Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Général
Série Scientifique
Nouvelle Calédonie - Session Novembre 2010

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

7 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Partie A : restitution organisée de connaissances

On suppose connus les résultats suivants :
Soient $u$ et $v$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a ; b]$ avec $a < b$
    si pour tout $x \in [a ; b] \quad u(x) \ge 0$ alors $\displaystyle \int_{a}^b u(x)\:\text{d}x \ge 0$
    $\displaystyle \int_{a}^b[u(x) + v(x)]\:\text{d}x = \int_{a}^b u(x)\:\text{d}x + \int_{a}^b v(x)\:\text{d}x$
    $\displaystyle \int_{a}^b \alpha u(x)\:\text{d}x = \alpha \int_{a}^b u(x)\:\text{d}x$ où $\alpha$ est un nombre réel.

Démontrer que si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $[a ; b]$ avec $a < b$ et si pour tout $x$ de $[a ; b], f(x) \le g(x)$ alors : $\displaystyle \int_{a}^b f(x)\:\text{d}x \le \int_{a}^b g(x)\:\text{d}x$ .

Partie B :

Soit $\varphi$ la fonction définie sur l'intervalle [1 ; + $\infty$ [ par $\varphi(x) = 1 + x^2 - 2x^2 \ln x.$
1. a) Étudier le sens de variation de la fonction $\varphi$ sur l'intervalle [1 ; + $\infty$ [.
    b) Calculer $\varphi(\text{e})$ . Démontrer que l'équation $\varphi(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [1 ; e]. Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude 10^-1.
    c) Déterminer le signe de $\varphi(x)$ suivant les valeurs de $x$ .

2. Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [1 ; + $\infty$ [ par $f(x) = \dfrac{\ln x}{1 + x^2}$ . On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ .
    a) Calculer $f'(x)$ et montrer que pour tout $x \ge 1$ on a : $f'(x) = \dfrac{\varphi(x)}{x\left(1 + x^2 \right)^2}$ .
    b) Déduire de la question 1. le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [1 ; + $\infty$ [.
    c) Démontrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [1 ; + $\infty$ [ on a : $0 \le f(x) \le \dfrac{\ln x}{x^2}$ .
    d) En déduire $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x)$ .

3. a) À l'aide d'une intégration par parties, montrer que $\displaystyle \int_{1}^{\text{e}} \dfrac{\ln x}{x^2}\:\text{d}x = 1 - \dfrac{2}{\text{e}}$ .
    b) On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ , dans un repère orthonormé $(O ; \vec{i},\vec{j})$ d'unité graphique 1 cm.
Soit $\mathcal{A}$ l'aire exprimée en cm² du domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = \text{e}$ .
Déterminer un encadrement de $\mathcal{A}$ .

5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O ; \vec{u},\vec{v})$ d'unité graphique 2 cm.
On considère les points A, B et C d'affixes respectives $z_{\text{A}} = -2\text{i}$ , $z_{\text{B}} = -\sqrt{3} + \text{i}$ et $z_{\text{C}} = \sqrt{3} + \text{i}$ .
1. a) Écrire $z_{\text{A}}$ , $z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ sous forme exponentielle.
    b) En déduire le centre et le rayon du cercle $\Gamma$ passant par les points A, B et C.
    c) Faire une figure et placer le point A, tracer le cercle $\Gamma$ puis placer les points B et C.

2. a) Écrire le quotient $\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{A}}}$ sous forme algébrique puis sous forme exponentielle.
    b) En déduire la nature du triangle ABC .

3. On note $r$ la rotation de centre A et d'angle mesurant $\dfrac{\pi}{3}$ radians.
    a) Montrer que le point O', image de O par $r$ , a pour affixe $- \sqrt{3} - \text{i}$ .
    b) Démontrer que les points C et O' sont diamétralement opposés sur le cercle $\Gamma$ .
    c) Tracer l'image $\Gamma'$ du cercle $\Gamma$ par la rotation $r$ .
    d) Justifier que les cercles $\Gamma$ et $\Gamma'$ se coupent en A et B.

4. a) Déterminer l'ensemble $(E)$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z| = \left|z + \sqrt{3} + \text{i}\right|$ .
    b) Montrer que les points A et B appartiennent à $(E)$ .

5 points

exercice 2 - Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O ; \vec{u},\vec{v})$ .
On considère la similitude indirecte $f$ d'écriture complexe $z' = \left(1 + \text{i}\sqrt{3}\right)\overline{z}$ où $\overline{z}$ désigne le conjugué de $z$ .
Soient les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = \sqrt{6} + \text{i}\sqrt{2}$ et $z_{\text{B}} = - \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{6}$ .
On note A' et B' les images respectives des points A et B par $f$ .

Une figure fournie en ANNEXE du sujet, sera complétée et rendue avec la copie. Les différentes constructions seront faites à la règle et au compas, et les traits de construction devront apparaître clairement.

Bac scientifique Nouvelle Calédonie Novembre 2010 - terminale : image 1

1. a) Écrire les affixes des points A et B sous forme exponentielle.
    b) Montrer que le triangle OAB est rectangle isocèle direct.
    c) En déduire la nature du triangle OA'B'.
    d) Montrer que l'affixe $z_{\text{A}'}$ de A' vérifie l'égalité : $z_{\text{A}'} = 2z_{\text{A}}$ .
En déduire la construction de A' et B'.

2. On note $r$ la rotation de centre O et d'angle de mesure $\dfrac{\pi}{3}$ , et $s$ la symétrie orthogonale d'axe $\left(\text{O} ; \vect{u}\right)$ . On pose $g = r \circ s$ .
    a) Déterminer l'écriture complexe de la transformation $g$ .
    b) Montrer que les points O et A sont invariants par $g$ .
    c) En déduire la nature de la transformation $g$ .

3. a) Montrer que l'on peut écrire $f = h \circ g$ , où $h$ est une homothétie de centre et de rapport à déterminer.
    b) Sur la figure placée en ANNEXE (ci-dessus), un point C est placé. Faire la construction de l'image C' de C par la transformation $f$ .

4 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Une urne contient cinq boules indiscernables au toucher : deux vertes et trois rouges.

Les questions 1. et 2. sont indépendantes

1. On extrait simultanément et au hasard deux boules de l'urne.
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules vertes figurant dans le tirage.
    a) Vérifier que $P(X = 0) = \dfrac{3}{10}$ puis déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ .
    b) Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ .
    c) Calculer la probabilité de l'évènement suivant:
A : «les deux boules tirées sont de même couleur».

2. On effectue deux tirages successifs d'une boule en respectant la règle suivante :
si la boule tirée est rouge, on la remet dans l'urne ; si elle est verte, on ne la remet pas.
    a) En utilisant un arbre pondéré, calculer la probabilité des évènements suivants :
       B : «seule la première boule tirée est verte»,
       C : «une seule des deux boules tirées est verte».
    b) Sachant que l'on a tiré exactement une boule verte, quelle est la probabilité que cette boule verte soit la première tirée ?

4 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O ; \vec{i},\vec{j},\vec{k})$ .

L'objectif de cet exercice est de déterminer la position relative d'objets de l'espace

    $\mathcal{P}$ est le plan passant par A(3 ; 1 ; 2) et de vecteur normal $\vec{n}(1 ; - 4 ; 1)$ ;
    $\mathcal{D}$ est la droite passant par B(1 ; 4 ; 2) de vecteur directeur $\vec{u}(1 ; 1 ; 3)$ .
    $\mathcal{S}$ est la sphère de centre $\Omega$ (1 ; 9 ; 0) passant par A.

1. Intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la droite $\mathcal{D}$ .
    a) Démontrer que le plan $\mathcal{P}$ a pour équation cartésienne : $x - 4y + z - 1 = 0$ .
    b) Montrer que la droite $\mathcal{D}$ est strictement parallèle au plan $\mathcal{P}$ .

2. Intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la sphère $\mathcal{S}$ .
    a) Calculer la distance $d$ du point $\Omega$ au plan $\mathcal{P}$ .
    b) Calculer le rayon de la sphère $\mathcal{S}$ . En déduire l'intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la sphère $\mathcal{S}$ .

3. Intersection de la droite $\mathcal{D}$ et de la sphère $\mathcal{S}$ .
    a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ .
    b) Déterminer une équation cartésienne de la sphère $\mathcal{S}$ .
    c) En déduire que la droite $\mathcal{D}$ coupe la sphère $\mathcal{S}$ en deux points $M$ et $N$ distincts dont on ne cherchera pas à déterminer les coordonnées.

Publié par TP/ le 30-11--0001

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