge vers De même, pour tout , et la suite décroissante et minorée converge vers De plus, donc et On peut donc conclure :
2. a) est de la forme avec donc d'où :
Pour tout , La suite est donc croissante.
De même, pour tout , La suite est donc décroissante.
De plus,
2. b) donc :
Les suites et sont donc divergentes.
Si deux suites sont adjacentes, alors elles sont convergentes. On en déduit par contraposition :
Si deux suites ne sont pas convergentes, alors elles ne sont pas adjacentes. Donc :
2. c) et pour tout , donc d'après les théorèmes d'encadrement : On en déduit :
, et donc la suite n'est pas monotone ; en conséquence :
3. Pour tout , donc la suite est croissante.
Avec et pour tout , et par croissance de la fonction logarithme sur :
c'est-à-dire donc la suite est décroissante.
Pour que les suites et soient adjacentes, il faut et il suffit que : , c'est-à-dire
exercice 3 - Commun à tous les candidats
1. Le nombre de tirages possibles est Le nombre de tirages favorables est La probabilité cherchée est donc soit:
2. Soit la variable aléatoire donnant le nombre de boules blanches tirées lors des 5 tirages.
suit une loi binomiale de paramètres 5 (le nombre de répétitions) et (la probabilité de tirer une boule blanche lors d'un tirage).
La probabilité d'obtenir 2 boules blanches et 3 boules noires est donc soit :
3. Soit l'événement "la boule tirée est blanche" et l'événement "le joueur gagne".
On cherche donc
Remarque : On pouvait aussi utiliser un arbre pondéré.
4. En appliquant le cours :
exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
1. a) donc :
1. b) Donc et:
2. a)
2. b) est l'image de dans la rotation de centre et d'angle donc :
d'où
3. a) d'où:
3. b) Pour tout , car et donc :
En remarquant que , on a donc la relation :
Donc est l'image de dans la rotation de centre et d'angle On en déduit :
4. Le tableau de variation de complété :
est une longueur positive et a les mêmes variations que En particulier, est minimale quand est minimale.
Lorsque décrit l'intervalle , décrit le cercle tout entier.
D'après le tableau de variation de :
Le point correspondant est indiqué en sur la figure.
Pour , on obtient la valeur minimale de : Remarque : On peut établir la relation donnée par l' énoncé :
Puis
exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
1. a) donc :
donc :
1. b) L'écriture complexe de est de la forme : est donc une similitude indirecte.
De plus , distincte de l'identité, admet deux points fixes et .
1. c) L'image d' un cercle par une réflexion est un cercle de même rayon dont le centre est l'image du centre.
2. a)
2. b) donc :
donc :
On en déduit : , c' est-à-dire :
2. c) L'écriture complexe de est de la forme avec , et est donc une rotation d'angle et son centre est son unique point fixe. Soit l'affixe de ce centre.
est solution de l'équation : Soit encore : D'où :
3. Soit l'affixe de milieu de :
On a donc où est une similitude directe de rapport Lorsque décrit , décrit l'image de par
Remarque : On pouvait aussi noter que étant l' image de par rotation de centre et d'angle , le triangle est équilatéral.
Donc que est une hauteur de ce triangle et qu'en conséquence :
Donc où est la similitude directe de centre , de rapport et d'angle .
Ainsi, le lieu de , lorsque décrit , est le cercle de centre et de rayon .
Publié par Porcepic/cailloux
le
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