Baccalauréat Général
Série Scientifique
La Réunion - Session 2010
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Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9
Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.
Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
6 points
exercice 1 - Commun à tous les candidats
Soit la fonction définie sur l'intervalle par .
On note sa courbe représentative dans un repère orthonormal .
On note la droite d'équation .
Partie A
1. a) Étudier le sens de variation de la fonction .
b) Déterminer les limites de la fonction aux bornes de son ensemble de définition.
2. On désigne par la fonction définie sur l'intervalle par .
a) Déterminer .
b) Déterminer . En déduire .
c) Étudier le sens de variation de la fonction , puis dresser le tableau de variations de la fonction .
d) Montrer que sur l'intervalle l'équation admet exactement deux solutions et , avec négative et appartenant à l'intervalle .
e) À l'aide des questions précédentes, déterminer le signe de . En déduire la position relative de la courbe et de la droite .
Partie B
Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. Soit la suite définie pour tout nombre entier naturel par : .
1. Montrer que, pour tout nombre entier naturel , .
2. La suite est-elle convergente ? Justifier la réponse.
4 points
exercice 2 - Commun à tous les candidats
Dans cet exercice, tous les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
Partie I
On dispose d'un dé cubique parfaitement équilibré possédant une face verte, deux faces noires et trois faces rouges.
Un jeu consiste à lancer deux fois de suite et de manière indépendante ce dé. On note à chaque lancer la couleur de la face obtenue.
1. Calculer la probabilité pour qu'à l'issue d'un jeu, les deux faces obtenues soient noires.
2. Soit l'événement : « à l'issue d'un jeu, les deux faces obtenues sont de la même couleur ».
Démontrer que la probabilité de l'événement est égale à .
3. Calculer la probabilité pour qu'à l'issue d'un jeu, les deux faces obtenues soient de couleurs différentes.
4. À l'issue d'un jeu, sachant que les deux faces obtenues sont de la même couleur, quelle est la probabilité pour que les deux faces obtenues soient vertes ?
Partie II
On dispose d'un second dé cubique équilibré présentant quatre faces vertes et deux faces noires. Le nouveau jeu se déroule de la manière suivante : on lance le dé ;
si la face obtenue est verte, on lance à nouveau le dé et on note la couleur de la face obtenue ;
si la face obtenue est noire, on lance le dé et on note la couleur de la face obtenue.
1. a) Construire un arbre de probabilités traduisant cette situation.
b) Quelle est la probabilité d'obtenir une face verte au deuxième lancer, sachant que l'on a obtenu une face verte au premier lancer ?
2. Montrer que la probabilité d'obtenir deux faces vertes est égale à .
3. Quelle est la probabilité d'obtenir une face verte au deuxième lancer ?
5 points
exercice 3 - Commun à tous les candidats
Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées indépendamment.
Partie A
On cherche à déterminer l'ensemble des fonctions , définies et dérivables sur l'intervalle , vérifiant la condition :
1. Montrer que si , définie et dérivable sur l'intervalle , vérifie la condition , alors la fonction définie sur l'intervalle par vérifie :
2. En déduire l'ensemble des fonctions définies et dérivables sur l'intervalle qui vérifient la condition .
3. Quelle est la fonction définie et dérivable sur l'intervalle qui vérifie la condition et qui s'annule en ?
Partie B
On considère la fonction définie sur l'intervalle par .
On désigne par sa courbe représentative dans un repère orthonormal .
1. Déterminer, suivant les valeurs du nombre réel positif , le signe de .
2. a) Calculer, à l'aide d'une intégration par parties, l'intégrale et en déduire .
b) En déduire, en unité d'aire, la valeur exacte de l'aire de la partie du plan située en dessous de l'axe des abscisses et au dessus de la courbe .
5 points
exercice 4 - Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité
Partie I - Restitution organisée de connaissances
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct .
Soient , et trois points du plan d'affixes respectives , , .
On suppose que et sont distincts, ainsi que et .
On rappelle que .
Montrer que .
Partie II
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct .
On considère le point d'affixe .
On associe, à tout point du plan d'affixe non nulle, le point d'affixe .
Le point est appelé le point image du point .
1. a) Déterminer, sous forme algébrique, l'affixe du point , image du point d'affixe .
b) Montrer que, pour tout point du plan d'affixe non nulle, l'affixe du point est telle que .
2. Déterminer l'ensemble des points du plan d'affixe non nulle pour lesquels l'affixe du point est telle que .
3. Quel est l'ensemble des points du plan d'affixe non nulle pour lesquels l'affixe du point est un nombre réel ?
5 points
exercice 4 - Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité
Partie I - Restitution organisée de connaissances
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct .
Prérequis : On rappelle que l'écriture complexe d'une similitude directe du plan est de la forme , où est un nombre complexe non nul et est un nombre complexe.
Soient , , , quatre points du plan ; on suppose d'une part que les points et sont distincts et d'autre part que les points et sont distincts.
Démontrer qu'il existe une unique similitude directe telle que et .
Partie II
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct ; .
On considère le point tel que est un carré.
Soit le milieu du segment , on considère le carré tel que .
1. a) Faire une figure en plaçant les points , , , , , , . On complétera la figure au cours de l'exercice.
b) Préciser les nombres complexes , , , , , , , affixes respectives des points , , , , , , .
c) Monter qu'il existe une unique similitude directe du plan telle que et .
2. On se propose de préciser les éléments caractéristiques de la similitude directe .
a) Déterminer le rapport et l'angle de la similitude directe .
b) Donner l'écriture complexe de cette similitude.
c) Déterminer le centre de la similitude directe .
1. a) donc, sur la dérivée est strictement positive et la fonction est croissante.
1. b) donc d'où . donc
2. a) donc .
2. b). Comme on a .
On en déduit d'où .
2. c). Sur , est du signe de Tableau de variation de :
2. d) Sur ]-1 ; 0[, est strictement monotone croissante de à , donc il existe une unique valeur telle que .
De même, sur , est strictement monotone décroissante de 1 à , donc il existe une unique valeur telle que .
Or, et comme on a d'où .
De même, . Comme on a d'où .
Par conséquent, .
2. e) On a :
sur sur pour ou .
On en déduit :
Sur , est en dessous de la droite .
Sur , est au dessus de la droite .
coupe la droite aux points d'abscisse et .
Partie B
1. La démonstration se fait par récurrence sur .
Initialisation : et, d'après la question 2. d) on a .
Récurrence : Supposons . Comme est monotone croissante, on a . Mais d'après la question 2. e), donc .
Toujours d'après la question , sur on a , donc .
2. La suite est strictement monotone croissante puisque pour tout on a et donc, d'après la question 2. e), .
D'autre part, d'après la question précédente, la suite est majorée par , donc la suite est convergente.
exercice 2 - Commun à tous les candidats
On note V1 : "la face obtenue lors du premier lancer est verte", V2 : "la face obtenue lors du second lancer est verte",
N1 : "la face obtenue lors du premier lancer est noire", N2 : "la face obtenue lors du second lancer est noire",
R1 : "la face obtenue lors du premier lancer est rouge", R2 : "la face obtenue lors du second lancer est rouge".
V : "les deux faces obtenues sont vertes"
Partie I
1. On cherche la porbabilité de l'événement .
Les deux jets étant indépendants, on a : La probabilité pour qu'à l'issue d'un jeu, les deux faces obtenues soient noires est de
2. Soit l'événement C : "à l'issue d'un jeu, les deux faces obtenues sont de la même couleur"
Donc : soit les deux faces obtenues sont vertes, soit les deux faces obtenues sont noires, soit les deux faces obtenues sont rouges.
Donc : car les deux jets du dé sont indépendants.
3. La probabilité pour qu'à l'issue d'un jeu, les deux faces obtenues soient de couleurs différentes est donnée par :
4. Sachant que les deux faces obtenues sont de la même couleur, la probabilité pour que les deux faces obtenues soient vertes est donnée par :
Partie II
1. a) L'arbre de probabilités est le suivant :
1. b) A l'aide de l'arbre, la probabilité d'obtenir une face verte au deuxième lancer, sachant que l'on a obtenu une face verte au premier lancer est :
2. La probabilité d'obtenir deux faces vertes est égale à :
3. On a : Les deux événements et sont incompatibles, donc : Donc : D'où : la probabilité d'obtenir une face verte au deuxième lancer est .
exercice 3 - Commun à tous les candidats
Partie A
1. Pour tout nombre réel strictement positif, on a :
et, comme vérifie la condition :
soit
2. D'après la question 1., on a : , où est une constante réelle quelconque, et donc
l'ensemble des fonctions définies et dérivables sur l'intervalle qui vérifient la condition est l'ensemble des fonctions de la forme
, constante réelle.
3. La condition détermine la valeur de la constante :
d'où : . La fonction cherchée est donc
Partie B
1.. La fonction s'annule pour ou et, sur l'intervalle , elle est du signe de .
Comme la fonction est strictement croissante, on a :
. D'où :
sur pour ou sur
2. a) On pose : et .
On a : et .
En intégrant par parties, on obtient :
On en déduit :
2. b) La valeur de cette aire est égale à soit
exercice 4 - Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité
Partie I - Restitution organisée de connaissances
Partie II
1. a) Si on a donc les points B' et B sont confondus.
1. b) Pour on a :
. Cette équation n'admet pas de solution.
2.. Posons . On a alors :
et . Donc :
. L'ensemble cherché est donc la droite d'équation
3. Posons encore . On a :
. On en déduit :
réel . L'ensemble cherché est donc la droite d'équation privée du point O.
exercice 4 - Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité
Partie I - restitution organisée de connaissances
Soit les affixes respectives de (avec .
Il existe une unique similitude directe telle que et si et seulement si il existe deux complexes et , avec , solution unique du système.
Comme , le déterminant de ce système est non nul, et donc il admet une solution unique
. Comme on a bien
Partie II
1. a)
1. b).
1. c). Comme et sont distincts, ainsi que et , cette similtude directe existe et est unique, d'après la partie I.
2. a) Cette similitude est telle que :
soit :
En soustrayant membre à membre :
On a : et De même, et . On peut donc écrire :
. Par identification :
d'où , et d'où
2. b) La similitude est de la forme . Ce qui donne, appliquée aux points D et B :
On résout facilement ce système, pour obtenir : , d'où :
2. c) Le centre est point fixe de la similitude, c'est-à-dire vérifie . Posant on obtient :
, d'où le système :
dont on obtient facilement la solution : Le centre a donc pour affixe .
Publié par Porcepic/Aurélien
le
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