Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Techniques de Laboratoire
Option : Physique de Laboratoire et de Procédés Industriels
Métropole - Session 2010

Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée (circulaire N°99-186 du 16 novembre 1999).
Le sujet est composé de deux exercices indépendants et d'un problème.
Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Le formulaire officiel et deux feuilles de papier millimétré sont distribués avec le sujet.

4 points

exercice 1

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $(O;\vec{u},\vec{v})$ direct.
L'unité graphique est égale à 1 cm.

1. Résoudre dans l'ensembles des nombres complexes l'équation : $z^2-4z+16=0$ .
2. On considère les points du plan $A$ et $B$ d'affixes respectives :
$z_A=2-2i\sqrt{3}$ et $z_B=2+2i\sqrt{3}$ . Déterminer le module et un argument des nombres $z_A$ et $z_B$ .

3. a) Soit le point $C$ d'affixe $z_C=-2\sqrt{3}-2i$ .
Montrer que les points $A$ , $B$ et $C$ appartiennet à un même cercle $(\mathcal{C})$ dont on précisera le centre et le rayon.
b) Construire le cercle $(\mathcal{C})$ et les points $A$ , $B$ et $C$ . (On laissera apparaître les traits de construction).

4. Soit le point $D$ d'affixe $z_D=4i$ . Montrer que le point $D$ a pour image le point $C$ par la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}.$

5. Montrer que le point $E$ , image du point $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{OB}$ , appartient au cercle $(\mathcal{C})$ .
Placer le point $E$ sur le graphique.

5 points

exercice 2

Dans cet exercice, toutes les probabilités seront données sous forme de fraction.
Une urne contient des boules de couleur numérotées.
Une boule blanche numérotée 1, que l'on notera B1,
Deux boules rouges numérotées 2 et 3, que l'on notera R2 et R3,
Trois boules vertes numérotées 1, 2 et 3, que l'on notera V1, V2 et V3.
Les boules sont indiscernables au toucher.

1. On extrait une boule de l'urne, puis une deuxième, sans avoir remis la première dans l'urne.
On appelle résultat un couple dont le premier élément est la boule obtenue au premier tirage, et le second celle obtenue au second tirage.
Par exemple, (R2 ; V3) est un résultat ; il signifie que la première boule est rouge numérotée 2 et que la deuxième boule est verte numérotée 3.
Pour répondre aux questions posées, on pourra s'aider d'un arbre ou d'un tableau.
    a) Déterminer le nombre de résultats possibles.
    b) On admet que tous les tirages sont équiprobables. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
    A : "les deux boules sont de la même couleur."
    B : "le produit des numéros inscrits sur les boules est 6."
    C : "il y a au moins une boule blanche."

2. Un jeu consiste à tirer deux boules de l'urne, selon la méthode décrite dans la question 1.
On note $X$ la variable aléatoire qui associe, à chaque résultat, le produit des numéros inscrits sur les deux boules.
Exemple : on associe au tirage (B1 ; V2) le nombre 2 car 1 × 2 = 2.
    a) Donner toutes les valeurs que peut prendre la variable aléatoire $X$ .
    b) Montrer que la probabilité que la variable aléatoire $X$ prenne la valeur 9 est égale à $\dfrac{1}{15}$ .
    c) Donner le loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ sous forme de tableau.
    d) Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ .

11 points

probleme

Partie A : Etude d'une fonction auxiliaire

Soit $g$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0;+\infty[$ par :
$g(x)=x^2+3-2\ln x$ . On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ .

1. A l'aide du tableau de signes de la fonction $g'$ sur l'intervalle $]0;+\infty[$ , indiquer les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0;+\infty[$ .
$\begin{tabvar}{|C|CCCCC|} \hline x & 0 & & 1 & & +\infty \\ \hline g'(x) & \dbarre & - & 0 & + & \\ \hline \end{tabvar}$
2. Calculer $g(1)$ puis en déduire le signe de $g(x)$ pour tout nombre réel $x$ strictement positif.

Partie B : Etude d'une fonction

Le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O;\vec{i},\vec{j})$ , unité graphique 2 cm.
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0;+\infty[$ par :
$f(x)=\dfrac{1}{2}x + 1 - \dfrac{1}{2x} + \dfrac{\ln x}{x}$ , et $\mathcal{C}$ sa représentation graphique dans le repère $(O;\vec{i},\vec{j})$ .

1. a) Déterminer la limite de la fonction $f$ en 0. Interpréter graphiquement le résultat.
    b) Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ .

2. a) Montrer que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0;+\infty[$ , la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ est définie par :
$f'(x)=\dfrac{g(x)}{2x^2}$ . En déduire le signe de $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$ strictement positif.
    b) Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0;+\infty[$ .

3. a) Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet sur l'intervalle $]0;+\infty[$ une solution unique, notée $\alpha$ .
    b) Donner, en justifiant, un encadrement d'amplitude 0,01 du nombre réel $\alpha$ .

4. Déterminer une équation de la droite $T$ , tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1.

5. Soit $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y=\dfrac{1}{2}x+1$ .
    a) Montrer que la droite $\mathcal{D}$ est asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}$ en $+\infty$ .
    b) Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ coupe la courbe $\mathcal{C}$ en un point $B$ d'abscisse $e^{\frac{1}{2}}$ .
    c) Etudier les positions relatives de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$ sur l'intervalle $]0;+\infty[$ .

6. Tracer dans le repère $(O;\vec{i},\vec{j})$ (unité graphique : 2 cm) les droites $T$ et $\mathcal{D}$ , ainsi que la courbe $\mathcal{C}$ .

Partie C : Calcul d'une aire

1. Hachurer sur le graphique la partie $E$ du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x=e^{\frac{1}{2}}$ et $x=e$ .

2. a) Montrer que la fonction $H$ définie par $H(x)=\dfrac{1}{2} (\ln x)^2$ est une primitive de la fonction $h$ définie sur l'intervalle $]0;+\infty[$ par $h(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ .
b) En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0;+\infty[$ .
c) Montrer que la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$ de la partie du plan hachurée $E$ est, en unités d'aire,
$A=\dfrac{2e^2+6e-8e^{\frac{1}{2}}+1}{8}$ . En déduire une valeur arrondie à 10^-2 près de l'aire $\mathcal{A}$ en cm².

Voir la correction

exercice 1

1. Il s'agit de résoudre une équation du second degré dont l'inconnue est $z$ , du type $az^2+bz+c=0$ , avec ici :
$a=1 \; b=-4 \; c=16$ .
$\Delta = b^2-4ac$ est le discriminant du premier membre de l'équation.
Application numérique : $\Delta = 16 - 64 = -48$ .
Avec $\Delta < 0$ , on sait que, dans $\mathbb{C}$ , cette équation admet deux solutions complexes conjuguées, données par les formules :
$z_A=\dfrac{-b-i.\sqrt{-\Delta}}{2a}$ ; $z_B=\dfrac{-b+i.\sqrt{-\Delta}}{2a}$
soit :
Application numérique :
$z_A=\dfrac{4-i.\sqrt{-(-48)}}{2}=\dfrac{4-i.\sqrt{16\times 3}}{2}=\dfrac{4-4i.\sqrt{3}}{2}=\dfrac{4.(1-i.\sqrt{3})}{2}=2.(1-i.\sqrt{3})$
$z_B=\dfrac{4+i.\sqrt{-(-48)}}{2}=\dfrac{4+i.\sqrt{16\times 3}}{2}=\dfrac{4+4i.\sqrt{3}}{2}=\dfrac{4.(1+i.\sqrt{3})}{2}=2.(1+i.\sqrt{3})$
soit : $z_B = \overline{z_A}$ .

2. Avec $z_A=2-2i.\sqrt{3}$ , on a : $|z_A|=\sqrt{2^2+(-2.\sqrt{3})^2}=\sqrt{4+12}=4$
$z_B=2+2i.\sqrt{3}$ , on a : $|z_B|=\sqrt{2^2+(2.\sqrt{3})^2}=\sqrt{4+12}=4$
Connaissant les modules de $z_A$ et $z_B$ , on détermine un de leurs arguments (resp. $\theta_A$ et $\theta_B$ ) en posant :
$z_A=|z_A|.(\cos\theta_A + i.\sin\theta_A)$ , soit :
$2 - 2i.\sqrt{3} = 4.(\cos\theta_A + i.\sin\theta_A)$ .
En divisant successivement les deux membres de cette égalité par 2, on obtient :
$1 - i.\sqrt{3} = 2.(\cos\theta_A + i.\sin\theta_A) \Longleftrightarrow \dfrac{1}{2} - i.\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \cos\theta_A + i.\sin\theta_A$ .

De cette dernière écriture, on déduit qu'un argument de $z_A$ est l'angle de mesure $\theta_A$ , tel que $\cos\theta_A=\dfrac{1}{2}$ et $\sin\theta_A=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ,
soit $\theta_A=-\dfrac{\pi}{3}$ rd, à $2k\pi$ près, $k\in\mathbb{Z}$ .

Par ailleurs, on a remarqué que $z_A$ et $z_B$ sont les solutions - conjuguées - de l'équation de la question 1., avec $z_B = \overline{z_A}$ .
on a donc : $|z_B| = |z_A|$ et, sachant que deux nombres complexes conjugués ont des arguments opposés, on en déduit qu'un argument de $z_B$ est $\theta_B =\dfrac{\pi}{3}$ rd, à $2k\pi$ près, $k\in\mathbb{Z}$ .

3. a) Le module de $z_C = -2\sqrt{3} - 2i$ vaut $\sqrt{(-2\sqrt{3})^2+(-2)^2} =\sqrt{16} = 4$ .
On a donc : $|z_A| = |z_B| = |z_C|$ .

Le module d'un nombre complexe exprime la distance du point image de ce nombre à l'origine O du repère auquel le plan complexe est rapporté.
On a donc : OA = OB = OC.
On en déduit que les points A, B et C sont cocycliques, éléments du cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon :
$OA = |z_A| = |z_B| = |z_C| = 4$ .

3. b) Voir graphique ci-dessous.

Bac STL physique de laboratoire et de procédés industriels Métropole Juin 2010 - terminale : image 1

Les points A, B et C sont placés sur le cercle $\mathcal{C}$ .
La partie réelle des nombres $z_A$ et $z_B$ étant égale à 2, les images de ces nombres dans le plan complexe ont pour abscisse 2.
A et B sont donc placés aux intersections de la droite d'équation $x = 2$ et du cercle $\mathcal{C}$ .
Le point A a une ordonnée négative et le point B une ordonnée positive, les parties imaginaires de $z_A$ et $z_B$ étant respectivement négative et positive.

La partie imaginaire du nombre $z_C$ étant égale à -2i, l'image de ce nombre dans le plan complexe a pour ordonnée -2.
C est donc placé à l'intersection de la droite d'équation $y = -2$ et du cercle $\mathcal{C}$ .
Le point C a une abscisse négative puisque la partie réelle de $z_C$ est négative.

4. L'écriture complexe de la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$ s'écrit :
$z' - z_O = z.e^{\frac{2i\pi}{3}}$ , avec : $z'$ , affixe de l'image du point d'affixe $z$ par la rotation considérée,
$z$ , affixe du point $D$ ,
$z_O$ , affixe du point $O$ .
Avec $z_O$ = 0 et $z = z_D = 4i$ , on a donc :
$z' = 4i.e^{\dfrac{2i\pi}{3}} = 4i.\left(\cos\dfrac{2\pi}{3} + i.\sin \dfrac{2\pi}{3}\right) = 4i.\left(-\dfrac{1}{2} + i.\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ .
En développant, on obtient : $-\dfrac{4i}{2}+\left(i^2.\dfrac{4\sqrt{3}}{2}\right) = -2i-2\sqrt{3} = -2\sqrt{3} - 2i = z_C$ .
On a donc établi que le point C est l'image du point D par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$ .

5. L'écriture complexe de la transalation de vecteur $\overrightarrow{OB}$ s'écrit :
$z' = z + \lambda$ , avec : $z'$ , affixe de l'image du point d'affixe $z$ par la transalation de vecteur $\overrightarrow{OB}$ , soit l'affixe du point $E$ ,
$z$ , affixe du point $A$ , soit $z_A$ ,
$\lambda$ , affixe du vecteur $\overrightarrow{OB}$ , égale à $z_B$ , affixe du point B, puisque O est l'origine du repère auquel est rapporté le plan complexe.
On a donc : $z_E = z_A + z_B$ , soit $z_E = 2 - 2i.\sqrt{3} + 2 + 2i.\sqrt{3} = 4$ .
Le point E a donc pour affixe un nombre complexe dont la partie imaginaire est nulle ; E est donc situé sur l'axe des réels du plan complexe (axe des abscisses).
La distance qui sépare E de l'origine O du repère dont est muni le plan complexe étant donc égale à 4, on a : OE = OA = OB = OC = 4[/tex].
Conclusion : $E\ \in\ \mathcal{C}$ .

5 points

exercice 2

1. a) Dans la mesure où l'énoncé précise que le résultat à l'issue d'un tirage est un COUPLE, cela signifie que l'ordre d'apparition des boules à l'issue des deux tirages est à prendre en compte pour déterminer le nombre de résultats possibles. Il s'agit donc de calculer le nombre d'ARRANGEMENTS à 2 boules parmi les 6 placées dans l'urne.
Ce nombre est donné par la formule :
$A_n^p = \dfrac{n!}{(n - p)!}$ ,
avec : $n = 6 \, ; \, p = 2$ . (Rappel : $n$ étant un entier naturel, $(n! = 1 \times 2\times 3 \cdots \times n)$ ).
On a donc : $A_6^2 = \dfrac{6!}{(6 - 2)!} = 6\times 5 = 30$ résultats possibles.

1. b) L'univers représentant l'ensemble des événements (tirages) possibles est constitué des 30 couples de boules déterminés à la question 1. a).
La probabilité d'un évènement E, notée P(E), se détermine par le rapport :
$\dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$ avec 30 comme nombre de cas possibles.
Il s'agit donc ici de déterminer le nombre de cas favorables aux événements A, B et C, pour calculer P(A), P(B) et P(C).
Nombre de cas favorables à l’évènement A
Les cas réalisant l’évènement A sont les tirages :
(R2;R3),(R3;R2),(V1;V2),(V2;V1),(V1;V3),(V3;V1),(V2;V3),(V3;V2), soit 8 tirages.
On a donc : $P(A)=\dfrac{8}{30}=\dfrac{4}{15}$

Nombre de cas favorables à l’évènement B
Les cas réalisant l’évènement B sont les tirages :
(R2;R3),(R3;R2),(R2;V3),(V3;R2),(R3;V2),(V2;R3),(V2;V3),(V3;V2), soit 8 tirages.
On a donc : $P(A)=\dfrac{8}{30}=\dfrac{4}{15}$ .

Nombre de cas favorables à l'événement C
Vu la configuration de l'urne pleine, l'événement C peut être défini par : "la boule B1 est sortie".
- Soit la boule B1 sort la première et est associée à une des 5 autres boules de l'urne, soit 5 cas favorables,
- Soit la boule B1 sort la dernière et est associée à une des 5 autres boules de l'urne, soit 5 cas favorables,
On a donc : $P(C)=\dfrac{5+5}{30}=\dfrac{10}{30}=\dfrac{1}{3}$ .

2. a) Les valeurs susceptibles d'être prises par la variable aléatoire $X$ sont les résultats des produits qu'il est possible d'obtenir en multipliant les numéros portés sur les boules tirées.
Compte tenu :
- que certaines boules de couleurs différentes portent le même numéro,
- de la commutativité des nombres entiers,
les valeurs possibles pour $X$ sont :
1 × 1 = 1 ; 1 × 2 = 2 ; 1 × 3 = 3 ; 2 × 2 = 4 ;2 × 3 = 6 ; 3 × 3 = 9

2. b) La probabilité pour que le produit des numéros inscrit sur les boules soit égal à 9 est que l'on obtienne l'un des deux arrangements suivants : (R3;V3) ou (V3;R3).
parmi les 30 possibles dénombrés.
soit une probabilté de $\dfrac{2}{30} = \dfrac{1}{15}$

2. c) Les valeurs susceptibles d'être prises par la variable aléatoire $X$ ont été indiquées à la question 2. a).
Soit $x_i$ chacune de ces valeurs. La probabilité que la variable aléatoire $X$ prenne une valeur $x_i$ se note $P(X=x_i)$ .
Ainsi a-t-on :
$P(X=1)=\dfrac{2}{30}=\dfrac{1}{15}$ , correspondant aux tirages : (B1;V1),(V1;B1), soit 2 cas favorables.
$P(X=2)=\dfrac{8}{30}=\dfrac{4}{15}$ , correspondant aux tirages : (B1;R2),(R2;B1),(V1;R2),(R2;V1),(B1;V2),(V2;B1),(V1;V2),(V2;V1), soit 8 cas favorables.
$P(X=3)=\dfrac{8}{30}=\dfrac{4}{15}$ , correspondant aux tirages : (B1;R3),(R3;B1),(B1;V3),(V3;B1),(V1;R3),(R3;V1),(V1;V3),(V3;V1), soit 8 cas favorables.
$P(X=4)=\dfrac{2}{30}=\dfrac{1}{15}$ , correspondant aux tirages : (R2;V2),(V2;R2), soit 2 cas favorables.
$P(X=6)=\dfrac{8}{30}=\dfrac{4}{15}$ , les 8 cas favorables ayant été énumérés à la question 1. b).
$P(X=9)=\dfrac{2}{30}=\dfrac{1}{15}$ , correspondant aux tirages : (R3;V3),(V3;R3), soit 2 cas favorables.
L'analyse ci-dessus permet de dresser le tableau de la loi de probabilité de la variable aléatoire X.

$x_i$	1	2	3	4	6	9
$P(X=x_i)$	$\dfrac{2}{30}$	$\dfrac{8}{30}$	$\dfrac{8}{30}$	$\dfrac{2}{30}$	$\dfrac{8}{30}$	$\dfrac{2}{30}$

On retrouve bien les 30 tirages possibles en faisant la somme des numérateurs des fractions de la deuxième ligne.
Exprimées sous forme de fractions irréductibles, ces probalités valent respectivement :

$x_i$	1	2	3	4	6	9
$P(X=x_i)$	$\dfrac{1}{15}$	$\dfrac{4}{15}$	$\dfrac{4}{15}$	$\dfrac{1}{15}$	$\dfrac{4}{15}$	$\dfrac{1}{15}$

2. d) L’espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ s'obtient en faisant la somme-produit des valeurs prises par la variable aléatoire multipliées par la probabilité qui leur sont respectivement associées, soit :
$\left(1\times\dfrac{1}{15}\right)+\left(2\times\dfrac{4}{15}\right)+\left(3\times\dfrac{4}{15}\right)+\left(4\times\dfrac{1}{15}\right)+\left(6\times\dfrac{4}{15}\right)+\left(1\times\dfrac{9}{15}\right)$
soit : $\dfrac{1}{15}+\dfrac{8}{15}+\dfrac{12}{15}+\dfrac{4}{15}+\dfrac{24}{15}+\dfrac{9}{15} = \dfrac{58}{15} \approx 3.87$

11 points

probleme

Partie A : Etude d'une fonction auxiliaire

1. On applique le théorème selon lequel une fonction numérique d'une variable réelle est : [nl croissante sur le ou les intervalles de son domaine de définition pour le(s)quel(s) sa fonction dérivée première est à valeurs positives,
décroissante sur le ou les intervalles de son domaine de définition pour le(s)quel(s) sa fonction dérivée première est à valeurs négatives.
Sur la base de ce théorème, l'examen du tableau de signes de l'énoncé met en évidence que la fonction $g$ :
est strict décroissante sur ]0 ; 1[,
s'annule pour $x = 1$ ,
est strict croissante sur $]1;+\infty[$ .

2. On a : $g(1) = 1^2 + 3 - 2\ln 1 = 4 (\ln 1 = 0)$ .
D'après le tableau de signes de l'énoncé, pour $x = 1$ , la fonction dérivée de $g$ s'annule et change de signe.
Cela signifie que $g$ passe par un extremum, en l'occurrence un minimum, compte tenu des variations de $g$ établies à la question 1.
Puisque $g(1) = 4$ et que $g$ est définie sur $]0;+\infty[$ , on en déduit que $g(1) = 4$ est la valeur minimale prise par $g(x)$ pour tout nombre réel $x$ strict positif, donc que $g(x)$ est strict positif pour tout nombre réel $x$ strict positif.
Formulation propositionnelle : $\forall x\in\mathbb{R}_+^*, \; g(x) \ge 4$ .

Partie B : Etude d'une fonction

1. a) On a : $\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x) = \lim_{x\to 0}\dfrac{1}{2}x + 1 - \lim_{x\to 0}\dfrac{1}{2x} + \lim_{x\to 0}\dfrac{\ln x}{x}\ = 0 + 1 -\infty -\infty$
soit : $\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x) = -\infty.$
Graphiquement, cela signifie que lorsque $x$ se rapproche de 0 (par valeur supérieures, compte tenu de l'ensemble de définition de $f$ ), la courbe représentative de $f$ descend à l'infini.
Mathématiquement, cela signifie que la droite d'équation $x=0$ est asymptote à la courbe représentative de $f$ .

1. b) En effectuant la même décomposition qu'à la question 1. a), on a :
] $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x) = +\infty + 1 - 0 + 0 = +\infty$

2. a) A partir de l'écriture de $f(x)$ , on a :
$f'(x) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{4x^2} + \dfrac{1 - \ln x}{x^2} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2x^2} + \dfrac{1-\ln x}{x^2} \\ f'(x) = \dfrac{x^2 + 1 + 2 - 2\ln x}{2x^2} = \dfrac{x^2 + 3 - 2\ln x}{2x^2} = \dfrac{g(x)}{2x^2}$
On a établi à la question 2. de la partie A, que $g(x)$ est strict positif pour tout nombre réel strict positif.
Par ailleurs, quel que soit le nombre $x$ (strict positif), $2x^2$ est strict positif.
On en déduit que le rapport : $\dfrac{g(x)}{2x^2} = f'(x)$ est strict positif pour tout nombre réel $x$ strict positif.

2. b) En appliquant les mêmes théorèmes de variation des fonctions numériques selon le signe pris par la fonction dérivée, mentionnés dans la partie A, et en utilisant les calculs de limites établis précédemment, on peut dresser le tableau de variations suivant :
$\begin{tabvar}{|C|CCCC|} \hline x&0&&&+\infty\\ \hline f'(x)&||&&+&\\ \hline f(x)&||\niveau{1}{2}&-\infty&\croit&\niveau{2}{2}+\infty\\ \hline \end{tabvar}$

3. a) On a établi que :
- sur $]0;+\infty[$ , $f$ est strict croissante,
- $\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x) = -\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x) = +\infty$ .
Il en résulte que $f$ définit une bijection de $]0;+\infty[$ sur $\mathbb{R}$ , et par conséquent qu'il existe une et unique valeur de la variable $x$ appartenant à l'intervalle $]0;+\infty[$ dont l'image par $f$ soit égale à 0.
Soit $\alpha$ cette valeur ; on a donc : $f(\alpha) = 0$ .

3. b) L'équation $\displaystyle \dfrac{1}{2}x + 1 - \dfrac{1}{2x} + \dfrac{\ln x}{x} = 0$ ne pouvant pas être résolue algébriquement avec les connaissances acquises en Terminale, il convient de programmer la fonction $f$ sur une calculatrice, et de procéder à une détermination de $\alpha$ par itérations successives.
Choix de la valeur de départ pour $x$ :
En posant $x = 1$ , valeur de la variable pour laquelle le calcul se fait aisément, on a $f(1) = 1$ .
Compte tenu de la strict croissance de $f$ , on détermine ainsi que $\alpha \in ]0;1[$ .
On procède ensuite par attribution d'une valeur de la variable correspondant au centre de l'intervalle précédemment déterminé, soit ici $x = 0.5$ .
A l'aide de la calculatrice, on établit successivement : $f(0.5) \approx -1.136$ ; on en déduit : $\alpha \in ]0.50;1[$
$f(0.75) \approx 0.325$ ; on en déduit : $\alpha \in ]0.50;0.75[$
$f(0.625) \approx -0.240$ ; on en déduit : $\alpha \in ]0.62;0.75[$
$f(0.685) \approx 0.060$ ; on en déduit : $\alpha \in ]0.62;0.69[$
$f(0.655) \approx -0.082$ ; on en déduit : $\alpha \in ]0.65;0.69[$
$f(0.670) \approx -0.009$ ; on en déduit : $\alpha \in ]0.67;0.69[$
$f(0.680) \approx 0.038$ .
L'encadrement de $\alpha$ étant demandé avec une amplitude de 0.01, les calculs précédents permettent d'écrire : $0.67 < \alpha < 0.68$ .

4. La forme générale de l'équation réduite de la droite $\mathcal{(T)}$ , tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en un point d'abscisse $x_0$ , est donnée par la formule : $y\ =\ f'(x_0).(x\ -\ x_0)\ +\ f(x_0)$ .
pour $x = 1$ , on a : $y = f'(1).(x-1) + f(1)$ , avec $f'(1) = 2$ et $f(1) = 1$ , soit en développant : $\boxed{(\mathcal{T}) : y = 2x-1}$
Rappel : $\ln 1 = 0$

5. a) $\mathcal{(D)}$ est asymptote oblique à $\mathcal{(C)}$ , la courbe représentative de $f$ , si et seulement si :
$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \left[f(x) - \left(\dfrac{1}{2}x + 1\right)\right]=0$ , c'est-à-dire si l'écart de valeur, pour $x$ tendant vers $+\infty$ , entre $f(x)$ et la fonction affine $h$ telle que $h(x)=\dfrac{1}{2}x+1$ tend à devenir nul.
Cela se concrétise graphiquement par le fait que les courbes représentatives de $\mathcal{(C)}$ et de $\mathcal{(D)}$ tendent à se rapprocher indéfiniment en $+\infty$ .
(on étudie que la limite en $+\infty$ puisque $f$ est définie sur $]0;+\infty[$ ).
On a donc : $f(x)-\dfrac{1}{2}x-1=-\dfrac{1}{2x}+\dfrac{\ln x}{x}$ , avec : $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\left(-\dfrac{1}{2x}\right)=0$ et $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)=0$ (limite "remarquable"),
soit : $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\left[f(x) - \left(\dfrac{1}{2}x+1\right)\right]=0$
La droite $\mathcal{(D)}$ est donc asymptote oblique à la courbe représentative $\mathcal{(C)}$ de $f$ .

5. b) Les coordonnées $(x;y)$ du point d'intersection B entre $\mathcal{(C)}$ et $\mathcal{(D)}$ se déterminent en posant :
$\dfrac{1}{2}x+1 = \dfrac{1}{2}x+1-\dfrac{1}{2x}+\dfrac{\ln x}{x}$ , avec $x\in]0;+\infty[$ .
soit : $\left(\dfrac{\ln x}{x}-\dfrac{1}{2x}\ =\ 0\right) \Longleftrightarrow \left(\dfrac{\ln x}{x} = \dfrac{1}{2x}\right) \Longleftrightarrow \left(2x.\ln x = x\right)\Longleftrightarrow\ \left(2.\ln x = 1\)$ (puisque $x\neq 0$ )
On a donc : $\ln x = \dfrac{1}{2}$ , soit $x = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}$ (Rappel : $\ln e^k = k.\ln e = k$ , puisque $\ln e = 1$ )

5. c) La question 5. b) a permis de démontrer que sur $]0;+\infty[$ , $\mathcal{(C)}$ coupe son asymptote en $+\infty$ en un unique point B.
A la question 5. a), on a montré que $f(x)-\left(\dfrac{1}{2}x+1\right)$ tend vers 0 lorsque $x$ tend vers $+\infty$ .
Il reste à déterminer si cette limite est atteinte par valeurs positives ou négatives. Pour cela, il convient d'étudier le signe de $f(x)-\left(\dfrac{1}{2}x+1\right)=\dfrac{\ln x}{x}-\dfrac{1}{2x} =\dfrac{2.\ln x-1}{2x}$ .
En $+\infty$ , le dénominateur de cette expression est positif, et $2.\ln x-1 > 0\Leftrightarrow \ln x > \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x > e^{\frac{1}{2}}$ ou $x > \sqrt{e}$
Donc, en $+\infty , f(x) - \left(\dfrac{1}{2}x + 1\right) >0$ signifie que $\mathcal{(C)}$ est au-dessus de son asymptote $\mathcal{(D)}$
On en conclut que $\mathcal{(C)}$ :
- est au-dessous de son asymptote $\mathcal{(D)}$ sur $\displaystyle ]0 ; \sqrt{e}[$
- coupe son asymptote $\mathcal{(D)}$ au point d'abscisse $\sqrt{e}$
- est au-dessus de son asymptote $\mathcal{(D)}$ sur $\displaystyle ]\sqrt{e} ; +\infty[$

6. Cf. graphique ci-dessous

Bac STL physique de laboratoire et de procédés industriels Métropole Juin 2010 - terminale : image 2

Partie C : Calcul d'une aire

1. voir graphique ci-dessus, zone hachurée en vert

2. a) $h$ est définie et continue sur $]0;+\infty[$ , donc elle admet des primitives sur cet intervalle.
La fonction dérivée d'une fonction du type : $a.[u(x)]^n$ est $a.n.u'(x).[u(x)]^{n-1}$
avec ici : $a = \dfrac{1}{2} ; u(x) = \ln x ; n = 2$ .
On a donc : $H'(x) = \dfrac{1}{2}\times 2\times\dfrac{1}{x}\times [\ln x]^{2-1} = \dfrac{\ln x}{x} = h(x).$

2. b) On a, sur $]0;+\infty[$ , l'intégrale indéfinie :
$\displaystyle \int f(x).dx = \int \dfrac{1}{2}x.dx + \int .dx - \int\frac{1}{2x}.dx + \int\frac{\ln x}{x}.dx \\ \displaystyle = \frac{1}2}.\int x.dx + \int dx -\frac{1}{2}\int\frac{1}{x}.dx + \int\frac{\ln x}{x}.dx$
D'après la question 2. a) et les formules d'intégration des fonctions polynômes ou rationnelles, on a :
$\displaystyle\int f(x).dx = \left(\dfrac{1}{2}.\dfrac{x^2}{2}\right) + x - \dfrac{1}{2}.\ln x + \dfrac{1}{2}.(\ln x)^2 + Cte$
avec $\displaystyle\int f(x).dx = F(x) = \dfrac{x^2}{4} + x - \dfrac{\ln x}{2} + \dfrac{$\ln x$^2}{2} + Cte$ ,

2. c) $\mathcal{(C)}$ est la courbe représentative de la fonction $f$ . L'aire $\mathcal{A}$ du domaine E tel qu'il est défini à la question 1. se détermine par :
$\mathcal{A} = \displaystyle\int_{e^{\frac{1}{2}}}^e f(x).dx$ , soit :
$\mathcal{A} = \displaystyle$\dfrac{e^2}{4}+e-\dfrac{\ln e}{2}+\dfrac{(\ln e)^2}{2}$-$\dfrac{e^{\frac{1}{2}}}{4}+e^{\frac{1}{2}}-\dfrac{\ln e^{\frac{1}{2}}}{2}+\dfrac{(\ln e^{\frac{1}{2}})^2}{2}$$
avec : $\displaystyle\ln e = 1 ; \ln e^{\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{2}$
donc : $\mathcal{A} = \dfrac{e^2}{4}+e-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{e}{4}+e^{\frac{1}{2}}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{8}$
Après développements, simplifications, et réduction au même dénominateur $8$ , on obtient :
$\mathcal{A} = \displaystyle\dfrac{2e^2+6e-8e^{\frac{1}{2}}+1}{8}$ unités d'aires, soit le résultat demandé.
L'unité graphique du repère auquel est rapporté le plan dans lequel est tracée $\mathcal{(C)}$ valant 2 cm, l'unité d'aire sur le graphique correspond à 4 cm².
L'aire de la partie $E$ est donc égale à $4.\mathcal{A}$ , soit $\displaystyle 4 \timesn\left(\dfrac{2e^2+6e-8e^{\frac{1}{2}}+1}{8}\right)$ , dont une valeur approchée à 10^-2 cm² près est $\boxed{9.45 \text{ cm}^2}$

Publié par pppa/pppa le 24-08-2011

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