Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : Biochimie Génie Biologique
Session Septembre 2010 - Métropole

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Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2


La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel, distribué par le centre d'examen, est autorisé.
9 points

exercice 1

Le tableau ci-dessous décrit l'évolution de la capacité mondiale de production d'électricité des éoliennes, depuis l'année 2000, en mégawatts (MW).
Année200020012002200320042005200620072008
Rang de l'année x_{i}123456789
Production en mégawatts y_{i}16 70023 60029 70038 70046 40056 00072 20090 000120 600

1. Recopier et compléter le tableau suivant, où \ln \left(y_{i}\right) désigne le logarithme népérien de y_{i}.

Les valeurs seront arrondies à 10-2 près.
x_{i}123456789
z_{i} = \ln \left(y_{i}\right)         

2. Construire le nuage de points M_{i}\left(x_{i} ; z_{i}\right) dans un repère orthogonal.
En ce qui concerne le graphique, on prendra pour origine le point de coordonnées (0 ; 9) et pour unités : 1 cm pour 1 année en abscisse et 5 cm pour 1 unité en ordonnée.

3. On désigne par G_{1} le point moyen des cinq premiers points du nuage et G_{2} le point moyen des quatre derniers.
    a) Calculer les coordonnées de G_{1} et de G_{2} et placer ces points sur le graphique.
    b) Tracer la droite \left(G_{1}G_{2}\right) et déterminer son équation sous la forme z = ax + b. Les valeurs de a et b seront arrondies à 10-2 près.
On admet que cette droite donne un ajustement satisfaisant du nuage de points.

4. En utilisant l'ajustement réalisé à la question précédente :
    a) Déterminer, par une lecture graphique ou par un calcul, la capacité de production, exprimée en mégawatts, des éoliennes en 2012. On donnera une valeur arrondie au millier de mégawatts près.
    b) Déterminer, par une lecture graphique ou par un calcul, en quelle année la capacité pourrait atteindre 230 000 mégawatts.


11 points

exercice 2

On étudie l'évolution d'une population de rongeurs limitée par un prédateur, en fonction du temps t. On admet que la taille de la population, exprimée en centaines d'individus, est modélisée par la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; +\infty[ par :
 f(t) = \dfrac{3\text{e}^{0,5t}}{\text{e}^{0,5t} + 2},
t représente le temps écoulé depuis l'an 2000, exprimé en années (donc t = 0 en l'an 2000).
On note (\mathcal{C}) la courbe représentative de la fonction f.

1. a) Calculer f(0) et interpréter ce résultat.
    b) Montrer que :
f(t) = 3 - \dfrac{6}{\text{e}^{0,5t} + 2}.

    c) En déduire la limite de f quand t tend vers +\infty.
Que peut-on en déduire sur l'évolution à long terme de cette population ?

2. a) Montrer que la dérivée f' de la fonction f vérifie, sur [0 ; +\infty[ :
f'(t) = \dfrac{3\text{e}^{0,5t}}{\left(\text{e}^{0,5t} + 2 \right)^2}

    b) Étudier le signe de f'(t), puis établir le tableau de variations de f sur [0 ; +\infty[.

3. Recopier et compléter le tableau de valeurs numériques ci-dessous.
On arrondira les valeurs à 10-2 près.
t0246810
f(t)      

4. Construire la courbe (\mathcal{C}) dans un repère orthogonal d'unités graphiques :
1 cm pour 1 année en abscisse, et 5 cm pour une centaine d'individus en ordonnée.

5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Déterminer en quelle année la population de rongeurs dépassera 250 individus.
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