Fiche de mathématiques
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Bac Scientifique
Métropole - Session 2010

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Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9


Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.
Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

Le sujet comporte une annexe à rendre avec la copie.
Ce sujet nécessite une feuille de papier millimétrée.


6 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

On considère l'équation différentielle (E):\quad y'+y={\rm e}^{-x}.

1. Montrer que la fonction u définie sur l'ensemble des nombres réels \mathbb{R} par u(x)=x{\rm e}^{-x} est une solution de l'équation différentielle (E).

2. On considère l'équation différentielle (E'):\quad y'+y=0. Résoudre l'équation différentielle (E').

3. Soit v une fonction définie et dérivable sur \mathbb{R}. Montrer que la fonction v est une solution de l'équation différentielle (E) si et seulement si la fonction v-u est solution de l'équation différentielle (E').

4. En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle (E).

5. Déterminer l'unique solution g de l'équation différentielle (E) telle que g(0)=2.

Partie B

On considère la fonction f_k définie sur l'ensemble \mathbb{R} des nombres réels par f_k(x)=(x+k){\rm e}^{-x}k est un nombre réel donné.
On note \mathcal{C}_k la courbe représentative de la fonction f_k dans un repère orthogonal.

1. Montrer que la fonction f_k admet un maximum en x=1-k.

2. On note M_k le point de la courbe \mathcal{C}_k d'abscisse 1-k. Montrer que le point M_k appartient à la courbe \Gamma d'équation y={\rm e}^{-x}.

3. Sur le graphique donné en annexe 1 (à rendre avec la copie), le repère est orthogonal mais l'unité sur l'axe des abscisses et sur l'axe des ordonnées ainsi que les noms des courbes n'apparaissent pas.
Sur ce graphique, on a tracé deux courbes :
    la courbe \Gamma d'équation y={\rm e}^{-x} ;
    la courbe \mathcal{C}_k d'équation y=(x+k){\rm e}^{-x} pour un certain nombre réel k donné.
bac scientifique Métropole Juin 2009 - terminale : image 1
    a) Identifier les courbes et les nommer sur l'annexe 1 (à rendre avec la copie).
    b) En expliquant la démarche utilisée, déterminer la valeur du nombre réel k correspondante ainsi que l'unité graphique sur chacun des axes.

4. À l'aide d'une intégration par parties, calculer \displaystyle\int_0^2 (x+2){\rm e}^{-x}dx. Donner une interprétation graphique de cette intégrale.


5 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

1. Restitution organisée de connaissances.
Démontrer à l'aide de la définition et des deux propriétés ci-dessous que si (u_n) et (v_n) sont deux suites adjacentes, alors elles sont convergentes et elles ont la même limite.
Définition : deux suites sont adjacentes lorsque l'une est croissante, l'autre est décroissante et la différence des deux converge vers 0.
Propriété 1 : si deux suites (u_n) et (v_n) sont adjacentes avec (u_n) croissante et (v_n) décroissante alors, pour tout entier naturel n, v_n\geq u_n.
Propriété 2 : toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge.

Dans la suite de cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

2. Dans les cas suivants, les suites (u_n) et (v_n) ont-elles la même limite ? Sont-elles adjacentes ? Justifier les réponses.
    a) u_n=1-10^{-n} et v_n=1+10^{-n} ;
    b) u_n=\ln(n+1) et \displaystyle v_n=\ln(n+1)+\frac{1}{n} ;
    c) \displaystyle u_n=1-\frac{1}{n} et \displaystyle v_n=1+\frac{(-1)^n}{n}.

3. On considère un nombre réel a positif et les suites (u_n) et (v_n) définies pour tout nombre entier naturel n non nul par : \displaystyle u_n=1-\frac{1}{n} et \displaystyle v_n=\ln\left(a+\frac{1}{n}\right).
Existe-t-il une valeur de a telle que les suites soient adjacentes ?


4 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.


1. Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : 7 sont blanches et 3 sont noires. On tire simultanément 3 boules de l'urne. La probabilité de tirer 2 boules blanches et 1 boule noire est égale à :
\displaystyle\bullet\,\frac{21}{40}\quad\quad\bullet\,\frac{7}{10}\times\frac{6}{9}\times\frac{1}{3}\quad\quad\bullet\,\frac{7}{10}\times\frac{7}{10}\times\frac{1}{3}


2. De la même urne, on tire une boule, on note sa couleur, on la remet dans l'urne ; on procède ainsi à 5 tirages successifs avec remise. La probabilité d'avoir obtenu 3 boules noires et 2 boules blanches est égale à :
\displaystyle\bullet\,\frac{3^3\times7^2}{10^5}\quad\quad\bullet\,\binom{5}{2}\times\left(\frac{3}{10}\right)^2\times\left(\frac{7}{10}\right)^3\quad\quad\bullet\,\binom{5}{2}\times\left(\frac{3}{10}\right)^3\times\left(\frac{7}{10}\right)^2


3. De la même urne, on tire une seule boule. Si elle est blanche, on lance un dé cubique (dont les faces sont numérotées de 1 à 6). Si la boule est noire, on lance un dé tétraédrique (dont les faces sont numérotées de 1 à 4). On suppose les dés bien équilibrés. Le joueur gagne s'il obtient le numéro 1. Sachant que le joueur a gagné, la probabilité qu'il ait tiré une boule blanche est égale à :
\displaystyle\bullet\,\frac{7}{60}\quad\quad\bullet\,\frac{14}{23}\quad\quad\bullet\,\frac{\frac{7}{10}\times\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}\times\frac{1}{6}+\frac{1}{2}\times\frac{1}{4}}


4. On note X une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre \lambda (\lambda étant un nombre réel strictement positif). La probabilité de l'événement [1\leq X\leq3] est égale à :
\displaystyle\bullet\,{\rm e}^{-\lambda}-{\rm e}^{-3\lambda}\quad\quad\bullet\,{\rm e}^{-3\lambda}-{\rm e}^{-\lambda}\quad\quad\bullet\,\frac{{\rm e}^{-\lambda}}{{\rm e}^{-3\lambda}}



5 points

exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct (O;\vec{u},\vec{v}), on considère un point A d'affixe 2 et le cercle \mathcal{C} de centre O passant par A.
Dans tout l'exercice on note \alpha le nombre complexe \alpha=1+i\sqrt{3} et \bar{\alpha} le nombre complexe conjugué du nombre complexe \alpha.

1. a) Démontrer que \alpha^2-4\alpha=2\bar{\alpha}-8.
    b) Démontrer que les points B et C d'affixes respectives \alpha et \bar{\alpha} appartiennent au cercle \mathcal{C}.

2. Soit D un point du cercle \mathcal{C} d'affixe 2{\rm e}^{i\theta}\theta est un nombre réel de l'intervalle ]-\pi;\pi].
    a) Construire sur la figure de l'annexe 2 (à rendre avec la copie) le point E image du point D par la rotation r de centre O et d'angle \frac{\pi}{3}.
bac scientifique Métropole Juin 2009 - terminale : image 2
    b) Justifier que le point E a pour affixe z_E=\alpha{\rm e}^{i\theta}.

3. Soient F et G les milieux respectifs des segments [BD] et [CE].
    a) Justifier que le point F a pour affixe z_F=\frac{\alpha}{2}+{\rm e}^{i\theta}.
    b) On admet que le point G a pour affixe \displaystyle z_G=\frac{\alpha{\rm e}^{i\theta}+\bar{\alpha}}{2}.
Démontrer que \displaystyle \frac{z_G-2}{z_F-2}=\frac{\alpha}{2}. On pourra utiliser la question 1. a).
En déduire que le triangle AFG est équilatéral.

4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
À l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, on conjecture qu'il existe une position du point D, défini à la question 2., pour laquelle la longueur du coté AF du triangle AFG est minimale.
On admet que AF^2=4-3\cos\theta+\sqrt{3}\sin\theta.
On considère la fonction f définie sur l'intervalle [-\pi;\pi] par f(x)=4-3\cos(x)+\sqrt{3}\sin(x).
Le tableau ci-dessous donne les variations de la fonction f sur l'intervalle [-\pi;\pi].
Compléter ce tableau de variation. Permet-il de valider la conjecture ? Justifier.
\begin{tabvar}{|c|CCCCCCC|} \hline x & -\pi &  & -\dfrac{\pi}{6} & & \dfrac{5\pi}{6} & & \pi \\ \hline f & \niveau{2}{2}  & \decroit & \niveau{1}{2}  & \croit & \niveau{2}{2}  & \decroit & \niveau{1}{2}  \\ \hline \end{tabvar}



5 points

exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Dans tout l'exercice, \left(O;\vec{u},\vec{v}\right) est un repère orthonormal direct du plan complexe (unité graphique : 4 cm).
On désigne par A le point d'affixe z_A=1.

1. On considère la transformation T du plan qui, à tout point M d'affixe z, associe le point d'affixe -\bar{z}+2.
    a) Déterminer les images respectives par la transformation T du point A et du point \Omega d'affixe 1+i\sqrt{3}.
    b) En déduire la nature et les éléments caractéristiques de la transformation T.
    c) Déterminer l'image par la transformation T du cercle (\mathcal{C}) de centre O et de rayon 1.

2. (\mathcal{C}') désigne le cercle de centre O' d'affixe 2 et de rayon 1.
    a) Construire le point A' appartenant au cercle (\mathcal{C}') tel que : \left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{O'A'}\right)=\frac{\pi}{3}\,[{\rm modulo }\,2\pi].
    b) À tout point M du cercle (\mathcal{C}) d'affixe z, on associe le point M' du cercle (\mathcal{C}') d'affixe z' tel que : \left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{O'M'}\right)=\frac{\pi}{3}\,[{\rm modulo }\,2\pi].
Déterminer le module et un argument de \displaystyle\frac{z'-2}{z}. En déduire que \displaystyle z'={\rm e}^{i\frac{\pi}{3}}z+2.
    c) Préciser la nature et les éléments caractéristiques de la transformation r qui à tout point M du plan d'affixe z associe le point M' d'affixe z' telle que z'={\rm e}^{i\frac{\pi}{3}}z+2.

3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
À tout point M du plan, on associe le point M_1 milieu du segment [MM'].
Quel est le lieu géométrique du point M_1 lorsque M décrit le cercle (\mathcal{C}) ?





exercice 1 - Commun à tous les candidats

Partie A

1. La fonction u définie sur \mathbb{R} par u(x)=xe^{-x} est dérivable sur \mathbb{R} comme composée et produit de fonctions dérivables sur \mathbb{R} :
u'(x)=e^{-x}-xe^{-x} et on vérifie que pour tout x réel, u'(x)+u(x)=e^{-x}-xe^{-x}+xe^{-x}=e^{-x}
\boxed{\text{La fonction } u \text{ définie sur }\mathbb{R}\text{ par } u(x)=xe^{-x} \text{ est donc solution de }(E)}


2. L' équation différentielle (E') est de la forme y'=ay avec a=-1
On sait d' après le cours que :
\boxed{\text{Les solutions de } (E') \text{ sont les fonctions }h \text{ définies sur }\mathbb{R} \text{ par } h(x)=ke^{-x} \text{ où }k \text{ est une constante arbitraire}}


3.Pour tout x réel :
\begin{aligned}          v \text{ solution de } (E) & \Longleftrightarrow v'(x)+v(x)=e^{-x}\\      & \Longleftrightarrow  v'(x)+v(x)= u'(x)+u(x)\\      & \Longleftrightarrow  v'(x)-u'(x)+v(x)-u(x) = 0\\      & \Longleftrightarrow  (v-u)'(x)+(v-u)(x) = 0     \end{aligned}

On a donc l' équivalence :
\boxed{v\text{ solution de }(E)\Longleftrightarrow v-u\text{ solution de }(E')}


4. D' après la question précédente, v solution de (E)\Longleftrightarrow v-u solution de (E')
Donc pour tout x réel :
\begin{aligned}       v \text{ solution de }(E) & \Longleftrightarrow (v-u)(x)=ke^{-x}\\       & \Longleftrightarrow v(x)=u(x)+ke^{-x}\\     \end{aligned}
d'où:
\boxed{\text{Les solutions de }(E) \text{ sont les fonctions }v \text{ définies sur }\mathbb{R} \text{ par }v(x)=(x+k)e^{-x}\text{ où }k \text{ une constante arbitraire }}


5. g solution de (E) donc g(x)=(x+k)e^{-x} avec k constante arbitraire et g(0)=2\Longleftrightarrow k=2
\boxed{\text{La fonction }g \text{ définie sur }\mathbb{R}\text{ par }g(x)=(x+2)e^{-x}\text{ est l' unique solution de }(E) \text{ vérifiant }g(0)=2}


Partie B

1. f_k est dérivable sur \mathbb{R} soit comme composée et produit de fonctions dérivables sur \mathbb{R} soit comme solution de (E)
f'_k(x)=-f_k(x)+e^{-x} (f_k solution de (E))
f'_k(x)=(-x-k+1)e^{-x}
Pour tout x\in\mathbb{R}, e^{-x}>0 donc f'_k(x) est du signe de -x-k+1 sur \mathbb{R}
Sur ]-\infty,1-k], f'_k(x)\geq 0 et f_k est donc croissante.
Sur [1-k,+\infty[, f'_k(x)\leq 0 et f_k est donc décroissante.
\boxed{f_k \text{ admet donc un maximum en }x_k=1-k}


2. Soit M_k(x_k,y_k) le point de la courbe représentative de la fonction f_k d' abscisse x_k=1-k:
y_k=f_k(x_k)=f_k(1-k)=e^{-(1-k)}=e^{-x_k}
d' où :
\boxed{M_k \text{ appartient à la courbe }\Gamma \text{ d' équation }y=e^{-x}}


3. a) f_k admet un maximum sur \mathbb{R} et la fonction x\mapsto e^{-x} est décroissante sur \mathbb{R}
Donc :
\boxed{\begin{array}{c} \text{La courbe représentative de la fonction présentant un maximum correspond à } \mathcal{C}_k \\ \text{La courbe représentative de la fonction décroissante correspond à } \Gamma\\  \end{array}}


3. b) La courbe \Gamma d' équation y=e^{-x} coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées (0,1)
\fbox{\text{L' unité sur l' axe des ordonnées est donc la distance séparant 2 graduations successives.}}

f_k(0)=k donc \boxed{k=2}
Le point M_2 correspondant au maximum de f_2 a pour coordonnées M_2(-1,e)
\fbox{\text{L' unité sur l' axe des abscisses est donc aussi la distance séparant 2 graduations successives.}}

Remarque : On pouvait aussi considérer le point d' intersection de la courbe \mathcal{C}_2 avec l'axe des abscisses.

4. \displaystyle I=\int_0^2(x+2)e^{-x}\,\text{d}x
On pose u(x)=x+2 et v'(x)=e^{-x}
d'où u'(x)=1 et v(x)=-e^{-x}
u et v sont dérivables sur [0,2] à dérivées continues sur cet intervalle.
On peut donc aplliquer la formule d'intégration par parties :
\displaystyle I=\left[-(x+2)e^{-x}\right]_0^2 + \int_0^2e^{-x}\,\text{d}x=-4e^{-2}+2+\left[-e^{-x}\right]_0^2
\boxed{\displaystyle \int_0^2(x+2)e^{-x}\,\text{d}x=3-5e^{-2}}

Sur [0,2], (x+2)e^{-x}>0 et la courbe \mathcal{C}_2 est donc au dessus de l' axe des abscisses.

\boxed{\begin{array}{c} I \text{ représente, en unités d' aire, l' aire du domaine limité par la courbe } \mathcal{C}_2 \text{ , } \\ \text{ l'axe des abscisses et les droites d' équation } x = 0 \text{ et } x = 2\\  \end{array}}

bac scientifique Métropole Juin 2009 - terminale : image 4





exercice 2 - Commun à tous les candidats

1. Restitution organisée de connaissances.
Soit (u_n) et (v_n) deux suites respectivement croissante et décroissante telles que \lim\limits_{n\to +\infty}(v_n-u_n)=0
D'après la propriété 1 et avec la décroissance de (v_n), on a pour tout n\in\mathbb{N}: u_n\leq v_n\leq v_0
Donc d'après la propriété 2, la suite (u_n) croissante et majorée converge vers \ell
De même, pour tout n\in\mathbb{N}, v_n\geq u_n\geq u_0 et la suite (v_n) décroissante et minorée converge vers \ell'
De plus, \lim\limits_{n\to +\infty}(v_n-u_n)=0 donc \ell' -\ell=0 et \ell'=\ell
On peut donc conclure :
\boxed{\text{Si deux suites sont adjacentes, alors elles sont convergentes et ont la même limite}}


2. a) 10^{-n}=\left(\dfrac{1}{10}\right)^n est de la forme q^n avec -1<q<1 donc \lim\limits_{n\to +\infty}10^{-n}=0
d'où :
\boxed{\lim\mits_{n\to +\infty}u_n=\lim\limits_{n\to +\infty}v_n=1}

Pour tout n\in\mathbb{N}, u_{n+1}-u_n=10^{-n}-10^{-(n+1)}=10^{-(n+1)}(10-1)=9\times 10^{-(n+1)}>0
La suite (u_n) est donc croissante.
De même, pour tout n\in\mathbb{N}, v_{n+1}-v_n=10^{-(n+1)}-10^{-n}=10^{-(n+1)}(1-10)=-9\times 10^{-(n+1)}<0
La suite (v_n) est donc décroissante.
De plus, \lim\limits_{n\to +\infty}(v_n-u_n)=\lim\limits_{n\to +\infty}2\times 10^{-n}=\lim\limits_{n\to +\infty}2\left(\dfrac{1}{10}\right)^n=0
\boxed{\text{Les suites }(u_n)\text{ et }(v_n)\text{ sont donc adjacentes}}


2. b) \lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{1}{n}=0 donc :
\boxed{\lim\limts_{n\to +\infty}u_n=\lim\limits_{n\to +\infty}v_n=+\infty}

Les suites (u_n) et (v_n) sont donc divergentes.
Si deux suites sont adjacentes, alors elles sont convergentes. On en déduit par contraposition :
Si deux suites ne sont pas convergentes, alors elles ne sont pas adjacentes. Donc :
\boxed{\text{Les suites }(u_n)\text{ et }(v_n)\text{ ne sont pas adjacentes}}


2. c) \lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{1}{n}=0 et pour tout n\in\mathbb{N}^*, -\dfrac{1}{n}\leq \dfrac{(-1)^n}{n}\leq \dfrac{1}{n} donc d'après les théorèmes d'encadrement : \lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{(-1)^n}{n}=0
On en déduit :
\boxed{\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=\lim\limits_{n\to +\infty}v_n=1}

v_1=0, v_2=\dfrac{3}{2} et v_3=\dfrac{2}{3} donc la suite (v_n) n'est pas monotone ; en conséquence :
\boxed{\text{Les suites }(u_n)\text{ et }(v_n)\text{ ne sont pas adjacentes}}


3. Pour tout n\in\mathbb{N}^*, u_{n+1}-u_n=-\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{n(n+1)}>0 donc la suite (u_n)_{n\in\mathbb{N}^*} est croissante.
Avec a>0 et pour tout n\in\mathbb{N}^*, 0<a+\dfrac{1}{n+1}\leq a+\dfrac{1}{n} et par croissance de la fonction logarithme sur ]0,+\infty[ :
\ln\left(a+\dfrac{1}{n+1}\right)\leq \ln\left(a+\dfrac{1}{n}\right) c'est-à-dire v_{n+1}\leq v_n donc la suite (v_n)_{n\in\mathbb{N}^*} est décroissante.
\lim\limits_{n\to +\infty}(v_n-u_n)=\lim\limits_{n\to +\infty}\left[\ln\left(a+\dfrac{1}{n}\right)-1+\dfrac{1}{n}\right]=\ln\,a-1
Pour que les suites (u_n)_{n\in\mathbb{N}^*} et (v_n)_{n\in\mathbb{N}^*} soient adjacentes, il faut et il suffit que : \lim\limits_{n\to +\infty}(v_n-u_n)=0, c'est-à-dire \ln\,a=1
\boxed{\text{Les suites }(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\text{ et }(v_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\text{ sont adjacentes si et seulement si }a=e}





exercice 3 - Commun à tous les candidats

1. Le nombre de tirages possibles est \,\binom{10}{3}=\dfrac{10!}{3!\times 7!}=\dfrac{10\times 9\times 8}{3\times 2}=120
Le nombre de tirages favorables est \,\binom{7}{2}\times \binom{3}{1}=\dfrac{7!}{2!\times 5!}\times \dfrac{3!}{1!\times 2!}=\dfrac{7\times 6}{2}\times 3=21\times 3=63
La probabilité cherchée est donc \dfrac{63}{120} soit:
\boxed{\dfrac{21}{40}}


2. Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de boules blanches tirées lors des 5 tirages.
X suit une loi binomiale de paramètres 5 (le nombre de répétitions) et \dfrac{7}{10} (la probabilité de tirer une boule blanche lors d'un tirage).
La probabilité d'obtenir 2 boules blanches et 3 boules noires est donc P(X=2) soit :
\boxed{\binom{5}{2}\left(\dfrac{7}{10}\right)^2\left(\dfrac{3}{10}\right)^3}


3. Soit B l'événement "la boule tirée est blanche" et G l'événement "le joueur gagne".
On cherche donc P_G(B)=\dfrac{P(G\cap B)}{P(G)}
P(G\cap B)=P_B(G)\times P(B)=\dfrac{1}{6}\times \dfrac{7}{10}=\dfrac{7}{60}
P(G)=P(G\cap B)+P(G\cap \overline{B})=P_B(G)\times P(B)+P_{\overline{B}}(G)\times P(\overline{B})=\dfrac{1}{6}\times \dfrac{7}{10}+\dfrac{1}{4}\times\dfrac{3}{10}=\dfrac{23}{120}
P_G(B)=\dfrac{\dfrac{7}{60}}{\dfrac{23}{120}}
\boxed{P_G(B)=\dfrac{14}{23}}

Remarque : On pouvait aussi utiliser un arbre pondéré.

4. En appliquant le cours : \displaystyle P(1\leq X\leq 3)=\int_1^3\lambda e^{-\lambda x}\,\text{d}x=\left[-e^{-\lambda x}\right]_1^3
\boxed{P(1\leq X\leq 3)=e^{-\lambda}-e^{-3\lambda}}





exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. a) \alpha^2-4\alpha =(1+i\sqrt{3})^2-4(1+i\sqrt{3})=1+2i\sqrt{3}-3-4-4i\sqrt{3}
\alpha^2-4\alpha =-6-2i\sqrt{3}=2(1-i\sqrt{3})-8
donc :
\boxed{\alpha^2-4\alpha=2\overline{\alpha}-8}


1. b) |\alpha|=|\overline{\alpha}|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2
Donc OB=OC=OA et:
\boxed{B(\alpha )\text{ et }C(\overline{\alpha})\text{ appartiennent au cercle }\mathcal{C}}


2. a)
bac scientifique Métropole Juin 2009 - terminale : image 5


2. b) E est l'image de D dans la rotation de centre O et d'angle \dfrac{\pi}{3} donc :
z_E=e^{i\frac{\pi}{3}}z_D=\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\,2e^{i\theta}=(1+i\sqrt{3})e^{i\theta}
d'où
\boxed{z_E=\alpha e^{i\theta}}


3. a) z_F=\dfrac{z_B+z_D}{2}=\dfrac{\alpha +2e^{i\theta}}{2}
d'où:
\boxed{z_F=\dfrac{\alpha}{2}+e^{i\theta}}


3. b) \dfrac{z_G-2}{z_F-2}=\dfrac{\dfrac{\alpha e^{i\theta}+\overline{\alpha}}{2}-2}{\dfrac{\alpha}{2}+e^{i\theta}-2}=\dfrac{\alpha e^{i\theta}+\overline{\alpha}-4}{\alpha +2e^{i\theta}-4}=\dfrac{\alpha e^{i\theta}+\dfrac{\alpha^2-4\alpha}{2}}{2e^{i\theta}+\alpha -4}=\dfrac{\alpha (2e^{i\theta}+\alpha -4)}{2(2e^{i\theta}+\alpha -4)}
Pour tout \theta \in ]-\pi,+\pi], 2e^{i\theta}+\alpha -4\not=0 car |-\alpha +4|=|3-i\sqrt{3}|=2\sqrt{3} et |2e^{i\theta}|=2
donc :
\boxed{\dfrac{z_G-2}{z_F-2}=\dfrac{\alpha}{2}}

En remarquant que \dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}=e^{i\frac{\pi}{3}}, on a donc la relation :
z_G-z_A=e^{i\frac{\pi}{3}}(z_F-z_A)
Donc G est l'image de F dans la rotation de centre A et d'angle \dfrac{\pi}{3}
On en déduit :
\boxed{\text{Le triangle }AFG \text{ est équilatéral.}}


4. Le tableau de variation de f complété :

\begin{tabvar}{|C|CCCCCCC|}  \hline  x & -\pi &  & -\dfrac{\pi}{6} & & \dfrac{5\pi}{6} & & \pi \\  \hline  f & 7\niveau{2}{2}  & \decroit & \niveau{1}{2}  4-2\sqrt{3}& \croit & \niveau{2}{2}  4+2\sqrt{3}& \decroit & \niveau{1}{2} 7 \\  \hline  \end{tabvar}

AF est une longueur positive et a les mêmes variations que AF^2
En particulier, AF est minimale quand AF^2 est minimale.
Lorsque \theta décrit l'intervalle ]-\pi;+\pi], D décrit le cercle \mathcal{C} tout entier.
D'après le tableau de variation de f :
\boxed{AF \text{ est minimale pour }\theta=-\dfrac{\pi}{6}}

Le point D correspondant est indiqué en D_0 sur la figure.
Pour \theta=-\dfrac{\pi}{6}, on obtient la valeur minimale de AF : AF_0=\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{3}-1
Remarque : On peut établir la relation AF^2=f(\theta) donnée par l' énoncé :
AF^2=|z_F-z_A|^2=\left|\dfrac{\alpha}{2}+e^{i\theta}-2\right|^2=\left|\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\cos\,\theta+i\,\sin\,\theta -2\right|^2
AF^2=\left|-\dfrac{3}{2}+\cos\,\theta +i\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\sin\,\theta\right)\right|^2=\dfrac{9}{4}-3\,\cos\,\theta+\cos^2\theta +\dfrac{3}{4}+\sqrt{3}\,\sin\,\theta +\sin^2\theta
AF^2=f(\theta )=4-3\,\cos\,\theta +\sqrt{3}\,\sin\,\theta
Puis f'(\theta)=3\,\sin\,\theta+\sqrt{3}\,\cos\,\theta=2\sqrt{3}\,\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{3}\right)




exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. a) z_{A'}=-\overline{z_A}+2=-1+2=1=z_A
donc :
\boxed{T(A)=A}

z_{\Omega'}=-\overline{z_{\Omega}}+2=-(1-i\sqrt{3})+2=1+i\sqrt{3}=z_{\Omega}
donc :
\boxed{T(\Omega)=\Omega}


1. b) L'écriture complexe de T est de la forme z'= a \bar{z}+b: T est donc une similitude indirecte.
De plus T, distincte de l'identité, admet deux points fixes A et \Omega.
\boxed{T \text{ est donc la réflexion d' axe }(A\Omega )}


1. c) L'image d' un cercle par une réflexion est un cercle de même rayon dont le centre est l'image du centre.
\boxed{\text{L'image de }\mathcal{C} \text{ par }T\text{ est donc le cercle }\mathcal{C}'\text{ de centre }T(O)=O'\text{ d' affixe }2\text{ et de rayon }1}


2. a)

bac scientifique Métropole Juin 2009 - terminale : image 6


2. b) \left|\dfrac{z'-2}{z}\right|=\dfrac{\left|z'-z_{O'}\right|}{|z|}=\dfrac{O'M'}{OM}
donc :
\boxed{\left|\dfrac{z'-2}{z}\right|=1}

\text{arg}\left(\dfrac{z'-2}{z}\right)=\text{arg}\left(\dfrac{z'-z_{O'}}{z}\right)=(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{O'M'})\;\;[2\pi]
donc :
\boxed{\text{arg}\left(\dfrac{z'-2}{z}\right)=\dfrac{\pi}{3}\;\;[2\pi]}

On en déduit : \dfrac{z'-2}{z}=e^{i\frac{\pi}{3}}, c' est-à-dire :
\boxed{z'=e^{i\frac{\pi}{3}}z+2}


2. c) L'écriture complexe de r est de la forme z'=az+b avec |a|=1, a\not=1 et \text{arg }a=\dfrac{\pi}{3}\;\;[2\pi]
r est donc une rotation d'angle \dfrac{\pi}{3} et son centre est son unique point fixe. Soit \omega l'affixe de ce centre.
\omega est solution de l'équation : \omega=e^{i\frac{\pi}{3}}\omega +2
Soit encore : \omega=\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\omega +2\Longleftrightarrow \omega\left(\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=2\Longleftrightarrow \omega=\dfrac{4}{1-i\sqrt{3}}=1+i\sqrt{3}=z_{\Omega}
D'où :
\boxed{r\text{ est la rotation de centre }\Omega\text{ et d'angle }\dfrac{\pi}{3}}


3. Soit z_1 l'affixe de M_1 milieu de [MM']:
z_1=\dfrac{z+z'}{2}=\dfrac{z+e^{i\frac{\pi}{3}}z+2}{2}=\left(\dfrac{3}{4}+i\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)z+1
On a donc M_1=S(M)S est une similitude directe de rapport k=\left|\dfrac{3}{4}+i\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right|=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
Lorsque M décrit \mathcal{C}, M_1 décrit l'image de \mathcal{C} par S
\boxed{\text{Le lieu de }M_1\text{ lorsque }M\text{ décrit }\mathcal{C}\text{ est donc le cercle }\mathcal{C}_1\text{ de centre }S(O)=A\text{ et de rayon }\dfrac{\sqrt{3}}{2}}

Remarque : On pouvait aussi noter que M' étant l' image de M par r rotation de centre \Omega et d'angle \dfrac{\pi}{3}, le triangle \Omega MM' est équilatéral.
Donc que (\Omega M_1) est une hauteur de ce triangle et qu'en conséquence :
\begin{cases}\Omega M_1=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,\Omega M\\ (\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M_1})=\dfrac{\pi}{6}\;\;[2\pi]\end{cases}
Donc M_1=S(M)S est la similitude directe de centre \Omega, de rapport \dfrac{\sqrt{3}}{2} et d'angle \dfrac{\pi}{6}.
Ainsi, le lieu de M_1, lorsque M décrit \mathcal{C}, est le cercle S(\mathcal{C}) de centre S(O)=A et de rayon \dfrac{\sqrt{3}}{2}.
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