Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : Biochimie Génie Biologique
Session Juin 2010 - Polynésie Française

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Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2


La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel, distribué par le centre d'examen, est autorisé.
8 points

exercice 1

Dans le cadre de la prévention des angines hivernales, une étude a été menée pour tester l'efficacité réelle d'un médicament constitué d'un cocktail de vitamines.
Dans ce but, on a sélectionné un échantillon de 600 personnes réparties de manière aléatoire en trois groupes : 240 personnes dans le groupe A, 35% de l'échantillon dans le groupe B, et le reste dans le groupe C.

On a administré aux personnes du groupe A durant la période hivernale une dose journalière de ce médicament en le leur disant.

On a administré aux personnes du groupe B un placebo (c'est-à-dire un comprimé neutre, ne contenant aucun élément médicinal actif), tout en leur disant qu'il s'agissait du médicament.

On a administré aux personnes du groupe C le médicament en leur disant qu'il s'agissait d'un placebo.

Les résultats de l'étude sont recensés sur 600 fiches individuelles.
    28% des fiches signalent un traitement efficace. Parmi celles-ci 72 fiches correspondent à des personnes du groupe B.
    75% des fiches correspondant aux personnes du groupe A ne signalent aucune amélioration significative.


1. Reproduire et compléter le tableau suivant:
 Groupe AGroupe BGroupe CTotal
Nombre de fiches signalant un traitement efficace    
Nombre de fiches ne signalant aucune amélioration significative    
Total240  600

2. a) On choisit une fiche au hasard parmi les 600.
On considère les évènements suivants:
    E_{1} : «Il s'agit d'une fiche du groupe A.»,
    E_{2} : «Il s'agit d'une fiche signalant un traitement efficace.»,
    E_{3} = E_{1} \cap E_{2}.
    E_{4} = E_{1} \cup E_{2}.
Calculer les probabilités de ces quatre évènements.
    b) On choisit au hasard une fiche du groupe B.
On considère l'évènement E_{5} : «Il s'agit d'une fiche signalant un traitement efficace.».
Calculer la probabilité de l'évènement E_{5}. Le résultat sera arrondi à 10-2.

3. Pour chacun des groupes, donner les fréquences en pourcentage des fiches signalant un traitement efficace. Commenter les résultats des groupes A, B et C en les comparant.


12 points

exercice 2

Trachypenaeus est le nom d'une espèce de crevette se développant dans les eaux chaudes de l'île de la Guadeloupe.
L'objectif de l'exercice est l'étude de la croissance en taille de cette espèce en fonction de l'âge des crevettes.

Partie A

Sur un échantillonnage et sur une courte durée, les relevés ont donné les résultats suivants :
Âge t_{i} (en nombre de semaines)12345678
Taille y_{i} (exprimée en millimètre)1018253340415053

1. Soit G le point moyen du nuage de points associé à ce tableau. On considère la droite D passant par G et de coefficient directeur 6,14. Déterminer une équation de la droite D.

2. On considère que la fonction affine représentée par la droite D traduit l'évolution de la taille en fonction de l'âge des crevettes avec les unités considérées. Déterminer selon ce modèle la taille d'une crevette de 12 semaines.

3. On estime que l'espérance de vie d'une crevette Trachypenaeus en haute mer est de 3 années. Calculer, avec le modèle retenu, la taille atteinte au bout de 3 ans. Commenter le résultat trouvé.

Partie B

(source: Ifremer)
En fait, des relevés sur une longue durée ont permis d'établir que la taille L(t) des crevettes Trachypenaeus exprimée en millimètre en fonction de l'âge t exprimé en semaines est donnée par :
L(t) = 87,5\left(1 - \text{e}^{-0,12t}\right)

1. a) Déterminer la limite de la fonction L en +\infty ; en donner une interprétation graphique.
    b) Déterminer la dérivée L' de la fonction L.
    c) Étudier les variations de la fonction L sur [0 ; +\infty[.

2. a) Calculer, avec ce modèle, la taille d'une crevette de trois ans.
    b) Déterminer l'âge théorique d'une crevette de taille 80 mm.

3. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, toute initiative même infructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.

Tracer la courbe représentative de la fonction L sur l'intervalle [0 ; 15] et la droite D de la partie A dans le même repère. On prendra pour unité graphique 1 cm pour une semaine en abscisse et 1 cm pour 10 mm en ordonnée.
Donner une interprétation du graphique obtenu.
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