Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Général
Série Scientifique
La Réunion - Session Septembre 2010

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

5 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

L'espace est rapporté au repère orthonormal $(O ; \vec{i},\vec{j},\vec{k})$ .
On considère les plans $P$ et $Q$ d'équations respectives : $x+ y + z = 0 \quad \text{et} \quad 2x + 3y + z - 4 = 0$ .
1. Montrer que l'intersection des plans $P$ et $Q$ est la droite $D$ dont une représentation paramétrique est : $\left\lbrace\begin{array}{l} x = -4 -2t \\ y = 4 + t \\ z = t \end{array}\right.$ où $t$ est un nombre réel.
2. Soit $\lambda$ un nombre réel.
On considère le plan $P_{\lambda}$ d'équation : $(1- \lambda)( x + y + z) + \lambda(2 x + 3 y + z - 4) = 0$ .
    a) Vérifier que le vecteur $\vec{n}( 1 + \lambda ; 1 + 2\lambda ; 1)$ est un vecteur normal du plan $P_{\lambda}$ .
    b) Donner une valeur du nombre réel $\lambda$ pour laquelle les plans $P$ et $P_{\lambda}$ sont confondus.
    c) Existe-t-il un nombre réel $\lambda$ pour lequel les plans $P$ et $P_{\lambda}$ sont perpendiculaires ?

3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $D'$ , intersection des plans $P$ et $P_{-1}$ .
Montrer que les droites $D$ et $D'$ sont confondues.

4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
On considère le point A(1 ; 1 ; 1).
Déterminer la distance du point A à la droite $D$ , c'est-à-dire la distance entre le point A et son projeté orthogonal sur la droite $D$ .

4 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chaque question une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de la question et la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.

Dans une fête foraine, Luc décide de participer à un jeu qui se déroule de la manière suivante:
Luc tire au hasard un jeton dans une urne contenant quatre jetons rouges et deux jetons bleus.
    Si le jeton tiré est bleu. Luc gagne et le jeu s'arrête ; sinon, sans remettre dans l'urne le premier jeton tiré, il tire au hasard un deuxième jeton dans l'urne.
    Si le deuxième jeton tiré est bleu, Luc gagne et le jeu s'arrête ; sinon, sans remettre dans l'urne les deux jetons précédents, il tire au hasard un troisième jeton dans l'urne.
    Si le troisième jeton est bleu, Luc gagne et le jeu s'arrête ; sinon, le jeu s'arrête et Luc a perdu.

1. La probabilité que Luc gagne à ce jeu à l'issue du deuxième tirage est :

$\dfrac{19}{15}$

$\dfrac{2}{5}$

$\dfrac{11}{15 }$

$\dfrac{4}{15 }$

2. La probabilité que Luc gagne à ce jeu à l'issue du troisième tirage est :

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{15}$

$\dfrac{1}{9}$

3. La probabilité que Luc gagne à ce jeu après avoir effectué au moins deux tirages est :

$\dfrac{3}{5}$

$\dfrac{4}{15}$

$\dfrac{7}{15 }$

$\dfrac{1}{3}$

4. La probabilité que Luc gagne à ce jeu, sachant qu'il a obtenu un jeton rouge au premier tirage est :

$\dfrac{7}{10}$

$\dfrac{7}{15}$

$\dfrac{11}{15}$

$\dfrac{5}{9}$

6 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Pour tout nombre réel $k$ strictement positif, on considère la fonction $f_{k}$ définie sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [ par $f_{k}(x) = \ln (x) - kx^2 + 1$ .

Partie A

1. Déterminer la limite de la fonction $f_{k}$ en 0.

2. On rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln (x)}{x} = 0$ .
Démontrer que $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln (x)}{x^2} = 0$ .
En déduire la limite de la fonction $f_{k}$ en $+\infty$ .

3. Montrer que, pour tout nombre réel $x$ strictement positif, $f'_{k}(x) = \dfrac{1- 2kx^2}{x}$ .

4. Pour un nombre réel $k$ strictement positif : on donne ci-dessous le tableau de variations de la fonction $f_{k}$ . $\begin{tabvar}{|c|CCCCC|} \hline x & 0 & & \dfrac{1}{\sqrt{2k}} & & +\infty \\ \hline f_{k}(x) & \niveau{1}{3} \dbarre & \niveau{1}{2} \croit \niveau{2}{2} & \niveau{2}{2} \dfrac{1-\ln(2k)}{2} & \niveau{2}{2} \decroit \niveau{1}{2} & \\ \hline \end{tabvar}$ Justifier les renseignements sur les variations de la fonction $f_{k}$ figurant dans ce tableau.

5. On a tracé ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{k}$ représentative d'une fonction $f_{k}$ pour une certaine valeur du nombre réel $k$ strictement positif. Le point A $\left(1 ; \dfrac{1}{2}\right)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_{k}$ .
Quelle est la valeur du nombre réel $k$ correspondant ? Justifier la démarche.

Bac scientifique La Réunion Septembre 2010 - terminale : image 1

Partie B

Dans cette partie on pose $k = \dfrac{1}{2}$ .

1. Calculer $\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{1}\ln (x )\:\text{d}x$ . On pourra utiliser une intégration par parties.

2. Calculer, en unité d'aire, la mesure de l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction $f_{\frac{1}{2}}$ l'axe des abscisses et les droites d'équation $x =\dfrac{1}{2}$ et $x = 1$ .

5 points

exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal $(O ; \vec{u},\vec{v})$ ; unité graphique: 8 centimètres.
On considère la transformation $f$ du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z' = \dfrac{\sqrt{2}}{4}(- 1 + \text{i})z$ .
1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $f$ .

2. On définit la suite de points $\left(M_{n}\right)$ de la façon suivante : $M_{0}$ est le point d'affixe $z_{0} = 1$ et, pour tout nombre entier naturel $n, M_{n+1} = f\left(M_{n}\right)$ . On note $z_{n}$ l'affixe du point $M_{n}$ .
a) Justifier que, pour tout nombre entier naturel $n, z_{n} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \text{e}^{\text{i}\left(\frac{3 n \pi}{4} \right)}$
b) Construire les points $M_{0}$ , $M_{1}$ , $M_{2}$ , $M_{3}$ et $M_{4}$ .

3. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative meme non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Soient $n$ et $p$ deux entiers naturels. À quelle condition sur $n$ et $p$ les points $M_{n}$ et $M_{p}$ sont-ils alignés avec l'origine O du repère ?

5 points

exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal $(O ; \vec{u},\vec{v})$ ; unité graphique: 4 centimètres.
On considère la transformation $f$ du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ , associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z' = \dfrac{\sqrt{2}}{2}(-1 + \text{i})z$ .
1. Montrer que la transformation $f$ est une rotation dont on déterminera le centre et l'angle.

2. On définit la suite de points $\left(M_{n}\right)$ de la façon suivante : $M_{0}$ est le point d'affixe $z_{0} = 1$ et, pour tout nombre entier naturel $n$ , $M_{n+1} = f\left(M_{n}\right)$ . On note $z_{n}$ l'affixe du point $M_{n}$ .
    a) Justifier que, pour tout nombre entier naturel $n, z_{n} = \text{e}^{\text{i}\left(\frac{3 n \pi}{4} \right)}$ .
    b) Construire les points $M_{0}, M_{1}, M_{2}, M_{3}$ et $M_{4}$ .
    c) Montrer que pour tout nombre entier naturel $n$ , les points $M_{n}$ et $M_{n+8}$ sont confondus.

3. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Prouver que les triangles $M_{0}M_{1}M_{2}$ et $M_{7}M_{0}M_{1}$ ont la même aire. Préciser la valeur exacte de cette aire.

Publié par TP/ le 30-11--0001

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