Fiche de mathématiques

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Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Arts Appliqués
Antilles Guyane - Session Juin 2010

Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2

L'usage d'une calculatrice réglementaire est autorisé durant l'ensemble de l'épreuve.
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
Une feuille de papier millimétré est fournie.

8 points

exercice 1

Un patron de PME souhaite un logo pour son entreprise. Celui qu'il a choisi est rectangulaire et une ellipse est inscrite dans le rectangle. Le nom de son entreprise sera placé à l'intérieur de l'ellipse.

bac STI arts appliqués, Antilles Guyane Juin 2010 - terminale : image 1

Partie A : Coloriage du logo

Ce logo délimite trois zones à colorier: Le fond rectangulaire (zone 1), l'intérieur de l'ellipse (zone 2) et le nom de l'entreprise composé de lettres d'une même couleur (zone 3). Pour colorier ces trois zones, on utilise deux ou trois des couleurs suivantes : le jaune, le noir et le rouge. Deux zones voisines doivent être de couleurs différentes : la zone 1 a donc une couleur différente de la zone 2 qui, elle-même, a une couleur différente de la zone 3.

1. Montrer qu'il y a douze façons de colorier le logo.
On pourra utiliser un arbre de dénombrement.

2. On choisit un des douze coloriages au hasard. En supposant l'équiprobabilité dans le choix des couleurs, déterminer la probabilité des événements suivants :
A : «Le nom de l'entreprise est en rouge»
B : «Le fond rectangulaire et le nom de l'entreprise sont de la même couleur»
On donnera tous les résultats sous forme de fractions irréductibles.

Partie B

L'ellipse de sommets A, A', B et B' et de foyers F et F' est inscrite dans le rectangle CDEG. La taille des lettres et leur position sont telles que le nom de l'entreprise «Arts' A» est entièrement contenu dans le losange BFB'F'qui a pour sommets B, B' et les deux foyers F et F' de l'ellipse.

bac STI arts appliqués, Antilles Guyane Juin 2010 - terminale : image 2

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal d'origine O, l'ellipse a pour équation cartésienne : $\dfrac{x^2}{169} + \dfrac{y^2}{25} = 1$

1. Déterminer les dimensions du rectangle CDEG ainsi que les coordonnées des foyers F et F'.

2. Calculer l'aire du losange (qui est la partie réservée à l'inscription du nom de l'entreprise) en unités d'aires.

On rappelle que l'aire d'un losange dont les diagonales ont pour mesures respectives $\ell$ et $L$ est égale à $\dfrac{\ell \times L}{2}$

12 points

probleme

Sur l'ensemble des 4 rebords rectangulaires d'un couvercle de boîte ayant 60 cm de long, 30 cm de large et 3 cm de haut, on veut peindre une frise continue par juxtaposition d'un même motif.

Les parties A et B ont pour objet la construction du motif de cette frise et la partie C porte sur le calcul de l'aire de la frise à peindre.

bac STI arts appliqués, Antilles Guyane Juin 2010 - terminale : image 3

Partie A

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 1] par : $f(x) = 0,5x^2 - 2\text{e}^x + 3$ . On appelle $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal d'unités graphiques 5 cm en abscisses et 2 cm en ordonnées.

1. Calculer la dérivée $f'(x)$ . Étudier son signe et donner le tableau des variations de $f$ .

2. Tracer la courbe $(\mathcal{C})$ .

Partie B

On désigne par $g$ la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 1] par : $g(x) = 4x - 2\text{e}^x + 5$ . Soit $(\Gamma)$ sa représentation graphique dans le repère orthogonal défini à la partie A.

1. a) Calculer $g'(x)$ où $g'$ , est la fonction dérivée de $g$ .
b) Résoudre l'équation $g'(x) = 0$ .
c) Étudier le signe de $g'(x)$ sur l'intervalle [0 ; 1] et en déduire le tableau des variations de $g$ . On donnera la valeur exacte du maximum de $g$ .

2. a) Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous (arrondir au centième).

$x$	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1
$g(x)$

b) Tracer $(\Gamma)$ dans le même repère que $(\mathcal{C})$ .

Partie C

1. On admet que l'aire de la partie P₁ du plan limitée par les courbes $(\mathcal{C})$ , $(\Gamma)$ et par les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$ est égale à : $\displaystyle\int_{0}^1 [g(x) - f(x)]\:\text{d}x$ (en unités d'aire).

2. Colorier P₁ sur le dessin et, en utilisant les parties A et B, donner la valeur exacte de son aire en cm² puis une valeur approchée au mm² près.

3. Dessiner la partie P₂ du plan, symétrique de P₁ par rapport à la droite d'équation $x = 1$ . Le motif de la frise est la réunion de P₁ et P₂.
Donner une valeur approchée en cm², arrondie à 10^-1, de l'aire de ce motif.

4. Donner une valeur approchée en cm², arrondie au cm², de l'aire de la frise à réaliser sur le couvercle de la boîte.

Correction

EXERCICE 1

Partie A : coloriage du logo

1. Voir l'arbre ci dessous.
Commençons par exemple par le coloris de la zone 1 : pour choisir la couleur de la première zone, il y a 3 possibilités car on possède un panel de 3 couleurs.

Pour les zones 2 et 3 suivantes, l'impossibilité d'avoir successivement 2 fois la même couleur a pour conséquence de limiter le choix à 2 couleurs.

Donc nombre de possibilités : $3\times 2\times 2=12$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{Il y a 12 façons différentes de colorier le logo.}}}}$

2. Le nom de l'entreprise correspond à la zone 3. L'arbre fait apparaître 4 fois le rouge pour cette zone parmi les 12 assortiments possibles de couleurs différents.

Soit $A$ l'événement "le nom de l'entreprise est en rouge" nous avons :

$p(A)=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{La probabilité que le nom de l'entreprise soit en rouge est de }\dfrac{1}{3}.}}}$

Nommons $B$ l'événement "le fond rectangulaire (zone 1) et le nom de l'entreprise (zone 3) sont de la même couleur"

On a :

$p(B)=6\times \left(\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{2}$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{La probabilité que le fond rectangulaire et le nom de l'entreprise soient de la même couleur est de }\dfrac{1}{2}.}}}$

Arbre des probabilités :

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Partie B

1. Dimensions du rectangle $CDEG$ et coordonnées des foyers $F$ et $F'$

L'équation d'une ellipse de demi-grand axe $a$ et de demi-petit axe $b$ s'écrit sous la forme : $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$

On a ici :

$\dfrac{x^2}{169}+\dfrac{y^2}{25}=1\Leftrightarrow \dfrac{x^2}{13^2}+\dfrac{y^2}{5^2}=1$

Donc :

$\left\lbrace\begin{array}l a=13 \\ b=5 \end{array}$

Le rectangle a donc pour longueur $2a=2\times 13=26$ et pour largeur $2b=2\times 5=10$ , donc :

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{Le rectangle a pour dimensions }26\times 10}.}}}$

Une ellipse de demi-grand axe $a$ et de demi-petit axe $b$ a pour foyers les points F et F' dont les coordonnées sont données par :

$F(c,0)$ et $F'(-c,0)$ avec $c=\sqrt{a^2-b^2}$

On a ici :

$c=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{Les coordonnées des foyers sont donc }F(12,0)\text{ et }F'(-12,0).}}}$

2. Aire du losange

$Aire_{\small{\text{Losange}}}=\dfrac{2a\times 2b}{2} =\dfrac{26\times 10}{2}=130$

$\boxed{\textcolor{blue}{Aire_{\small{\text{Losange}}}=130 \text{ unités d'aire}}}}$

PROBLEME

Partie A

$f(x)=0,5x^2-2\text{e}^x+3$
1. $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0,1]$ comme somme de fonctions dérivables sur $[0,1]$

$f'(x)=2\times 0,5x-2\text{e}^x=x-2\text{e}^x$

$\boxed{\textcolor{blue}{f'(x)=x-2\text{e}^x}}}$

Rappel :

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Pour tout $x$ réel, on a : $2\text{e}^x>\text{e}^x>x$ . On en déduit :

$\forall x\in[0,1],\quad x-2\text{e}^x<0$

$\boxed{\textcolor{blue}{f'(x)<0\text{ sur }[0,1]}}}$

$\text{. }f(0)=0,5\times 0^2-2\text{e}^0+3=0-2+3=1 \\\\ \text{. }f(1)=0,5\times 1^2-2\text{e}^1+3=\dfrac{1}{2}+3-2\text{e}=\dfrac{7}{2}-2\text{e}\approx 1,94$

$\begin{tabvar}{|C|CCCC|} \hline x & 0 && 1 & \\ \hline f'(x) & & - & & \\ \hline \niveau{2}{3} f & ^1 &\decroit & _{\dfrac{7}{2}-2\text{e}} & \\ \hline \end{tabvar}$
2. Représentation graphique

bac STI arts appliqués, Antilles Guyane Juin 2010 - terminale : image 13

Partie B

$g(x)=4x-2\text{e}^x+5$
1-a. $g$ est dérivable sur l'intervalle $[0,1]$ comme somme de fonctions dérivables sur $[0,1]$

$\boxed{\textcolor{blue}{g'(x)=4-2\text{e}^x}}}$

b. $g'(x)=0\Leftrightarrow 4-2\text{e}^x=0\Leftrightarrow \text{e}^x=2\Leftrightarrow x=\ln 2$

$\boxed{\textcolor{blue}{\mathcal{S}=\lbrace \ln 2\rbrace }}}$

c. Variations de $g$

$g'(x)\geq 0\Longleftrightarrow 4-2\text{e}^x\geq 0\Longleftrightarrow 2 \geq \text{e}^x \Longleftrightarrow \ln 2 \geq x$

$\text{. Si }x\in[0,\ln 2]\text{, alors }g'(x)\geq 0\text{ et }g\text{ croissante } \\\\ \text{. Si }x\in[\ln 2,1]\text{, alors }g'(x)\leq 0\text{ et }g\text{ décroissante }$

$\text{. }g(0)=4\times 0-2\text{e}^0+5=0-2+5=3 \\\\ \text{. }g(1)=4\times 1-2\text{e}^1+5=9-2\text{e}\approx 3,56 \\\\ \text{. }g(\ln 2)=4\times \ln 2-2\text{e}^{\ln 2}+5=4\ln 2-4+5=4\ln 2+1\approx 3,77$

$\begin{tabvar}{|C|CCCCCC|} \hline x & 0 && \ln 2 && 1 & \\ \hline g'(x) & & + & 0 & - & & \\ \hline \niveau{1}{2} g & 3 & \croit & 4\ln 2+1 &\decroit & 9-2\text{e} & \\ \hline \end{tabvar}$

2-a. Tableau de valeurs

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \cellcolor{blue!25} {x} &\cellcolor{blue!25} 0 &\cellcolor{blue!25} 0,2 &\cellcolor{blue!25} 0,4 &\cellcolor{blue!25} 0,6 &\cellcolor{blue!25} 0,8 &\cellcolor{blue!25} 1 \\ \hline \cellcolor{blue!25} {g(x)} & \color{blue} 3 & \color{blue} 3,36 & \color{blue} 3,62 & \color{blue} 3,76 & \color{blue} 3,75 & \color{blue} 3,56 \\ \hline \end{tabular}$

b. Représentation graphique

bac STI arts appliqués, Antilles Guyane Juin 2010 - terminale : image 9

Partie C

1. $Aire_{P_{1}}=\displaystyle {\int_{0}^{1}[g(x)-f(x)]\text{d}x$

2. Calcul de $P_1$

D'après l'énoncé, $Aire_{P_{1}}=\displaystyle {\int_{0}^{1}[g(x)-f(x)]\text{d}x =\displaystyle {\int_{0}^{1}[4x-\cancel{2\text{e}^x}+5-0,5x^2+\cancel{2\text{e}^x}-3 \right)]\text{d}x =\displaystyle {\int_{0}^{1}}(-\dfrac{1}{2}x^2+4x+2 )\text{d}x \\\\=\left[-\dfrac{1}{6}x^3+2x^2+2x \right]_{0}^{1} =-\dfrac{1}{6}\times 1^3+2\times 1^2+2\times 1-0=-\dfrac{1}{6}+4=\dfrac{23}{6}\text{ unités d'aire}$

Les unités graphiques sont de 5 cm en abscisses et de 2 cm en ordonnées, donc :

$1\text{ unité d'aire}=5\times 2=10 \text{ cm}^2$

Donc :

$Aire_{P_{1}}=\dfrac{23}{6}\times 10=\dfrac{115}{3}$

$\boxed{\textcolor{blue}{Aire_{P_{1}}=\dfrac{115}{3}\text{ cm}^2}}}$

$1\text{ cm}^2=100\text{ mm}^2$

Donc :

$Aire_{P_{1}}=\dfrac{115}{3}\times 100\approx 3833,33\;,$ ce qui donne arrondi au mm²

$\boxed{\textcolor{blue}{Aire_{P_{1}}=3833\text{ mm}^2}}}$

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]

3. Calcul de $P_2$

bac STI arts appliqués, Antilles Guyane Juin 2010 - terminale : image 10

$Aire_{\text{frise}}=P_1+P_2=2P_1=2\times \dfrac{115}{3}\approx 76,67\text{ cm}^2$ , ce qui donne arrondi au cm²

$\boxed{\textcolor{blue}{Aire_{\text{frise}}=77\text{ cm}^2}}}$

Publié par TP/Jedoniezh le 25-06-2016

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