Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : Biochimie Génie Biologique
Session Septembre 2010 - Métropole
Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2
La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel, distribué par le centre d'examen, est autorisé.
9 points exercice 1
Le tableau ci-dessous décrit l'évolution de la capacité mondiale de production d'électricité des éoliennes, depuis l'année 2000, en mégawatts (MW).
Année | 2000 | 2001 | 2002 | 2003 | 2004 | 2005 | 2006 | 2007 | 2008 |
Rang de l'année  | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
Production en mégawatts  | 16 700 | 23 600 | 29 700 | 38 700 | 46 400 | 56 000 | 72 200 | 90 000 | 120 600 |
1. Recopier et compléter le tableau suivant, où
)
désigne le logarithme népérien de

.
Les valeurs seront arrondies à 10
-2 près.
 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
) | | | | | | | | | |
2. Construire le nuage de points
)
dans un repère orthogonal.
En ce qui concerne le graphique, on prendra pour origine le point de coordonnées (0 ; 9) et pour unités : 1 cm pour 1 année en abscisse et 5 cm pour 1 unité en ordonnée.
3. On désigne par

le point moyen des cinq premiers points du nuage et

le point moyen des quatre derniers.
a) Calculer les coordonnées de

et de

et placer ces points sur le graphique.
b) Tracer la droite
)
et déterminer son équation sous la forme

. Les valeurs de

et

seront arrondies à 10
-2 près.
On admet que cette droite donne un ajustement satisfaisant du nuage de points.
4. En utilisant l'ajustement réalisé à la question précédente :
a) Déterminer, par une lecture graphique ou par un calcul, la capacité de production, exprimée en mégawatts, des éoliennes en 2012. On donnera une valeur arrondie au millier de mégawatts près.
b) Déterminer, par une lecture graphique ou par un calcul, en quelle année la capacité pourrait atteindre 230 000 mégawatts.
11 points exercice 2
On étudie l'évolution d'une population de rongeurs limitée par un prédateur, en fonction du temps

. On admet que la taille de la population, exprimée en centaines d'individus, est modélisée par la fonction

définie sur l'intervalle [0 ; +

[ par :
,
où

représente le temps écoulé depuis l'an 2000, exprimé en années (donc

en l'an 2000).
On note
)
la courbe représentative de la fonction

.
1. a) Calculer
)
et interpréter ce résultat.
b) Montrer que :
.
c) En déduire la limite de

quand

tend vers

.
Que peut-on en déduire sur l'évolution à long terme de cette population ?
2. a) Montrer que la dérivée

de la fonction

vérifie, sur [0 ;

[ :
b) Étudier le signe de
)
, puis établir le tableau de variations de

sur [0 ;

[.
3. Recopier et compléter le tableau de valeurs numériques ci-dessous.
On arrondira les valeurs à 10
-2 près.
 | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
) | | | | | | |
4. Construire la courbe
)
dans un repère orthogonal d'unités graphiques :
1 cm pour 1 année en abscisse, et 5 cm pour une centaine d'individus en ordonnée.
5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Déterminer en quelle année la population de rongeurs dépassera 250 individus.