6 points

exercice 1

1. Déterminer les deux nombres complexes et tels que : .

2. On considère les nombres complexes , , donnés par : ,    ,    .
    a) Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes , , .
    b) Déterminer la forme algébrique de .

3. Le plan complexe est rapporté à un repère . On prendra pour unité graphique 2 cm.
    a) Placer les points A et B d'affixes respectives et .
    b) Montrer que OAB est un triangle rectangle.
    c) Déterminer l'affixe du milieu K du segment [AB].
    d) On note C le point d'affixe .
Démontrer que les points O, A, B et C appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.


6 points

exercice 2

On estime que les émissions mondiales de CO₂ se sont élevées en l'an 2000 à 6,8 milliards de tonnes, et que, depuis, l'augmentation de ces émissions est chaque année de 3%.

1. On note la quantité de CO₂ émise en l'an 2000 et, pour entier naturel, la quantité émise en l'an . Justifier que, selon le modèle envisagé, on peut estimer par l'égalité : .

2. Selon ce modèle, quelle quantité de CO₂ serait-elle émise en 2010 ? On donnera le résultat, exprimé en milliards de tonnes, arrondi au dixième.

3. Quelle serait, selon le modèle envisagé, la somme des émissions produites entre le 1^er janvier 2000 et le 31 décembre 2010 ?

4. Toujours selon le modèle envisagé, en quelle année la production de CO₂ atteindrait-elle le double de ce qu'elle fut en 2000 ?


8 points

probleme

Le plan est rapporté au repère orthonormal . On prendra pour unité graphique 2 cm.
On note H le point de coordonnées .

On se propose à présent d'étudier la fonction définie sur par : .

1. Vérifier, pour tout réel, l'égalité : .

2. Déterminer les limites de la fonction en et en .

3. Démontrer que les droites d'équation et d'équation sont asymptotes à la courbe courbe représentative de la fonction .

4. Préciser les positions relatives de et des droites et .

5. Montrer que, pour tout réel : . Présenter le tableau de variation de .

6. Montrer que H est un point de . Tracer sur un même graphique la courbe et les droites et ainsi que la tangente en H à .

7. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Montrer que l'équation admet une unique solution, qu'on notera , sur . Donner une valeur approchée à 10^-2 près de cette solution.