Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Techniques de Laboratoire
Option : Physique de Laboratoire et de Procédés Industriels
Métropole - Session Septembre 2010

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Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée (circulaire N°99-186 du 16 novembre 1999).
Le sujet est composé de deux exercices indépendants et d'un problème.
Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Le formulaire officiel et deux feuilles de papier millimétré sont distribués avec le sujet.


5 points

exercice 1

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}), d'unité graphique 2 cm. On note i le nombre complexe de module 1 et dont un argument est \dfrac{\pi}{2}.

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation :
z^2 + 2z\sqrt{6} + 8 = 0.


2. On considère les points A, B, C d'affixes respectives:
z_{\text{A}} = - \sqrt{6} + \text{i}\sqrt{2},    z_{\text{B}} = - z_{\text{A}}   et   z_{\text{C}} = 2 - 2\text{i}.

    a) Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes z_{\text{A}}, z_{\text{B}} et z_{\text{C}}·
    b) En déduire que les points A, B et C appartiennent à un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
    c) Placer les points A, B et C dans le repère (O ; \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}).
    d) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Déterminer la nature du triangle ABC.

3. a) Écrire les nombres complexes z_{\text{B}} et z_{\text{C}} sous la forme r\text{e}^{\text{i}\theta} avec r > 0.
    b) Soit \mathcal{R} la rotation de centre O et d'angle -\dfrac{\pi}{12}. Quelle est l'image du point B par la rotation \mathcal{R} ? Justifier la réponse.


4 points

exercice 2

On note y une fonction de la variable x, définie et deux fois dérivable sur l'ensemble \mathbb{R} des nombres réels, et y'' sa dérivée seconde.

1. Résoudre l'équation différentielle (E) :
\dfrac{1}{4}y'' +y = 0.


2. Soit f la fonction définie et dérivable sur \mathbb{R} solution de l'équation (E), qui vérifie les conditions suivantes :
f\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = 0   et   f'(0) = \sqrt{3}
Montrer que, pour tout nombre réel x, f(x) = - \dfrac{3}{2} \cos (2x) + \dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin (2x).

3. Vérifier que, pour tout nombre réel x, on a : f(x) = -\sqrt{3} \cos \left(2x + \dfrac{\pi}{6}\right)·

4. Calculer la valeur moyenne m de la fonction f sur l'intervalle \left[0 ; \dfrac{\pi}{6}\right].


11 points

probleme

On considère la fonction f définie sur l'ensemble des nombres réels \mathbb{R} par :
f(x) = x - 1 - 2\text{e}^{-2x} + 5\text{e}^{-x}.
On désigne par \mathcal{C} sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal (O ; \overrightarrow{i},\overrightarrow{j}), (unité graphique : 2 cm).

Partie A

1. Déterminer la limite de la fonction f en +\infty.

2. En remarquant que, pour tout nombre réel x, f(x) = \text{e}^{-x}\left(-2\text{e}^{-x} + 5 + x\text{e}^{x} - \text{e}^{x}\right), déterminer la limite de f en -\infty.

3. Soit la droite \mathcal{D} d'équation y = x - 1.
    a) Prouver que la droite \mathcal{D} est asymptote oblique à la courbe \mathcal{C} en + \infty.
    b) Étudier la position relative de la courbe \mathcal{C} par rapport à la droite \mathcal{D}.

4. Montrer que f(\ln 4) = \dfrac{1}{8} + \ln 4.

Partie B

1. a) Soit f' la fonction dérivée de la fonction f.
Montrer que, pour tout nombre réel x, f'(x) = \dfrac{\left(\text{e}^{x} - 4\right)\left(\text{e}^{x} - 1\right)}{\text{e}^{2x}}.
    b) Déterminer le signe de f'(x) pour tout nombre réel x.
    c) Dresser le tableau de variations de la fonction f.

2. a) Montrer que l'équation f(x) = 0 admet une solution unique \alpha sur l'intervalle [-1 ; 0].
    b) Donner un encadrement de \alpha d'amplitude 10-2.

3. Tracer la droite \mathcal{D} et la courbe \mathcal{C} dans le repère orthonormal (O ; \overrightarrow{i},\overrightarrow{j}), (unité graphique : 2 cm).

Partie C

1. Déterminer une primitive F de la fonction f sur l'ensemble \mathbb{R} des nombres réels.

2. Hachurer sur le graphique la partie E du plan limitée par la courbe \mathcal{C}, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x = \ln 4.

3. Calculer la valeur exacte de l'aire \mathcal{A} de la partie E du plan en unités d'aire. En déduire la valeur arrondie à 10-2 de l'aire \mathcal{A} en cm2.




EXERCICE 1



1. Résolution de l'équation

z^2+2z\sqrt{6}+8=0 \\\\ \Delta=b^2-4ac=\left(2\sqrt{6} \right)^{2}-4\times 1\times 8=24-32=-8=\left( 2i\sqrt{2}\right)^{2} \\\\ z=\dfrac{-2\sqrt{6}\pm2i\sqrt{2}}{2\times 1}=-\sqrt{6}\pm i\sqrt{2}

\boxed{\textcolor{blue}{\mathcal{S}=\lbrace -\sqrt{6}- i\sqrt{2}\;,-\sqrt{6}+ i\sqrt{2}\rbrace }}}


2. \text{Soit } A\text{, }B\text{ et }C\text{ d'affixes respectives }z_A=-\sqrt{6}+ i\sqrt{2}\text{, }z_B=-z_A\text{, }z_C=2-2i

a. Modules et arguments de z_A, z_B et z_C.

\mid z_A\mid=\sqrt{\left( -\sqrt{6}\right)^{2}+\left( \sqrt{2}\right)^{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2} \\\\ z_A=-\sqrt{6}+ i\sqrt{2}=\sqrt{2}\left(-\sqrt{3}+i \right) =\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2} +i\dfrac{1}{2}\right )=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos\dfrac{5\pi}{6}+i\sin\dfrac{5\pi}{6}\right)

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Le nombre  } z_A \text{  a pour module }2\sqrt{2} \text{ et un argument est }\dfrac{5\pi}{6}. }}


\mid z_B\mid=\mid -z_A\mid=2\sqrt{2}

z_B=-z_A, donc B est l'image de A par la rotation de centre O et d'angle \pi, donc :

\text{arg}(z_B)=\text{arg}(z_A)+\pi=\dfrac{5\pi}{6}+\pi=\dfrac{11\pi}{6}\text{ ou encore }-\dfrac{\pi}{6}\text{ à } 2\pi \text{ près}

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Le nombre  } z_B \text{  a pour module }2\sqrt{2} \text{ et un argument est }-\dfrac{\pi}{6}. }}


\mid z_C\mid=\sqrt{2^2+(-2)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}

z_C=2-2i=2(1-i)=2\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-i\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right) =2\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)=2\sqrt{2}\text{e}^{-i\frac{\pi}{4}}

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Le nombre  } z_C \text{  a pour module }2\sqrt{2} \text{ et un argument est }-\dfrac{\pi}{4}. }}


b. \mid z_A\mid=\mid z_B\mid=\mid z_C\mid=2\sqrt{2}\Longleftrightarrow OA=OB=OC=2\sqrt{2}

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Les points }A\text{, }B\text{ et }C \text{ appartiennent au cercle de centre }O \text{ et de rayon }2\sqrt{2}. }}


c. Représentation graphique
Bac STL physique de laboratoire et de procédés industriels Métropole Septembre 2010 - terminale : image 2



d.  z_B= -z_A, donc B est le symétrique de A par rapport à O, donc [AB] est un diamètre du cercle de centre O et de rayon 2\sqrt{2}.

Or le point C appartient au cercle de centre O et de rayon 2\sqrt{2},

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Le triangle } ABC \text{ est rectangle en } C}}


Autre méthode : (moins directe)

AB=\mid z_A-z_B\mid= \mid z_A-(-z_A) \mid=\mid 2z_A \mid=2\mid z_A \mid=2\sqrt{(-\sqrt{6})^2+(\sqrt{2})^2} =2\sqrt{8}=4\sqrt{2}

AC=\mid z_A-z_C\mid= \mid -\sqrt{6}+ i\sqrt{2}-\left(2-2i \right) \mid=\mid \left(-\sqrt{6}-2 \right)+i\left(\sqrt{2}+2 \right) \mid =\sqrt{\left(-\sqrt{6}-2 \right)^2+\left(\sqrt{2}+2 \right)^2 }=\sqrt{10+2\sqrt{6}+6+2\sqrt{2}}=\sqrt{16+2\sqrt{6}+2\sqrt{2}}

BC=\mid z_B-z_C\mid= \mid \sqrt{6}- i\sqrt{2}-\left(2-2i \right) \mid=\mid \left(\sqrt{6}-2 \right)+i\left(-\sqrt{2}+2 \right) \mid =\sqrt{\left(\sqrt{6}-2 \right)^2+\left(-\sqrt{2}+2 \right)^2 }=\sqrt{10-2\sqrt{6}+6-2\sqrt{2}}=\sqrt{16-2\sqrt{6}-2\sqrt{2}}

On a :

AB^2=\left(4\sqrt{2} \right)^2=16\times 2=32

AC^2+BC^2=16+\cancel{2\sqrt{6}}+\cancel{2\sqrt{2}}+16-\cancel{2\sqrt{6}}-\cancel{2\sqrt{2}}=32

AB^2=AC^2+BC^2

Le triangle (ABC) est donc rectangle en C.


3-a. D'après la question 2-a.,

\boxed{\textcolor{blue}{z_B=2\sqrt{2}\text{e}^{-i\frac{\pi}{6}}\text{, }z_C=2\sqrt{2}\text{e}^{-i\frac{\pi}{4}}}} Soit B' l'image de B par la rotation \mathcal{R}, on a :

z_{B'}=\text{e}^{-i\frac{\pi}{12}}\times z_B\\ \\ z_{B'} =2\sqrt{2}\text{e}^{-i\frac{\pi}{6}}\times \text{e}^{-i\frac{\pi}{12}} =2\sqrt{2}\text{e}^{i\left(-\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{12} \right)}=2\sqrt{2}\text{e}^{-i\frac{3\pi}{12}} =2\sqrt{2}\text{e}^{-i\frac{\pi}{4}}=z_C

Donc B' \text{ et } C sont confondus.

\boxed{\textcolor{blue}{\text{L'image de }B\text{ par la rotation }\mathcal{R}\text{ est le point }C.}}



EXERCICE 2


(E)\text{ : }\dfrac{1}{4}y''+y=0

1. On sait que les solutions d'une équation différentielle de type y''+\omega^2y=0 sont de la forme :

y=\lambda_1 \cos(\omega x)+\lambda_2 \sin(\omega x)\text{ avec }\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{R}

Nons avons :

\dfrac{1}{4}y''+y=0\Leftrightarrow y''+4y=0\Leftrightarrow y''+2^2y=0

\boxed{\textcolor{blue}{\text{La solution générale de }(E)\text{ est donc }y=\lambda_1 \cos(2x)+\lambda_2 \sin(2x) \text{ avec }\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{R}.}}}}


2. La fonction f est solution de (E), donc f(x) s'écrit sous la forme :

f(x)=\lambda_1 \cos(2x)+\lambda_2 \sin(2x)

On a :

f(\frac{\pi}{6})=0\Leftrightarrow \lambda_1 \cos(\dfrac{2\pi}{6})+\lambda_2 \sin(\dfrac{2\pi}{6})=0 \Leftrightarrow\lambda_1 \cos(\dfrac{\pi}{3})+\lambda_2 \sin(\dfrac{\pi}{3})=0 \Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\lambda_1 +\dfrac{\sqrt{3}}{2}\lambda_2=0

et :

f'(x)=-2\lambda_1 \sin(2x)+2\lambda_2 \cos(2x)

d'où :

f'(0)=\sqrt{3} \Leftrightarrow -2\lambda_1 \underbrace{\sin(2\times 0)}_{=0}+2\lambda_2 \underbrace{\cos(2\times 0)}_{=1}=\sqrt{3} \Leftrightarrow \lambda_2=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Donc :

\dfrac{1}{2}\lambda_1 +\dfrac{\sqrt{3}}{2}\lambda_2=0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\lambda_1 +\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}=0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\lambda_1 +\dfrac{3}{4}=0\Leftrightarrow \lambda_1 =-\dfrac{3}{2}

\boxed{\textcolor{blue}{\text{La solution }(E)\text{ est donc }f(x)=-\dfrac{3}{2}\cos(2x)+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin(2x).}}}}


3. On sait que :

\cos\left(a+b \right)=\cos a\cos b-\sin a\sin b

Donc :

-\sqrt{3}\cos \left(2x+\dfrac{\pi}{6} \right) =-\sqrt{3}\left[ \cos(2x)\cos\dfrac{\pi}{6}-\sin\left(2x \right)sin\dfrac{\pi}{6} \right] =-\sqrt{3}\left[ \cos(2x)\cos\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\sin\left(2x \right)\sin\dfrac{1}{2} \right] =-\dfrac{3}{2}\cos(2x)+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin(2x)=f(x)

\boxed{\textcolor{blue}{f(x)=-\sqrt{3}\cos \left(2x+\dfrac{\pi}{6} \right) }}


4. Valeur moyenne de f sur l'intervalle [0,\dfrac{\pi}{6}]

Pour une fonction g sur un intervalle [a,b], la valeur moyenne de la fonction g sur [a,b] est le nombre :

g_{moyenne}=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle {\int_a^b} g(x)\text{d}x

Donc :

m=f_{moyenne}=\dfrac{1}{\frac{\pi}{6}-0}\displaystyle {\int _0^{\frac{\pi}{6}}}f(x)\text{d}x=\dfrac{6}{\pi}\displaystyle {\int_0^{\frac{\pi}{6}}}\left[-\sqrt{3}\cos \left(2x+\dfrac{\pi}{6} \right) \right]\text{d}x=-\dfrac{6\sqrt{3}}{\pi}\displaystyle {\int_0^{\frac{\pi}{6}}}\left[\cos \left(2x+\dfrac{\pi}{6} \right) \right]\text{d}x \\\\=-\dfrac{6\sqrt{3}}{\pi}\left[\frac{1}{2}\sin \left(2x+\dfrac{\pi}{6} \right) \right]_0^{\frac{\pi}{6}}=-\dfrac{3\sqrt{3}}{\pi}\left[\sin\dfrac{3\pi}{6}-\sin\dfrac{\pi}{6} \right]=-\dfrac{3\sqrt{3}}{\pi}\left(\sin\dfrac{\pi}{2}-\sin\dfrac{\pi}{6} \right) \\\\=-\dfrac{3\sqrt{3}}{\pi}\left(1-\dfrac{1}{2} \right)=-\dfrac{3\sqrt{3}}{\pi}\times \dfrac{1}{2}=-\dfrac{3\sqrt{3}}{2\pi}

\boxed{\textcolor{blue}{m=-\dfrac{3\sqrt{3}}{2\pi}}}}}



PROBLEME


f(x)=x-1-2\text{e}^{-2x}+5\text{e}^{-x}

Partie A


1. Limite de f en +\infty

\underset{x\to +\infty}{\lim}f(x)=\underset{x\to +\infty}{\lim}\left( x-1-2\text{e}^{-2x}+5\text{e}^{-x}\right) =\underset{x\to +\infty}{\lim}(x-1-\underbrace{\dfrac{2}{\text{e}^{2x}}+\dfrac{5}{\text{e}^{x}}}_{\to 0}) =+\infty

\boxed{\textcolor{blue}{\underset{x\to +\infty}{\lim}f(x)=+\infty}}}


2. Limite de f en -\infty

f(x)=x-1-2\text{e}^{-2x}+5\text{e}^{-x}\right) =\text{e}^{-x}(\dfrac{x}{\text{e}^{-x}}-\dfrac{1}{\text{e}^{-x}}-2\text{e}^{-x}+5) =\text{e}^{-x}(x\text{e}^{-x}-\text{e}^{x}-2\text{e}^{-x}+5)=\text{e}^{-x}(-2\text{e}^{-x}+5+x\text{e}^{-x}-\text{e}^{x})

\underset{x\to -\infty}{\lim}f(x) =\underset{x\to -\infty}{\lim}\underbrace{\text{e}^{-x}}_{\to +\infty}(\underbrace{x\text{e}^{-x}}_{\to -\infty} -\underbrace{\text{e}^{x}}_{\to 0}\underbrace{-2\text{e}^{-x}}_{\to -\infty}+5)=-\infty

\boxed{\textcolor{blue}{\underset{x\to -\infty}{\lim}f(x)=-\infty}}}


3-a. Posons \Delta(x)=f(x)-(x-1)

\underset{x\to +\infty}{\lim}\Delta(x)=\underset{x\to -\infty}{\lim}\left[f(x)-\left(x-1 \right) \right] =\underset{x\to +\infty}{\lim}\left(\cancel{x}-\cancel{1}-2\text{e}^{-2x}+5\text{e}^{-x}-\cancel{x}+\cancel{1} \right) =\underset{x\to +\infty}{\lim}(\underbrace{-\dfrac{2}{\text{e}^{2x}}}_{\to 0}+\underbrace{\dfrac{5}{\text{e}^{x}}}_{\to 0}) =0

\boxed{\textcolor{blue}{\text{La droite }\mathcal{D}\text{ d'équation }y=x-1\text{ est asymptote oblique à la courbe }\mathcal{C}\text{ en }+\infty.}}}


3-b. La position relative de la courbe \mathcal{C} par rapport à la droite \mathcal{D} se détermine par l'étude du signe de l'expression (-\dfrac{2}{\text{e}^{2x}}+\dfrac{5}{\text{e}^{x}}}).

-\dfrac{2}{\text{e}^{2x}}+\dfrac{5}{\text{e}^{x}}}=-2\text{e}^{-2x}+5\text{e}^{-x} =\text{e}^{-2x}\left(-2+5\text{e}^{x} \right)

Une exponentielle étant toujours strictement positive, cette expression sera toujours du signe de \left(-2+5\text{e}^{x} \right)

Etudions l'inéquation :

-2+5\text{e}^{x} >0\Leftrightarrow 5\text{e}^{x}> 2 \Leftrightarrow \text{e}^{x}>\dfrac{2}{5}\Leftrightarrow x>\ln \dfrac{2}{5}

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Pour }x\in]-\infty,\ln\dfrac{2}{5}]\text{, }\mathcal{C}\text{ est en dessous de }\mathcal{D}\text{. Pour }x\in[\ln\dfrac{2}{5},+\infty[\text{, }\mathcal{C}\text{ est au-dessus de }\mathcal{D}.}}}


4. f(\ln 4)=\ln 4-1-2\text{e}^{-2\times \ln 4}+5\text{e}^{-\ln 4} =\ln 4-1-\dfrac{2}{\left(\text{e}^{\ln 4} \right)^{2}}+\dfrac{5}{\text{e}^{\ln 4}}=\ln 4-1-\dfrac{2}{4^2}+\dfrac{5}{4} =\ln 4+\dfrac{1}{8}

\boxed{\textcolor{blue}{f(\ln 4)=\dfrac{1}{8}+\ln 4}}}


Partie B


1-a. La fonction f est dérivable sur \mathbb{R} comme somme et composées de fonctions dérivables sur \mathbb{R}.

f'(x)=1-(-2)\times2\text{e}^{-2x}+(-1)\times 5\text{e}^{-x}=1+4\text{e}^{-2x}-5\text{e}^{-x}=\text{e}^{-2x}\left(\text{e}^{2x}+4-5\text{e}^{x} \right)=\dfrac{\text{e}^{2x}+4-5\text{e}^{x}}{\text{e}^{2x}}

Or : (\text{e}^x-4)(\text{e}^x-1)=\text{e}^{2x}-4\text{e}^x-1\text{e}^x+4=\text{e}^{2x}-5\text{e}^x+4

\boxed{\textcolor{blue}{f'(x)=\dfrac{(\text{e}^x-4)(\text{e}^x-1)}{\text{e}^{2x}}}}}


b. f'(x)=0\Leftrightarrow (\text{e}^x-4)(\text{e}^x-1)=0 \text{ soit pour }x=\ln 4 \text{ ou } x=0

Donc f'(x) et \left( \text{e}^{2x}+4-5\text{e}^{x}\right) sont de même signe.

Étudions le signe de \(\text{e}^x-4)(\text{e}^x-1)

\begin{array} {|c|cccccccc|} \hline  x & -\infty & & 0 & & \ln 4& & +\infty & \\\hline {\text{e}^x -1} & & - & 0 & + & | & + & & \\ \hline {\text{e}^x -4} & & - & | & - & 0 & + & & \\ \hline {(\text{e}^x -1)(\text{e}^x -4}) & &+&0 & - & 0&+& & \\ \hline \end{array}

Donc :

\text{. }x\in]-\infty,0[\cup ]\ln 4,+\infty[\Rightarrow (\text{e}^x-4)(\text{e}^x-1)>0\Rightarrow f'(x)>0 \\\\ \text{. }x\in]0,\ln 4[\Rightarrow (\text{e}^x-4)(\text{e}^x-1)<0\Rightarrow f'(x)<0

\boxed{\textcolor{blue}{x\in]-\infty,0[\cup]\ln 4,+\infty[\Longrightarrow f'(x)>0\text{ et }f\text{croissante, }x\in]0,\ln 4[\Longrightarrow f'(x)<0\text{ et }f\text{ décroissante}}}}


c. Tableau de variations de f

f(0)=0-1-2\text{e}^{-2\times 0}+5\text{e}^{0}=-1-2+5=2

\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x  &  -\infty  &&  0  &&  \ln 4  &&  +\infty  \\ \hline {f'(x)}  & &  +  &  0  &  -  &  0  &  +  &  \\ \hline {f}&_{-\infty}&\nearrow&^{2}&\searrow&_{\frac{1}{8}+\ln 4}&\nearrow&^{+\infty}& \hline \end{array}


2-a. Solution unique \alpha\in[-1,0]

On a :

\text{. }f(-1)=-1-1-2\text{e}^{-2\times (-1)}+5\text{e}^{-(-1)}=-2-2\text{e}^2+5\text{e}\approx -3,19 <0 \\\\ \text{. }f(0)=2>0

La fonction f croît strictement d'une valeur strictement négative f(-1) à une valeur strictement positive f(0)

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Il existe une valeur unique }\alpha\in[-1,0]\text{ telle que }f(\alpha)=0.}}}


b. A la calculatrice, on trouve :

f(-0,74)\approx -0,046 < 0 et f(-0,73)\approx 0,033 > 0

\boxed{\textcolor{blue}{-0,74<\alpha<-0,73}}}


3. Représentation graphique

Bac STL physique de laboratoire et de procédés industriels Métropole Septembre 2010 - terminale : image 1



Partie C


1. Une primitive de f sur R est la fonction F définie sur R par :

F(x)=\dfrac{x^{2}}{2}-x-\dfrac{2}{(-2)}\text{e}^{-2x}-5\text{e}^{-x}=\dfrac{x^{2}}{2}-x+\text{e}^{-2x}-5\text{e}^{-x}

\boxed{\textcolor{blue}{F(x)=\dfrac{x^{2}}{2}-x+\text{e}^{-2x}-5\text{e}^{-x}}}}}


2. Domaine E
Bac STL physique de laboratoire et de procédés industriels Métropole Septembre 2010 - terminale : image 4



3. Aire \mathcal{A}

Entre 0 et \ln 4 , la fonction f ne prend que des valeurs positives, donc :

\mathcal{A}=\displaystyle {\int_{0}^{\ln 4}}f(x)\text{d}x=\left[F(x) \right]_{0}^{\ln 4}} =F(\ln 4)-F(0)=\dfrac{(\ln 4)^{2}}{2}-\ln 4+\text{e}^{-2\times \ln 4}-5\text{e}^{-\ln 4}-\left( \dfrac{0^{2}}{2}-0+\text{e}^{-2\times 0}-5\text{e}^{0}\right) \\\\=\dfrac{(\ln 4)^{2}}{2}-\ln 4+\dfrac{1}{16}-\dfrac{5}{4}-1+5=\dfrac{(\ln 4)^{2}}{2}-\ln 4+\dfrac{45}{16}\text{ u.a}

\boxed{\textcolor{blue}{\mathcal{A}=\dfrac{(\ln 4)^{2}}{2}-\ln 4+\dfrac{45}{16}\text{ unités d'aire}}}}}

L'unité graphique étant de 2\text{ cm}, l'unité d'aire est égale à 2\times 2=4\text{ cm}^2.

L'aire \mathcal{A} sera de :

\mathcal{A}=\left( \dfrac{(\ln 4)^{2}}{2}-\ln 4+\dfrac{45}{16}\right)\times 4\approx 9,55\text{ cm}^2

\boxed{\textcolor{blue}{\mathcal{A}\approx 9,55\text{ cm}^2}}}}
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