Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Général
Série Scientifique
Métropole - Session Septembre 2010

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

6 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [ par $f(x) = x (1 - \ln x)$ . La courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ est donnée en annexe (à rendre avec la copie).

Bac scientifique Métropole Septembre 2010 - terminale : image 1

Partie 1 : Étude de la fonction $f$

1. Étudier le signe de $f(x)$ suivant les valeurs du nombre réel $x$ .

2. Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de son ensemble de définition.

3. Déterminer la dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [.

4. Soit $a$ un nombre réel strictement positif. On considère la tangente $(T_{a})$ au point A de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisse $a$ .
a) Déterminer, en fonction du nombre réel $a$ , les coordonnées du point A', point d'intersection de la droite $(T_{a})$ et de l'axe des ordonnées.
b) Expliciter une démarche simple pour la construction de la tangente $(T_{a})$ . Sur l'annexe (à rendre avec la copie) construire la tangente $(T_{a})$ au point A placé sur la figure.

Partie II: Un calcul d'aire

Soit $a$ un nombre réel strictement positif.
On note $\mathcal{A}(a)$ la mesure, en unité d'aire, de l'aire de la région du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = a$ et $x = \text{e}$ .

1. Justifier que $\displaystyle \mathcal{A}(a) = \int_{a}^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x$ , en distinguant le cas $a < \text{e}$ et le cas $a > \text{e}$ .

2. À l'aide d'une intégration par parties, calculer $\mathcal{A}(a)$ en fonction de $a$ .

5 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

Soit $(u_{n})$ la suite définie par $u_{0} = 5$ et pour tout nombre entier naturel $n$ , par $u_{n+1} = \dfrac{4u_{n} - 1}{u_{n} +2}$ .

Si $f$ est la fonction définie sur l'intervalle ]-2 ; + $\infty$ [ par $f(x) = \dfrac{4x - 1}{x + 2}$ , alors on a, pour tout nombre entier naturel $n$ , $u_{n+1} = f(u_{n})$ .
On donne en annexe (à rendre avec la copie) une partie de la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ ainsi que la droite $\Delta$ d'équation $y = x$ .

Bac scientifique Métropole Septembre 2010 - terminale : image 2

1. a) Sur l'axe des abscisses, placer $u_{0}$ puis construire $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ en laissant apparents les traits de construction.
    b) Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation et sur la convergence de la suite $(u_{n})$ ?

2. a) Démontrer par récurrence que, pour tout nombre entier naturel $n$ , on a $u_{n} - 1 > 0$ .
    b) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Valider par une démonstration les conjectures émises à la question 1. b).

3. Dans cette question, on se propose d'étudier la suite $(u_{n})$ par une autre méthode, en déterminant une expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ .
Pour tout nombre entier naturel $n$ , on pose $v_{n} = \dfrac{1}{u_{n} - 1}$ .
    a) Démontrer que la suite $(v_{n})$ est une suite arithmétique de raison $\dfrac{1}{3}$ .
    b) Pour tout nombre entier naturel $n$ , exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$ .
    c) En déduire la limite de la suite $(u_{n})$ .

4 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

L'espace est rapporté à un repère orthonormal $(O ; \vec{i},\vec{j},\vec{k})$ .
Soit $(\mathcal{P})$ le plan d'équation : $3x + y - z -1 = 0$ et $(\mathcal{D})$ la droite dont une représentation paramétrique est $\left\lbrace\begin{array}{l} x = - t + 1 \\ y = 2t \\ z = -t + 2 \\ \end{array}\right.$    où $t$ désigne un nombre réel.
1. a) Le point C(1 ; 3 ; 2) appartient-il au plan $(\mathcal{P})$ ? Justifier.
    b) Démontrer que la droite $(\mathcal{D})$ est incluse dans le plan $(\mathcal{P})$ .

2. Soit $(\mathcal{Q})$ le plan passant par le point C et orthogonal à la droite $(\mathcal{D})$ .
    a) Déterminer une équation cartésienne du plan $(\mathcal{Q})$ .
    b) Calculer les coordonnées du point I, point d'intersection du plan $(\mathcal{Q})$ et de la droite $(\mathcal{D})$ .
    c) Montrer que CI $= \sqrt{3}$ .

3. Soit $t$ un nombre réel et $M_{t}$ le point de la droite $(\mathcal{D})$ de coordonnées $(- t+1 ; 2t ; -t+2)$ .
    a) Vérifier que pour tout nombre réel $t$ , $\text{C}M_{t}^2 = 6t^2 - 12t + 9$ .
    b) Montrer que CI est la valeur minimale de C $M_{t}$ lorsque $t$ décrit l'ensemble des nombres réels.

5 points

exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct $(O ; \vec{u},\vec{v})$ .

1. On considère le point I d'affixe i et le point A d'affixe $z_{\text{A}} = \sqrt{3} + 2\text{i}$ .
    a) Montrer que le point A appartient au cercle $\Gamma$ de centre le point I et de rayon 2.
Sur une figure (unité graphique 1 cm), qu'on complètera au fur et à mesure de l'exercice, placer le point I, tracer le cercle $\Gamma$ , puis construire le point A.
    b) On considère la rotation $r$ de centre le point I et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ .
Démontrer que le point B image du point A par la rotation $r$ a pour affixe $z_{\text{B}} = -1 + \text{i}\left(\sqrt{3} + 1\right)$ .
Justifier que le point B appartient au cercle $\Gamma$ .
    c) Calculer l'affixe du point C symétrique du point A par rapport au point I.
    d) Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.

2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
On considère les points E et F tels que : $\overrightarrow{\text{AE}} = \overrightarrow{\text{IB}}$ et $\overrightarrow{\text{AF}} = \overrightarrow{\text{BI}}$ .
Que peut-on conjecturer pour les droites (BF) et (CE) ?
Valider cette conjecture à l'aide d'une démonstration.

5 points

exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct $(O ; \vec{u},\vec{v})$ , on considère les deux rectangles OABC et DEFG où les points A, B, C, D, E, F, G ont pour affixes respectives $z_{\text{A}} = -2, z_{\text{B}} = -2 + \text{i}, z_{\text{C}}= \text{i}, z_{\text{D}}= 1, z_{\text{E}}= 1 + 3\text{i}, z_{\text{F}}= \dfrac{5}{2} + 3\text{i},z_{\text{G}} = \dfrac{5}{2}$ . Voir la figure donnée en annexe.

Bac scientifique Métropole Septembre 2010 - terminale : image 3

1. On considère la similitude directe $s$ transformant O en D et A en E.
    a) Justifier que l'écriture complexe de la similitude $s$ est: $z' = -\dfrac{3}{2}\text{i}z + 1$ .
    b) Déterminer l'angle et le rapport de la similitude $s$ .
    c) Quelle est l'image du rectangle OABC par la similitude $s$ ?

2. On considère la similitude indirecte $s'$ d'écriture complexe $z' = -\dfrac{2}{3}\text{i}\overline{z} + \dfrac{5}{3}\text{i}$ .
    a) Déterminer l'image du rectangle DEFG par la similitude $s'$ .
    b) On considère la similitude $g = s' \circ s$ .
Déterminer l'image du rectangle OABC par la similitude $g$ .
    c) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
La similitude $g$ a-t-elle des points fixes ? Que peut-on en conclure pour $g$ ?

Publié par TP/ le 30-11--0001

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