Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Techniques de Laboratoire
Option : Physique de Laboratoire et de Procédés Industriels
Métropole - Session 2010
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Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4 L'utilisation d'une calculatrice est autorisée (circulaire N°99-186 du 16 novembre 1999).
Le sujet est composé de deux exercices indépendants et d'un problème.
Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Le formulaire officiel et deux feuilles de papier millimétré sont distribués avec le sujet.
4 points
exercice 1
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct.
L'unité graphique est égale à 1 cm.
1. Résoudre dans l'ensembles des nombres complexes l'équation :
.
2. On considère les points du plan et d'affixes respectives :
et .
Déterminer le module et un argument des nombres et .
3. a) Soit le point d'affixe .
Montrer que les points , et appartiennet à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
b) Construire le cercle et les points , et . (On laissera apparaître les traits de construction).
4. Soit le point d'affixe . Montrer que le point a pour image le point par la rotation de centre et d'angle
5. Montrer que le point , image du point par la translation de vecteur , appartient au cercle .
Placer le point sur le graphique.
5 points
exercice 2
Dans cet exercice, toutes les probabilités seront données sous forme de fraction. Une urne contient des boules de couleur numérotées.
Une boule blanche numérotée 1, que l'on notera B1,
Deux boules rouges numérotées 2 et 3, que l'on notera R2 et R3,
Trois boules vertes numérotées 1, 2 et 3, que l'on notera V1, V2 et V3.
Les boules sont indiscernables au toucher.
1. On extrait une boule de l'urne, puis une deuxième, sans avoir remis la première dans l'urne.
On appelle résultat un couple dont le premier élément est la boule obtenue au premier tirage, et le second celle obtenue au second tirage.
Par exemple, (R2 ; V3) est un résultat ; il signifie que la première boule est rouge numérotée 2 et que la deuxième boule est verte numérotée 3.
Pour répondre aux questions posées, on pourra s'aider d'un arbre ou d'un tableau.
a) Déterminer le nombre de résultats possibles.
b) On admet que tous les tirages sont équiprobables. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
A : "les deux boules sont de la même couleur."
B : "le produit des numéros inscrits sur les boules est 6."
C : "il y a au moins une boule blanche."
2. Un jeu consiste à tirer deux boules de l'urne, selon la méthode décrite dans la question 1. On note la variable aléatoire qui associe, à chaque résultat, le produit des numéros inscrits sur les deux boules.
Exemple : on associe au tirage (B1 ; V2) le nombre 2 car 1 × 2 = 2.
a) Donner toutes les valeurs que peut prendre la variable aléatoire .
b) Montrer que la probabilité que la variable aléatoire prenne la valeur 9 est égale à .
c) Donner le loi de probabilité de la variable aléatoire sous forme de tableau.
d) Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire .
11 points
probleme
Partie A : Etude d'une fonction auxiliaire
Soit la fonction définie pour tout nombre réel appartenant à l'intervalle par :
.
On note la fonction dérivée de la fonction .
1. A l'aide du tableau de signes de la fonction sur l'intervalle , indiquer les variations de la fonction sur l'intervalle .
2. Calculer puis en déduire le signe de pour tout nombre réel strictement positif.
Partie B : Etude d'une fonction
Le plan est rapporté à un repère orthonormal , unité graphique 2 cm.
Soit la fonction définie sur l'intervalle par :
,
et sa représentation graphique dans le repère .
1. a) Déterminer la limite de la fonction en 0. Interpréter graphiquement le résultat.
b) Déterminer la limite de la fonction en .
2. a) Montrer que pour tout nombre réel de l'intervalle , la fonction dérivée de la fonction est définie par :
.
En déduire le signe de pour tout nombre réel strictement positif.
b) Dresser le tableau de variations de la fonction sur l'intervalle .
3. a) Montrer que l'équation admet sur l'intervalle une solution unique, notée .
b) Donner, en justifiant, un encadrement d'amplitude 0,01 du nombre réel .
4. Déterminer une équation de la droite , tangente à la courbe au point d'abscisse 1.
5. Soit la droite d'équation .
a) Montrer que la droite est asymptote oblique à la courbe en .
b) Démontrer que la droite coupe la courbe en un point d'abscisse .
c) Etudier les positions relatives de la courbe et de la droite sur l'intervalle .
6. Tracer dans le repère (unité graphique : 2 cm) les droites et , ainsi que la courbe .
Partie C : Calcul d'une aire
1. Hachurer sur le graphique la partie du plan délimitée par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives et .
2. a) Montrer que la fonction définie par est une primitive de la fonction définie sur l'intervalle par .
b) En déduire une primitive de la fonction sur l'intervalle .
c) Montrer que la valeur exacte de l'aire de la partie du plan hachurée est, en unités d'aire,
.
En déduire une valeur arrondie à 10-2 près de l'aire en cm².
1. Il s'agit de résoudre une équation du second degré dont l'inconnue est , du type , avec ici :
.
est le discriminant du premier membre de l'équation.
Application numérique : .
Avec , on sait que, dans , cette équation admet deux solutions complexes conjuguées, données par les formules :
; soit :
Application numérique :
soit : .
2. Avec , on a : , on a : Connaissant les modules de et , on détermine un de leurs arguments (resp. et ) en posant :
, soit :
.
En divisant successivement les deux membres de cette égalité par 2, on obtient :
.
De cette dernière écriture, on déduit qu'un argument de est l'angle de mesure , tel que et ,
soit rd, à près, .
Par ailleurs, on a remarqué que et sont les solutions - conjuguées - de l'équation de la question 1., avec .
on a donc : et, sachant que deux nombres complexes conjugués ont des arguments opposés, on en déduit qu'un argument de est rd, à près, .
3. a) Le module de vaut .
On a donc :.
Le module d'un nombre complexe exprime la distance du point image de ce nombre à l'origine O du repère auquel le plan complexe est rapporté.
On a donc : OA = OB = OC.
On en déduit que les points A, B et C sont cocycliques, éléments du cercle de centre O et de rayon :
.
3. b) Voir graphique ci-dessous.
Les points A, B et C sont placés sur le cercle .
La partie réelle des nombres et étant égale à 2, les images de ces nombres dans le plan complexe ont pour abscisse 2.
A et B sont donc placés aux intersections de la droite d'équation et du cercle .
Le point A a une ordonnée négative et le point B une ordonnée positive, les parties imaginaires de et étant respectivement négative et positive.
La partie imaginaire du nombre étant égale à -2i, l'image de ce nombre dans le plan complexe a pour ordonnée -2.
C est donc placé à l'intersection de la droite d'équation et du cercle .
Le point C a une abscisse négative puisque la partie réelle de est négative.
4. L'écriture complexe de la rotation de centre et d'angle s'écrit :
, avec :
, affixe de l'image du point d'affixe par la rotation considérée,
, affixe du point ,
, affixe du point .
Avec = 0 et , on a donc :
.
En développant, on obtient : .
On a donc établi que le point C est l'image du point D par la rotation de centre O et d'angle .
5. L'écriture complexe de la transalation de vecteur s'écrit :
, avec :
, affixe de l'image du point d'affixe par la transalation de vecteur , soit l'affixe du point ,
, affixe du point , soit ,
, affixe du vecteur , égale à , affixe du point B, puisque O est l'origine du repère auquel est rapporté le plan complexe.
On a donc : , soit .
Le point E a donc pour affixe un nombre complexe dont la partie imaginaire est nulle ; E est donc situé sur l'axe des réels du plan complexe (axe des abscisses).
La distance qui sépare E de l'origine O du repère dont est muni le plan complexe étant donc égale à 4, on a : OE = OA = OB = OC = 4[/tex].
Conclusion : .
5 points
exercice 2
1. a) Dans la mesure où l'énoncé précise que le résultat à l'issue d'un tirage est un COUPLE, cela signifie que l'ordre d'apparition des boules à l'issue des deux tirages est à prendre en compte pour déterminer le nombre de résultats possibles. Il s'agit donc de calculer le nombre d'ARRANGEMENTS à 2 boules parmi les 6 placées dans l'urne.
Ce nombre est donné par la formule :
,
avec : . (Rappel : étant un entier naturel, ).
On a donc : résultats possibles.
1. b) L'univers représentant l'ensemble des événements (tirages) possibles est constitué des 30 couples de boules déterminés à la question 1. a).
La probabilité d'un évènement E, notée P(E), se détermine par le rapport :
avec 30 comme nombre de cas possibles.
Il s'agit donc ici de déterminer le nombre de cas favorables aux événements A, B et C, pour calculer P(A), P(B) et P(C).
Nombre de cas favorables à l’évènement A Les cas réalisant l’évènement A sont les tirages :
(R2;R3),(R3;R2),(V1;V2),(V2;V1),(V1;V3),(V3;V1),(V2;V3),(V3;V2), soit 8 tirages.
On a donc :
Nombre de cas favorables à l’évènement B Les cas réalisant l’évènement B sont les tirages :
(R2;R3),(R3;R2),(R2;V3),(V3;R2),(R3;V2),(V2;R3),(V2;V3),(V3;V2), soit 8 tirages.
On a donc : .
Nombre de cas favorables à l'événement C Vu la configuration de l'urne pleine, l'événement C peut être défini par : "la boule B1 est sortie".
- Soit la boule B1 sort la première et est associée à une des 5 autres boules de l'urne, soit 5 cas favorables,
- Soit la boule B1 sort la dernière et est associée à une des 5 autres boules de l'urne, soit 5 cas favorables,
On a donc : .
2. a) Les valeurs susceptibles d'être prises par la variable aléatoire sont les résultats des produits qu'il est possible d'obtenir en multipliant les numéros portés sur les boules tirées.
Compte tenu :
- que certaines boules de couleurs différentes portent le même numéro,
- de la commutativité des nombres entiers,
les valeurs possibles pour sont :
1 × 1 = 1 ; 1 × 2 = 2 ; 1 × 3 = 3 ; 2 × 2 = 4 ;2 × 3 = 6 ; 3 × 3 = 9
2. b) La probabilité pour que le produit des numéros inscrit sur les boules soit égal à 9 est que l'on obtienne l'un des deux arrangements suivants : (R3;V3) ou (V3;R3).
parmi les 30 possibles dénombrés.
soit une probabilté de
2. c) Les valeurs susceptibles d'être prises par la variable aléatoire ont été indiquées à la question 2. a).
Soit chacune de ces valeurs. La probabilité que la variable aléatoire prenne une valeur se note .
Ainsi a-t-on :
, correspondant aux tirages : (B1;V1),(V1;B1), soit 2 cas favorables.
, correspondant aux tirages : (B1;R2),(R2;B1),(V1;R2),(R2;V1),(B1;V2),(V2;B1),(V1;V2),(V2;V1), soit 8 cas favorables.
, correspondant aux tirages : (B1;R3),(R3;B1),(B1;V3),(V3;B1),(V1;R3),(R3;V1),(V1;V3),(V3;V1), soit 8 cas favorables.
, correspondant aux tirages : (R2;V2),(V2;R2), soit 2 cas favorables.
, les 8 cas favorables ayant été énumérés à la question 1. b).
, correspondant aux tirages : (R3;V3),(V3;R3), soit 2 cas favorables.
L'analyse ci-dessus permet de dresser le tableau de la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
1
2
3
4
6
9
On retrouve bien les 30 tirages possibles en faisant la somme des numérateurs des fractions de la deuxième ligne.
Exprimées sous forme de fractions irréductibles, ces probalités valent respectivement :
1
2
3
4
6
9
2. d) L’espérance mathématique de la variable aléatoire s'obtient en faisant la somme-produit des valeurs prises par la variable aléatoire multipliées par la probabilité qui leur sont respectivement associées, soit :
soit :
11 points
probleme
Partie A : Etude d'une fonction auxiliaire
1. On applique le théorème selon lequel une fonction numérique d'une variable réelle est :
[nl croissante sur le ou les intervalles de son domaine de définition pour le(s)quel(s) sa fonction dérivée première est à valeurs positives,
décroissante sur le ou les intervalles de son domaine de définition pour le(s)quel(s) sa fonction dérivée première est à valeurs négatives.
Sur la base de ce théorème, l'examen du tableau de signes de l'énoncé met en évidence que la fonction :
est strict décroissante sur ]0 ; 1[,
s'annule pour ,
est strict croissante sur .
2. On a : .
D'après le tableau de signes de l'énoncé, pour , la fonction dérivée de s'annule et change de signe.
Cela signifie que passe par un extremum, en l'occurrence un minimum, compte tenu des variations de établies à la question 1.
Puisque et que est définie sur , on en déduit que est la valeur minimale prise par pour tout nombre réel strict positif, donc que est strict positif pour tout nombre réel strict positif.
Formulation propositionnelle : .
Partie B : Etude d'une fonction
1. a) On a : soit : Graphiquement, cela signifie que lorsque se rapproche de 0 (par valeur supérieures, compte tenu de l'ensemble de définition de ), la courbe représentative de descend à l'infini.
Mathématiquement, cela signifie que la droite d'équation est asymptote à la courbe représentative de .
1. b) En effectuant la même décomposition qu'à la question 1. a), on a :
]
2. a) A partir de l'écriture de , on a :
On a établi à la question 2. de la partie A, que est strict positif pour tout nombre réel strict positif.
Par ailleurs, quel que soit le nombre (strict positif), est strict positif.
On en déduit que le rapport : est strict positif pour tout nombre réel strict positif.
2. b) En appliquant les mêmes théorèmes de variation des fonctions numériques selon le signe pris par la fonction dérivée, mentionnés dans la partie A, et en utilisant les calculs de limites établis précédemment, on peut dresser le tableau de variations suivant :
3. a) On a établi que :
- sur , est strict croissante,
- et .
Il en résulte que définit une bijection de sur , et par conséquent qu'il existe une et unique valeur de la variable appartenant à l'intervalle dont l'image par soit égale à 0.
Soit cette valeur ; on a donc : .
3. b) L'équation ne pouvant pas être résolue algébriquement avec les connaissances acquises en Terminale, il convient de programmer la fonction sur une calculatrice, et de procéder à une détermination de par itérations successives.
Choix de la valeur de départ pour : En posant , valeur de la variable pour laquelle le calcul se fait aisément, on a .
Compte tenu de la strict croissance de , on détermine ainsi que .
On procède ensuite par attribution d'une valeur de la variable correspondant au centre de l'intervalle précédemment déterminé, soit ici .
A l'aide de la calculatrice, on établit successivement :
; on en déduit : ; on en déduit : ; on en déduit : ; on en déduit : ; on en déduit : ; on en déduit : .
L'encadrement de étant demandé avec une amplitude de 0.01, les calculs précédents permettent d'écrire : .
4. La forme générale de l'équation réduite de la droite , tangente à la courbe en un point d'abscisse , est donnée par la formule : .
pour , on a : , avec et , soit en développant :
Rappel :
5. a) est asymptote oblique à , la courbe représentative de , si et seulement si :
, c'est-à-dire si l'écart de valeur, pour tendant vers , entre et la fonction affine telle que tend à devenir nul.
Cela se concrétise graphiquement par le fait que les courbes représentatives de et de tendent à se rapprocher indéfiniment en .
(on étudie que la limite en puisque est définie sur ).
On a donc : , avec : et (limite "remarquable"),
soit : La droite est donc asymptote oblique à la courbe représentative de .
5. b) Les coordonnées du point d'intersection B entre et se déterminent en posant :
, avec .
soit : (puisque )
On a donc : , soit (Rappel :, puisque )
5. c) La question 5. b) a permis de démontrer que sur , coupe son asymptote en en un unique point B.
A la question 5. a), on a montré que tend vers 0 lorsque tend vers .
Il reste à déterminer si cette limite est atteinte par valeurs positives ou négatives. Pour cela, il convient d'étudier le signe de .
En , le dénominateur de cette expression est positif, et ou Donc, en signifie que est au-dessus de son asymptote On en conclut que :
- est au-dessous de son asymptote sur - coupe son asymptote au point d'abscisse - est au-dessus de son asymptote sur
6. Cf. graphique ci-dessous
Partie C : Calcul d'une aire
1. voir graphique ci-dessus, zone hachurée en vert
2. a) est définie et continue sur , donc elle admet des primitives sur cet intervalle.
La fonction dérivée d'une fonction du type : est avec ici : .
On a donc :
2. b) On a, sur , l'intégrale indéfinie :
D'après la question 2. a) et les formules d'intégration des fonctions polynômes ou rationnelles, on a :
avec ,
2. c) est la courbe représentative de la fonction . L'aire du domaine E tel qu'il est défini à la question 1. se détermine par :
, soit :
avec : donc : Après développements, simplifications, et réduction au même dénominateur , on obtient :
unités d'aires, soit le résultat demandé.
L'unité graphique du repère auquel est rapporté le plan dans lequel est tracée valant 2 cm, l'unité d'aire sur le graphique correspond à 4 cm².
L'aire de la partie est donc égale à , soit , dont une valeur approchée à 10-2 cm2 près est
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