Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Technologique
Sciences et technologies Industrielles

Génie Mécanique
(Option A : Production Mécanique - Option F : Microtechniques)
Génie Énergétique
Génie Civil
Métropole - Session Juin 2010

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Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4

Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.

Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

Le formulaire officiel de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.
6 points

exercice 1

Partie A

En 2008, les ateliers Ouest et Est d'une même entreprise produisent respectivement 1100 et 900 pièces d'un unique modèle chaque jour.
On estime que 2% de la production de l'atelier Ouest est défectueuse ainsi que 3% de la production de l'atelier Est.

1. Compléter sur l'annexe à rendre avec la copie, le tableau suivant :

  Pièces défectueuses Pièces non défectueuses Total
Ouest 22    
Est      
Total     2000


2. On prélève, au hasard, une pièce dans la production totale. Toutes les pièces ont la même probabilité d'être prélevées.
    a) On définit les événements suivants :
       E : "la pièce prélevée est produite dans l'atelier Est".
       D : "la pièce prélevée est défectueuse".
On note p(E) la probabilité de l'événement E.
Calculer p(E), p(D), p(EinterD) puis p(EunionD).
    b) On a prélevé au hasard une pièce dans la production de l'entreprise. Elle est défectueuse.
Calculer la probabilité qu'elle provienne de l'atelier Ouest.

Partie B

En 2009, la production journalière est la suivante :

  Pièces défectueuses Pièces non défectueuses Total
Ouest 20 980 1000
Est 24 776 800
Total 44 1756 1800

Chaque pièce coûte 7 € à produire et est testée.
La réparation d'une pièce défectueuse produite dans l'atelier Ouest coûte 3 € et celle d'une pièce défectueuse produite dans l'atelier Est 5 €.
Chaque pièce est ensuite vendue 10 €. Ainsi, par exemple, une pièce défectueuse produite par l'atelier Ouest rapporte : 10-7-3 soit 0 € à l'entreprise.

On appelle B le gain journalier de l'entreprise.

1. Calculer le gain journalier B de l'entreprise.
2. Durant l'année, les ateliers fonctionnent 300 jours. Estimer le gain annuel, exprimé en euros, de l'entreprise.
3. Le chef d'entreprise envisage d'éliminer les pièces défectueuses avant réparation pour ne vendre que les pièces non défectueuses. Cette stratégie lui coûte 100 000 € par an compte tenu du recyclage.
Cette stratégie est-elle rentable pour l'entreprise ?


4 points

exercice 2

Le plan complexe est rapporté à un repère (O ; \vec{u} , \vec{v}) orthonormal direct d'unité graphique 2 cm.
On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument \dfrac{\pi}{2}.

1. On note P le polynôme défini pour tout nombre complexe z par P(z) = z^3 - 3 z^2 + 4 z + 8.
    a) Vérifier que P(-1)=0.
    b) Déterminer deux nombres réels a et b tels que pour tout nombre complexe z,
P(z) = (z+1)(z^2 + a z + b)

    c) Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation P(z)=0.

2. On note A, B et C les points du plan, d'affixes respectives z_A = -1, z_B = 2 + 2 i, z_C = 2 - 2 i.
    a) Placer les points A, B et C dans le repère (O ; \vec{u} , \vec{v}).
    b) Déterminer le module et un argument des nombres complexes z_A, z_B et z_C. En déduire une écriture exponentielle de ces trois nombres.
    c) Déterminer l'aire en cm² du triangle ABC.



10 points

probleme

Partie A

On considère l'équation différentielle notée (E) :
y' + 0,1 y = 3

y désigne une fonction inconnue de la variable réelle t, dérivable sur l'intervalle \left[0,+\infty \right[ .

1. Résoudre l'équation différentielle notée (F) :
z' + 0,1 z = 0

z désigne une fonction inconnue de la variable réelle t, dérivable sur l'intervalle \left[0,+\infty \right[ .

2. On pose, pour tout nombre réel t appartenant à l'intervalle \left[0,+\infty \right[ , y(t) = z(t) + 30, où la fonction z est solution de l'équation différentielle (F).
    a) Démontrer que la fonction y est solution de l'équation différentielle (E).
    b) Parmi les fonctions précédentes, déterminer celle vérifiant y(0)=20.

Partie B

La température f en degrés Celsius (°C) du lubrifiant d'un moteur varie en fonction du temps t de fonctionnement exprimé en heures.
La fonction f est définie pour tout nombre réel t de l'intervalle \left[0,+\infty \right[ par f(t) = 30 - 10 e^{-0,1 t}.

1. Déterminer la température du lubrifiant :
    a) A l'arrêt.
    b) Au bout de vingt quatre heures.

2. On s'intéresse au comportement de la fonction f en +\infty.
    a) Déterminer \displaystyle \lim_{t \to + \infty} f(t) .
    b) Donner une interprétation graphique du résultat obtenu.
    c) Donner une signification concrète de ce résultat pour le lubrifiant.

3. On note f' la fonction dérivée de la fonction f.
    a) Calculer f'(t) pour tout nombre réel t appartenant à l'intervalle \left[0,+\infty \right[ .
En déduire le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle \left[0,+\infty \right[ .
    b) Construire la courbe représentative de la fonction f sur l'intervalle \left[0,+\infty \right[ dans le repère orthogonal (O ; \vec{i} , \vec{j}) donné ci-dessous.
bac STI génie mécanique (A et F) génie énergétique génie civil, Métropole juin 2010 - terminale : image 1

    c) A quel instant la température du lubrifiant est-elle de 28°C ? Donner une valeur approchée à l'heure près puis à la minute près du résultat.
    d) Calculer la température moyenne du lubrifiant entre la cinquième et la dixième heure de fonctionnement.

On rappelle que la valeur moyenne d'une fonction g dérivable sur [a ; b] est :
V_m = \dfrac{1}{b-a} \displaystyle \int_{a}^{b}{g(x) dx}




exercice 1

Partie A

1.
  Pièces défectueuses Pièces non défectueuses Total
Ouest 22 1078 1100
Est 27 873 900
Total 49 1951 2000


2. a) Il y a 900 pièces produites dans l'atelier Est parmi les 2000 pièces produites, donc :
p(E) = \dfrac{900}{2000} \\ \boxed{ p(E) = 0,45}

Il y a 49 pièces défectueuses parmi les 2000 pièces produites, donc :
p(D) = \dfrac{49}{2000} \\ \boxed{ p(D) = 0,0245}

Il y a 27 pièces défectueuses produites dans l'atelier Est parmi les 2000 pièces produites, donc :
p(E \cap D) = \dfrac{27}{2000} \\ \boxed{ p(E \cap D) = 0,0135}

Pour calculer p(E \cup D), on utilise la formule :
p(E \cup D) = p(E) + p(D) - p(E \cap D) \\ p(E \cup D) = 0,45 + 0,0245 - 0,0135 \\ \boxed{p(E \cup D) = 0,461}

2. b) Il y a 22 pièces produites dans l'atelier Ouest parmi les 49 pièces défectueuses, donc :
\boxed{p = \frac{22}{49} \approx 0,449}

Partie B

1. Calcul du gain journalier
Chacune des 1756 pièces non défectueuses rapporte : 10 - 7 = 3 €.
Chacune des 20 pièces défectueuses de l'atelier Ouest rapporte : 10 - 7 - 3 = 0 €.
Chacune des 24 pièces défectueuses de l'atelier Est rapporte : 10 - 7 - 5 = -2 € (donc fait perdre 2 €).
Le gain journalier B est donc égal à :
B = 1756 \times 3 + 20 \times 0 - 24 \times 2 \\ \boxed{B = 5220 \text{ euros}}

2. Calcul du gain annuel
Le gain annuel Ba est donné par :
B_a = 300 \times B \\ B_a = 300 \times 5220 \\ \boxed{ B_a = 1556000 \text{ euros}}

2. La vente des 1756 pièces défectueuses produites par jour et pendant 300 jours, rapporte chacune 3 € : 1756 \times 3 \times 300 = 1580400 €.
En retirant les 100 000 € de recyclage des pièces défectueuses, il reste :1 580 400-100 000 = 1 480 400 €.
Conclusion : Il est donc préférable de réparer les pièces défectueuses, car cela rapporte davantage.




exercice 2

1. a)
P(-1) = (-1)^3 - 3 (-1)^2 + 4 \times (-1) + 8 \\ P(-1) = -1 - 3 - 4 + 8 \\ \boxed{P(-1) = 0}
Donc -1 est une racine du polynôme P.

1. b) On développe puis on ordonne selon les puissances de z :
P(z) = (z+1) (z^2 + a z + b ) \\ P(z) = z^3 + a z^2 + b z + z^2 + a z + b \\ P(z) = z^3 + (a+1) z^2 + (a+b) z + b
Par identification avec les coefficients du polynôme P, on obtient le système suivant :
\begin{array} a+1 = -3 \\ a+b=4 \\ b=8 \end{cases}
Ce qui donne, après résolution :
\boxed{\begin{cases} a = -4 \\ b=8 \end{cases}}
Le polynôme P s'écrit donc : P(z) = (z+1)(z^2-4z+8)

1. c) Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul, donc :
P(z) = 0 \Longleftrightarrow \, z + 1 = 0 \, \text{ ou } \, z^2-4z+8 = 0 \\ P(z) = 0 \Longleftrightarrow \, z = -1 \, \text{ ou } \, z^2-4z+8 = 0

Résolution de z^2-4z+8 = 0 :
Calcul du discriminant : \Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 8 = -16
Donc l'équation admet deux solutions complexes conjuguées :
z_1 = \dfrac{-(-4) + i \sqrt{16}}{2} = 2 + 2 i
et z_2 = 2 - 2 i
L'équation P(z)=0 admet pour solutions \boxed{ \lbrace -1 \; ; \; 2 + 2i \; ; \; 2 - 2i \rbrace }

2. a)
bac STI génie mécanique (A et F) génie énergétique génie civil, Métropole juin 2010 - terminale : image 2


2. b) Calcul des modules.
|z_A| = |-1| \\ \boxed{|z_A| = 1}

|z_B| = |2+2i| \\ |z_B| = \sqrt{2^2+2^2} \\ |z_B| = \sqrt{8} \\ \boxed{|z_B| = 2 \sqrt{2}}

|z_C| = |2-2i| \\ |z_C| = \sqrt{2^2+(-2)^2} \\ |z_C| = \sqrt{8} \\ \boxed{|z_C| = 2 \sqrt{2}}

Calcul des arguments.
L'argument \theta_A de z_A est tel que :
\begin{cases} \cos (\theta_A )  =  \dfrac{ Re(z_A)}{|z_A|} = \dfrac{-1}{1} = -1 \\ \sin (\theta_A )  =  \dfrac{ Im(z_A)}{|z_A|}  = \dfrac{0}{1} = 0 \end{cases}
On en déduit que \boxed{\theta_A = \pi}

L'argument \theta_B de z_B est tel que :
\begin{cases} \cos (\theta_B )  =  \dfrac{ Re(z_B)}{|z_B|} = \dfrac{2}{2\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\  \sin (\theta_B )  =  \dfrac{ Im(z_B)}{|z_B|}  = \dfrac{2}{2\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}
On en déduit que \boxed{\theta_B = \frac{\pi}{4}}

L'argument \theta_C de z_C est tel que :
\begin{cases} \cos (\theta_C )  =  \dfrac{ Re(z_C)}{|z_C|} = \dfrac{2}{2\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\  \sin (\theta_C )  =  \dfrac{ Im(z_C)}{|z_C|}  = \dfrac{-2}{2\sqrt{2}} = \dfrac{-1}{\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}
On en déduit que \boxed{\theta_C = -\frac{\pi}{4}}

Formes exponentielles.
La forme exponentielle d'un nombre complexe z de module \rho et d'argument \theta est z = \rho e^{i \theta}, donc :
\boxed{z_A = e^{i \pi} \;\;\; z_B = 2 \sqrt{2}e^{i \frac{\pi}{4}} \;\;\; z_C = 2 \sqrt{2}e^{-i \frac{\pi}{4}} }

2. c) Pour des raisons de symétrie, le triangle ABC est isocèle en A. En appelant H le milieu du segment [BC], l'aire est donnée par :
\text{Aire}(ABC) = \dfrac{BC \times AH}{2} = \dfrac{4 \times 3}{2} = 6
L'unité de cette aire est en unité d'aire, qui est égale à 2 \times 2 = 4 cm2, donc :
\boxed{Aire(ABC) = 24 \; cm^2}




probleme

Partie A

1. Dans le formulaire, on trouve que l'ensemble des solutions de l'équation différentielle y' - a y = 0 est donné par f(x) = k e^{ax}.
Ici, on a a=-0,1, donc l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (F) est donné par :
\boxed{z(t) = k e^{-0,1t}}k est une constante réelle.

2. a) On a y(t) = z(t) + 30, soit y(t) = k e^{-0,1t} +30.
En dérivant : y'(t) = -0,1 k e^{-0,1t}.
On a donc :
y'(t) + 0,1 y(t) = -0,1 k e^{-0,1t} + 0,1 \left( k e^{-0,1t} +30 \right)\\ y'(t) + 0,1 y(t) = -0,1 k e^{-0,1t} + 0,1 k e^{-0,1t} + 3 \\ y'(t) + 0,1 y(t) = 3
Donc y est solution de l'équation différentielle (E).

2. b) Cherchons la fonction qui vérifie la condition initiale y(0)=20 :
y(0)=20 \\ \Leftrightarrow k e^{-0,1 \times 0} + 30 = 20 \\ \Leftrightarrow k \times 1 + 30 = 20 \\ \Leftrightarrow k = -10
Donc la fonction qui vérifie la condition initiale y(0)=20 est : \boxed{y(t) = -10 e^{-0,1t} +30}

Partie B

1. a) On calcule la température à l'arrêt pour t=0 :
f(0) = 30 -10 e^{-0,1 \times 0} \\ f(0) = 30 -10 \times 1 \\ \boxed{f(0) = 20}
Donc la température à l'arrêt est de 20°C.

1. b) On calcule la température au bout de 24 heures pour t=24 :
f(24) = 30 -10 e^{-0,1 \times 24} \\ f(24) = 30 -10 e^{-2,4} \\ \boxed{f(24) = 29,09}
Donc la température au bout de 24 heures est d'environ 29,09 °C.

2. a) On a : \displaystyle \lim_{t \to +\infty} e^{-0,1t} = 0
Donc : \boxed{ \lim_{t \to +\infty} f(t) = 30}

2. b) Le résultat précèdent signifie que la courbe représentative de la fonction f admet une asymptote horizontale en +\infty d'équation y=30.

2. c) Pour le moteur, cela signifie que la température se rapproche de plus en plus de 30°C quand le temps de fonctionnement augmente.

3. a) La dérivée de la fonction f est donnée par :
f'(t) = -10 \times (-0,1) \times e^{-0,1 t} \\ \boxed{f'(t) = e^{-0,1 t}}
La fonction dérivée f' est strictement positive pour tout réel t positif.
On en déduit que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle \left[ 0,+\infty \right[.

3. b)
bac STI génie mécanique (A et F) génie énergétique génie civil, Métropole juin 2010 - terminale : image 3


3. c) Pour chercher à quel instant la température est égale à 28°C, on résout l'équation :

f(t) = 28 \\ \Leftrightarrow 30-10e^{-0,1t} = 28 \\ \Leftrightarrow -10e^{-0,1t} = -2 \\ \Leftrightarrow e^{-0,1t} = \frac{-2}{-10} \\ \Leftrightarrow e^{-0,1t} = 0,2 \\ \Leftrightarrow -0,1t = \ln 0,2 \\ \Leftrightarrow t = \dfrac{\ln 0,2}{-0,1} \\ \boxed{\Leftrightarrow t = -10 \ln 0,2 \approx 16,094}
A l'heure près, la température atteint 28°C au bout de 16H.
0,094 \times 60 \approx 5,6
A la minute près, la température atteint 28°C au bout de 16H06M.

3. d) Calcul de la température moyenne entre la 5ème et la 10ème heure :

V_m = \dfrac{1}{b-a} \displaystyle \int_{a}^{b}{f(t) dt} \\ V_m = \dfrac{1}{10-5} \displaystyle \int_{5}^{10}{\left( 30-10e^{-0,1t \right) dt}
Une primitive F de la fonction f est donné par : F(t) = 30 t + 100 e^{-0,1t}, donc :
V_m = \dfrac{1}{5} \left( F(10) - F(5) \right) \\ V_m = \dfrac{1}{5} \left( 30 \times 10 + 100 e^{-0,1 \times 10} - 30 \times 5 - 100 e^{-0,1 \times 5} \right) \\ V_m = \dfrac{1}{5} \left( 300 + 100 e^{-1} - 150 - 100 e^{-0,5} \right) \\ V_m = \dfrac{1}{5} \left( 150 + 100 e^{-1} - 100 e^{-0,5} \right) \\ V_m = 30 + 20 e^{-1} - 20 e^{-0,5} \\ \boxed{V_m \approx 25,23}
Donc la température moyenne entre la 5ème et la 10ème heure est d'environ 25,23 °C.
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