6 points

exercice 1

Tous les élèves lycéens en section TMD se réunissent pour proposer un concert.
Ils se répartissent de la manière suivante : la proportion d'élèves en classe de seconde est de ; la proportion d'élèves en classe de première est de ; les autres sont en terminale.
À l'occasion de ce concert, certains élèves vont se produire en solistes :
    en seconde, la proportion de solistes est de
    en première, la proportion de solistes est de
    en terminale, la proportion de solistes est de

Un journaliste interroge au hasard un élève lycéen en section TMD. Chaque élève lycéen en section TMD a la même probabilité d'être interrogé.
On considère les évènements suivants :
    A : «l'élève interrogé est en seconde» ;
    B : «l'élève interrogé est en première» ;
   C : «l'élève interrogé est en terminale» ;
   S : «l'élève interrogé se produira en soliste».

On rappelle que désigne l'évènement contraire de l'évènement S.

1. Prouver que la probabilité que l'élève interrogé soit en terminale est .

2. Donner la probabilité que l'élève interrogé se produise en soliste sachant que cet élève est en première.

3. Recopier et compléter l'arbre de probabilités suivant correspondant à la situation décrite par l'énoncé.

4. Prouver que la probabilité que l'élève interrogé soit en première et qu'il se produise en soliste est .

5. Prouver que la probabilité que l'élève interrogé se produise en soliste est .

6. Quelle est la probabilité que l'élève interrogé soit en terminale sachant que cet élève se produit en soliste ?


7 points

exercice 2

Les questions qui suivent font référence à la gamme de tempérament égal.
Dans cette gamme, l'octave est divisée en douze demi-tons égaux séparant les notes.

Les notes d'une octave sont: DO, DO#, RÉ, RÉ#, MI, FA, FA#, SOL, SOL#, LA, LA#, SI.

Une quarte juste contient cinq demi-tons. Une quinte juste contient sept demi-tons. On rappelle également que :
si et sont des entiers relatifs, « congru à modulo 12» s'écrit (modulo 12).

1. On augmente un RÉ de 70 demi-tons.
    a) De combien de quintes justes l'a-t-on augmenté?
    b) De combien de quartes justes l'a-t-on augmenté?
    c) Déterminer un entier compris entre -11 et 11 satisfaisant la relation de congruence suivante : (modulo 12).
    d) En utilisant le résultat de la question précédente, déterminer la note obtenue quand on augmente un RÉ de 70 demi-tons.

2. On passe d'un LA à un DO en augmentant de demi-tons (où désigne un entier naturel).
    a) Donner une valeur possible pour l'entier .
    b) Donner une relation de congruence modulo 12 vérifiée par .
Déterminer deux autres valeurs possibles pour l'entier .

3. a) Recopier et compléter le tableau de congruences modulo 12 suivant en ne complétant qu'avec des entiers compris entre 0 et 11 :

(modulo 12)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
(modulo 12)					8		6

    b) On passe d'un MI à un SI en augmentant de quartes justes (où désigne un entier naturel).
Écrire une relation de congruence modulo 12 vérifiée par l'entier . Donner alors une valeur possible pour l'entier .


7 points

exercice 3 - Enseignement obligatoire (au choix)

On désigne par I l'intervalle .
On considère la fonction définie, pour tout réel de l'intervalle I, par : , où désigne la fonction logarithme népérien. On désigne par la courbe représentative de la fonction dans un repère orthonormal .

1. a) Calculer et .
    b) On désigne par la fonction dérivée de la fonction .
Démontrer que, pour tout réel de l'intervalle I, .
    c) Rappeler quel est, selon le réel strictement positif, le signe de l'expression .
En déduire, pour tout réel de l'intervalle I, le signe de .
    d) Dresser le tableau de variations de la fonction sur l'intervalle I.

2. a) On désigne par la tangente à la courbe au point A d'abscisse e.
Déterminer l'équation de la forme de la droite .
    b) La courbe admet une tangente , parallèle à l'axe des abscisses en un point B.
Donner les coordonnées de ce point B.

3. a) Reproduire et compléter le tableau de valeurs ci-dessous. On donnera, dans chaque cas, la valeur décimale arrondie au dixième.

			1	2	e	3	4	5

Tracer, dans le repère orthonormal , la courbe , la droite et la droite . On prendra comme unité graphique 2 cm sur chaque axe.


7 points

exercice 4 - Enseignement renforcé (au choix)

On désigne par I l'intervalle [-1 ; 2].
On considère la fonction définie, pour tout réel de l'intervalle I, par : , où représente l'exponentielle du nombre réel . On désigne par la courbe représentative de la fonction dans un repère orthonormal .

1. Calculer les valeurs exactes des nombres réels , et .

2. On désigne par la fonction dérivée de la fonction .
    a) Démontrer que, pour tout réel de l'intervalle I, .
    b) Pour tout réel de l'intervalle I, étudier le signe de .
Donner le tableau de variations de la fonction sur l'intervalle I.

3. a) La courbe admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses en un point A.
Donner les coordonnées de ce point A.
    b) Sur la feuille annexe, à rendre avec la copie, on a tracé la courbe représentative de la fonction dans le repère orthonormal en prenant pour unité graphique 3 cm. Tracer sur ce graphique la droite .

4. a) On considère la fonction définie, pour tout réel de l'intervalle I, par : .
Démontrer que la fonction est une primitive de la fonction sur l'intervalle I.
    b) On considère l'intégrale définie par : .
Calculer l'intégrale .

5. On considère la partie du plan délimitée par l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées, la droite d'équation et la courbe .
On désigne par la mesure, exprimée en cm², de l'aire de cette partie du plan.
    a) Hachurer cette partie du plan sur le graphique de la feuille annexe (à rendre avec la copie).
    b) Déterminer la valeur exacte puis la valeur décimale arrondie au centième de la mesure , exprimée en cm² ANNEXE (à rendre avec la copie)