Baccalauréat Général
Série Scientifique
Liban - Session Juin 2010
Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
5 points exercice 1 - Commun à tous les candidats
Partie A
Restitution organisée de connaissances.
On supposera connus les résultats suivants :
1. Démontrer que pour tout réel

,

.
2. Démontrer que pour tout réel

et pour tout entier naturel

,
^n = \text{e}^{nx})
.
Partie B
On considère la suite
)
définie pour tout entier naturel

par :
.
1. a) Montrer que

.
b) Calculer

. En déduire

.
2. Montrer que pour tout entier naturel

,

.
3. a) Montrer que pour tout entier naturel

non nul,

.
b) En déduire que pour tout entier naturel

non nul,

.
4. Déterminer la limite de la suite
)
.
4 points exercice 2 - Commun à tous les candidats
L'espace est muni d'un repère orthonormal
)
.
On note (D) la droite passant par les points A(1 ; - 2 ; -1) et B(3 ; - 5 ; - 2).
1. Montrer qu'une représentation paramétrique de la droite (D) est :
avec
.
2. On note (D') la droite ayant pour représentation paramétrique :
avec
.
Montrer que les droites (D) et (D') ne sont pas coplanaires.
3. On considère le plan (P) d'équation

.
a) Montrer que le plan (P) contient la droite (D).
b) Montrer que le plan (P) et la droite (D') se coupent en un point C dont on précisera les coordonnées.
4. On considère la droite
)
passant par le point C et de vecteur directeur

(1 ; 1 ; - 1).
a) Montrer que les droites
)
et (D') sont perpendiculaires.
b) Montrer que la droite
)
coupe perpendiculairement la droite (D) en un point E dont on précisera les coordonnées.
5 points exercice 3 - Enseignement obligatoire
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et donner une justification de la réponse choisie.
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même nonfructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
1. Une urne contient une boule blanche et deux boules noires. On effectue 10 tirages successifs d'une boule avec remise (on tire une boule au hasard, on note sa couleur, on la remet dans l'urne et on recommence).
Proposition 1 : «La probabilité de tirer exactement 3 boules blanches est
^3 \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^7)
.»
2. Une variable aléatoire

suit la loi exponentielle de paramètre

).
On rappelle que pour tout réel
 = \int_{0}^a \lambda \text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t)
.
Proposition 2 : «Le réel

tel que
 = p(X \le a))
est égal à

.»
3. Soit le nombre complexe

.
Proposition 3 : «Si l'entier naturel

est un multiple de 3 alors

est un réel.»
4. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct
)
, le point A d'affixe

et le point B d'affixe

.
Proposition 4 : «Le triangle OAB est rectangle isocèle.»
5. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct
)
, à tout point M du plan d'affixe

non nulle on associe le point M' d'affixe

telle que

où

désigne le nombre conjugué de

.
Proposition 5 : «Il existe un point M tel que O, M et M' ne sont pas alignés.»
5 points exercice 3 - Enseignement de spécialité
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et donner une justification de la réponse choisie.
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
1. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct
)
, le point A d'affixe

et B l'image de A par la rotation de centre O et d'angle

.
On note I le milieu du segment [AB].
Proposition 1 : «La similitude directe de centre A qui transforme I en O a pour écriture complexe
z -1 - 2\text{i})
.»
2. On appelle S l'ensemble des couples
)
d'entiers relatifs solutions de l'équation

.
Proposition 2 : «L'ensemble S est l'ensemble des couples (5

- 1 ; 3

-1) où

est un entier relatif.»
3. On considère l'équation (E) :

modulo 3, où
)
est un couple d'entiers relatifs.
Proposition 3 : «Il existe des couples
)
d'entiers relatifs solutions de (E) qui ne sont pas des couples de multiples de 3.»
4. Soit

un entier naturel supérieur ou égal à 3.
Proposition 4 : «Pour tout entier naturel
)
, le nombre

n'est pas un nombre premier.»
5. On considère l'équation (E') :

, où

est un entier naturel.
Proposition 5 : «Il existe deux entiers naturels non nuls dont le PGCD et le PPCM sont solutions de l'équation (E').»
6 points exercice 4 - Commun à tous les candidats
Partie A
Soit

la fonction définie sur ]0 ; +

[ par
.
1. Étudier les variations de

sur ]0 ; +

[ et préciser ses limites en 0 et en +

.
2. a) Montrer que l'équation
 = 0)
admet une solution unique sur ]0 ; +

[.
On note

cette solution.
b) À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d'amplitude 10
-2 de

.
3. Déterminer le signe de
)
suivant les valeurs de

.
4. Montrer l'égalité :

.
Partie B
On considère la fonction

définie et dérivable sur ]0 ; +

[ par
.
On note

la fonction dérivée de

sur ]0 ; +

[.
1. Exprimer, pour tout

de ]0 ; +

[,
)
en fonction de
)
.
2. En déduire les variations de

sur ]0 ; +

[.
Partie C
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé
)
, on note :

la courbe représentative de la fonction

(logarithme népérien) ;
A le point de coordonnées (0 ; 2) ;
M le point de

d'abscisse

appartenant à ]0 ; +

[.
1. Montrer que la distance AM est donnée par AM =
})
.
2. Soit

la fonction définie sur ]0 ; +

[ par
 = \sqrt{f(x})
.
a) Montrer que les fonctions

et

ont les mêmes variations sur ]0 ; +

[.
b) Montrer que la distance AM est minimale en un point de

, noté P, dont on précisera les coordonnées.
c) Montrer que AP

.
3. Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
La droite (AP) est-elle perpendiculaire à la tangente à

en P ?