Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Général
Série Scientifique
Liban - Session Juin 2010

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

5 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Partie A

Restitution organisée de connaissances.
On supposera connus les résultats suivants :

$\text{e}^0 = 1$ .
Pour tous réels $x$ et $y$ , $\text{e}^{x} \times \text{e}^{y} = \text{e}^{x + y}$ .

1. Démontrer que pour tout réel $x$ , $\text{e}^{-x} = \dfrac{1}{\text{e}^{x}}$ .

2. Démontrer que pour tout réel $x$ et pour tout entier naturel $n$ , $\left(\text{e}^{x}\right)^n = \text{e}^{nx}$ .

Partie B

On considère la suite $(u_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $\displaystyle u_{n} = \int_{0}^1 \dfrac{\text{e}^{-nx}}{1 + \text{e}^{-x}}\:\text{d}x$ .
1. a) Montrer que $u_{0} + u_{1} = 1$ .
b) Calculer $u_{1}$ . En déduire $u_{0}$ .

2. Montrer que pour tout entier naturel $n$ , $u_{n} \ge 0$ .

3. a) Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n+1} + u_{n} = \dfrac{1 - \text{e}^{-n}}{n}$ .
b) En déduire que pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n} \le \dfrac{1 - \text{e}^{-n}}{n}$ .

4. Déterminer la limite de la suite $(u_{n})$ .

4 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

L'espace est muni d'un repère orthonormal $(O ; \vec{i},\vec{j},\vec{k})$ .
On note (D) la droite passant par les points A(1 ; - 2 ; -1) et B(3 ; - 5 ; - 2).

1. Montrer qu'une représentation paramétrique de la droite (D) est : $\left\lbrace\begin{array}{l} x = 1 + 2t \\ y = - 2 - 3t \\ z = - 1 - t \end{array}\right.$    avec $t \in \mathbb{R}$ .
2. On note (D') la droite ayant pour représentation paramétrique : $\left\lbrace\begin{array}{l} x = 2 - k \\ y = 1 + 2k \\ z = k \end{array}\right.$    avec $k \in \mathbb{R}$ . Montrer que les droites (D) et (D') ne sont pas coplanaires.

3. On considère le plan (P) d'équation $4x + y + 5z + 3 = 0$ .
    a) Montrer que le plan (P) contient la droite (D).
    b) Montrer que le plan (P) et la droite (D') se coupent en un point C dont on précisera les coordonnées.

4. On considère la droite $(\Delta)$ passant par le point C et de vecteur directeur $\vec{w}$ (1 ; 1 ; - 1).
    a) Montrer que les droites $(\Delta)$ et (D') sont perpendiculaires.
    b) Montrer que la droite $(\Delta)$ coupe perpendiculairement la droite (D) en un point E dont on précisera les coordonnées.

5 points

exercice 3 - Enseignement obligatoire

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et donner une justification de la réponse choisie.

Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même nonfructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

1. Une urne contient une boule blanche et deux boules noires. On effectue 10 tirages successifs d'une boule avec remise (on tire une boule au hasard, on note sa couleur, on la remet dans l'urne et on recommence).

Proposition 1 : «La probabilité de tirer exactement 3 boules blanches est $3 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^3 \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^7$ .»

2. Une variable aléatoire $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda (\lambda > 0$ ).
On rappelle que pour tout réel $\displaystyle a > 0 : p(X \le a) = \int_{0}^a \lambda \text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t$ .
Proposition 2 : «Le réel $a$ tel que $p(X > a) = p(X \le a)$ est égal à $\dfrac{\ln 2}{\lambda}$ .»

3. Soit le nombre complexe $z = 1- \text{i}\sqrt{3}$ .
Proposition 3 : «Si l'entier naturel $n$ est un multiple de 3 alors $z^n$ est un réel.»

4. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct $(O ; \vec{u},\vec{v})$ , le point A d'affixe $a = 2 - \text{i}$ et le point B d'affixe $b = \dfrac{1 + \text{i}}{2}a$ .
Proposition 4 : «Le triangle OAB est rectangle isocèle.»

5. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct $(O ; \vec{u},\vec{v})$ , à tout point M du plan d'affixe $z$ non nulle on associe le point M' d'affixe $z'$ telle que $z' = \dfrac{- 10}{\overline{z}}$ où $\overline{z}$ désigne le nombre conjugué de $z$ .
Proposition 5 : «Il existe un point M tel que O, M et M' ne sont pas alignés.»

5 points

exercice 3 - Enseignement de spécialité

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et donner une justification de la réponse choisie.

Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

1. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct $(O ; \vec{u},\vec{v})$ , le point A d'affixe $2 - \text{i}$ et B l'image de A par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ .
On note I le milieu du segment [AB].
Proposition 1 : «La similitude directe de centre A qui transforme I en O a pour écriture complexe $z'= (1 + \text{i})z -1 - 2\text{i}$ .»

2. On appelle S l'ensemble des couples $(x ; y)$ d'entiers relatifs solutions de l'équation $3x - 5y = 2$ .
Proposition 2 : «L'ensemble S est l'ensemble des couples (5 $k$ - 1 ; 3 $k$ -1) où $k$ est un entier relatif.»

3. On considère l'équation (E) : $x^2 + y^2 = 0$ modulo 3, où $(x ; y)$ est un couple d'entiers relatifs.
Proposition 3 : «Il existe des couples $(x ; y)$ d'entiers relatifs solutions de (E) qui ne sont pas des couples de multiples de 3.»

4. Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 3.
Proposition 4 : «Pour tout entier naturel $k (2 \le k \le n)$ , le nombre $n! + k$ n'est pas un nombre premier.»

5. On considère l'équation (E') : $x^2 -52x + 480 = 0$ , où $x$ est un entier naturel.
Proposition 5 : «Il existe deux entiers naturels non nuls dont le PGCD et le PPCM sont solutions de l'équation (E').»

6 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Partie A

Soit $u$ la fonction définie sur ]0 ; + $\infty$ [ par $u(x) = x^2 - 2 + \ln x$ .
1. Étudier les variations de $u$ sur ]0 ; + $\infty$ [ et préciser ses limites en 0 et en + $\infty$ .

2. a) Montrer que l'équation $u(x) = 0$ admet une solution unique sur ]0 ; + $\infty$ [.
On note $\alpha$ cette solution.
b) À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d'amplitude 10^-2 de $\alpha$ .

3. Déterminer le signe de $u(x)$ suivant les valeurs de $x$ .

4. Montrer l'égalité : $\ln \alpha = 2 - \alpha^2$ .

Partie B

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur ]0 ; + $\infty$ [ par $f(x) = x^2 + (2 - \ln x)^2$ . On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur ]0 ; + $\infty$ [.

1. Exprimer, pour tout $x$ de ]0 ; + $\infty$ [, $f'(x)$ en fonction de $u(x)$ .

2. En déduire les variations de $f$ sur ]0 ; + $\infty$ [.

Partie C

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O ; \vec{i},\vec{j})$ , on note :
    $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction $\ln$ (logarithme népérien) ;
    A le point de coordonnées (0 ; 2) ;
    M le point de $\Gamma$ d'abscisse $x$ appartenant à ]0 ; + $\infty$ [.

1. Montrer que la distance AM est donnée par AM = $\sqrt{f(x)}$ .

2. Soit $g$ la fonction définie sur ]0 ; + $\infty$ [ par $g(x) = \sqrt{f(x}$ .
    a) Montrer que les fonctions $f$ et $g$ ont les mêmes variations sur ]0 ; + $\infty$ [.
    b) Montrer que la distance AM est minimale en un point de $\Gamma$ , noté P, dont on précisera les coordonnées.
    c) Montrer que AP $= \alpha \sqrt{1 + \alpha^2}$ .

3. Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
La droite (AP) est-elle perpendiculaire à la tangente à $\Gamma$ en P ?

Publié par TP/ le 19-11-2015

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