Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Techniques de Laboratoire
Option : Chimie de Laboratoire et de Procédés Industriels
Antilles Guyane - Session Juin 2010

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Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 4
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée (circulaire N°99-186 du 16 novembre 1999).
Le sujet est composé de deux exercices indépendants et d'un problème.
Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Le formulaire officiel et du papier millimétré sont distribués avec le sujet.


6 points

exercice 1

1. Déterminer les deux nombres complexes z et z' tels que : \left\lbrace\begin{array}{l c l} 3z-z'&=&4\sqrt{3} \\ z+z'&=&4\text{i} \end{array}\right..

2. On considère les nombres complexes z_{1}, z_{2}, z_{3} donnés par :
z_{1} =  \sqrt{3} + \text{i} ,    z_{2} = - \sqrt{3} + 3\text{i} ,    z_{3} = \dfrac{z_{2}}{z_{1}}.

    a) Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes z_{1}, z_{2}, z_{3}.
    b) Déterminer la forme algébrique de z_{3}.

3. Le plan complexe est rapporté à un repère (O ; \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}). On prendra pour unité graphique 2 cm.
    a) Placer les points A et B d'affixes respectives z_{1} et z_{2}.
    b) Montrer que OAB est un triangle rectangle.
    c) Déterminer l'affixe du milieu K du segment [AB].
    d) On note C le point d'affixe \dfrac{4\sqrt{3}}{3}z_{3}.
Démontrer que les points O, A, B et C appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.


6 points

exercice 2

On estime que les émissions mondiales de CO2 se sont élevées en l'an 2000 à 6,8 milliards de tonnes, et que, depuis, l'augmentation de ces émissions est chaque année de 3%.

1. On note E_{0} la quantité de CO2 émise en l'an 2000 et, pour n entier naturel, E_{n} la quantité émise en l'an 2000 + n. Justifier que, selon le modèle envisagé, on peut estimer E_{n} par l'égalité :
E_{n} = 6,8 \times 1,03^n.


2. Selon ce modèle, quelle quantité de CO2 serait-elle émise en 2010 ? On donnera le résultat, exprimé en milliards de tonnes, arrondi au dixième.

3. Quelle serait, selon le modèle envisagé, la somme des émissions produites entre le 1er janvier 2000 et le 31 décembre 2010 ?

4. Toujours selon le modèle envisagé, en quelle année la production de CO2 atteindrait-elle le double de ce qu'elle fut en 2000 ?


8 points

probleme

Le plan est rapporté au repère orthonormal (O ; \overrightarrow{i},\overrightarrow{j}). On prendra pour unité graphique 2 cm.
On note H le point de coordonnées (\ln 3 ; \ln 3).

On se propose à présent d'étudier la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f(x) = x + 2 - \dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^x + 3}.


1. Vérifier, pour tout x réel, l'égalité : f(x) = x - 2 + \dfrac{12}{\text{e}^x + 3}.

2. Déterminer les limites de la fonction f en +\infty et en -\infty.

3. Démontrer que les droites D_{1} d'équation y = x - 2 et D_{2} d'équation y = x + 2 sont asymptotes à la courbe \mathcal{C}_{f} courbe représentative de la fonction f.

4. Préciser les positions relatives de \mathcal{C}_{f} et des droites D_{1} et D_{2}.

5. Montrer que, pour tout réel x :
f'(x) = \dfrac{\left(\text{e}^x - 3 \right)^2}{\left(\text{e}^x + 3 \right)^2}.
Présenter le tableau de variation de f.

6. Montrer que H est un point de \mathcal{C}_{f}. Tracer sur un même graphique la courbe \mathcal{C}_{f} et les droites D_{1} et D_{2} ainsi que la tangente en H à \mathcal{C}_{f}.

7. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Montrer que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution, qu'on notera x_{0}, sur \mathbb{R}. Donner une valeur approchée à 10-2 près de cette solution.
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