Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Techniques de Laboratoire
Option : Chimie de Laboratoire et de Procédés Industriels
Métropole - Session 2010

Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 4
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée (circulaire N°99-186 du 16 novembre 1999).
Le sujet est composé de deux exercices indépendants et d'un problème.
Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Le formulaire officiel et du papier millimétré sont distribués avec le sujet.

4 points

exercice 1

1. Résoudre l'équation différentielle : $y''\ +\ 25y\ =\ 0$ ,    où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$ , définie et deux fois dérivable sur l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels.

2. Déterminer la fonction $f$ , solution de l'équation différentielle précédente, qui vérifie les conditions suivantes : $f(\pi)\ =\ -\sqrt{3}$     et     $f'(\pi)\ =\ 5$ .
3. Vérifier que, pour tout nombre réel $t$ , $f(t)\ =\ 2 \cos\left(5t+\dfrac{\pi}{6}\right)$ .

4. a) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $2 \cos\ x\ =\ 1$ .
   b) En déduire les solutions dans $\mathbb{R}$ de l'équation $f(t)\ =\ 1$ .

5 points

exercice 2

Un conteneur contient 100 flacons de même capacité, remplis d'une solution liquide contenant un produit P et dosée de la manière suivante :

5 flacons sont remplis d'une solution dosée à 10 % du produit P ;
30 flacons sont remplis d'une solution dosée à 20 % du produit P ;
40 flacons sont remplis d'une solution dosée à 30 % du produit P ;
20 flacons sont remplis d'une solution dosée à 40 % du produit P ;
5 flacons sont remplis d'une solution dosée à 50 % du produit P.

On tire au hasard un flacon du conteneur.
On admet que tous les flacons ont la même probabilité d'être tirés.
On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tirage d'un flacon, associe le nombre exprimant le pourcentage de la solution contenue dans ce flacon.
Ainsi, si l'on tire l'un des cinq flacons dont le contenu est dosé à 10 %, $X$ prend la valeur $10$ .

1. Donner, sous forme de tableau, la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ .

2. Calculer l'espérance mathématique $E(X)$ de la variable aléatoire $X$ .

3. Déterminer le dosage de la solution obtenue en mélangeant le contenu des 100 flacons dans un même récipient.

4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Le produit P étant toujours dosé soit à 10 %, soit à 20 %, soit à 30 %, soit à 40 %, soit à 50 %, on souhaite obtenir $E(X)\ =\ 29,2$ en modifiant le dosage de la solution contenue dans un seul des flacons. Proposer une manière de parvenir à ce résultat.

11 points

probleme

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0;+\infty[$ par : $f(x)\ =\ \dfrac{3}{2}x^2\ -\ x^2 \ln\ x\ +\ 1$ .

1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$ . (On rappelle que la limite de $x.\ln\ x$ lorsque $x$ tend vers $0$ est $0$ ).

2. Vérifier que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0;+\infty[$ , $f(x)\ =\ x^2 \left(\dfrac{3}{2}\ -\ \ln\ x\right)\ +\ 1$ .
En déduire la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ .

3. On désigne par $f'$ la dérivée de la fonction $f$ .
a) Calculer $f'(x)$ .
Vérifier que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0;+\infty[$ , $f'(x)\ =\ 2x.(1\ -\ \ln\ x)$ .
b) Etudier le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$ .

4. Donner le tableau de variations de la fonction $f$ . Indiquer les limites en $0$ et $+\infty$ , ainsi que la valeur de l'extremum de la fonction $f$ .

5.Montrer que l'équation $f(x)\ =\ 0$ admet une solution $\alpha$ unique dans l'intervalle $[4\ ;\ 5]$ .
Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$ .

6. On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$ (unité graphique : 1 cm).
Tracer la courbe $\mathcal{C}$ ; faire figurer le point $A$ de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisse $\alpha$ .

7. On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0;+\infty[$ par $g(x)\ =\ \dfrac{11}{18}.x^3\ -\ \dfrac{1}{3}.x^3.\ln\ x\ +\ x$ .
Vérifier que la fonction $g$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0;+\infty[$ .

8. On considère le domaine $\mathcal{D}$ limité par la courbe $\mathcal{C}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives : $x\ =\ 22$ et $x\ =\ 4$ . Calculer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine $\mathcal{D}$ .
Donner une valeur approcheé de $\mathcal{A}$ au centième.

Publié par pppa/ le 30-11--0001

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