Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Technologique
Série Hôtellerie
Polynésie Française - Session Juin 2010

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Durée de l'épreuve : 1 heure 30       Coefficient : 2

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.
7 points

exercice 1

Un Groupement d'Intérêt Économique pour le tourisme a invité 120 personnes, toutes directrices d'agences de voyages, pour tester deux nouveaux gîtes touristiques A et B.
À l'issue de ce test, les résultats sont les suivants :
    35% des personnes sont satisfaites des deux gîtes.
    les \dfrac{3}{5} des personnes sont satisfaites du gîte B.
    36 personnes n'ont apprécié que le gîte A.

1. Recopier et compléter le tableau suivant :
Nombre de personnesSatisfaites du gîte ANon satisfaites du gîte ATotal
Satisfaites du gîte B   
Non satisfaites du gîte B   
Total  120

2. Dans cette question les résultats seront donnés sous forme décimale
On interroge une personne au hasard. On suppose que chaque personne a la même probabilité d'être interrogée.
    a) Calculer la probabilité des évènements suivants :
        A : «La personne est satisfaite du gite A»
        B : «La personne est satisfaite du gîte B»
        C : «La personne est satisfaite des deux gîtes»
        D : «La personne est satisfaite d'un seul gîte».
    b) Définir par une phrase l'évènement A \cap B. Calculer sa probabilité.

3. On interroge une personne satisfaite du gîte B. Quelle est la probabilité qu'elle soit satisfaite du gîte A ? Arrondir le résultat à 10-2.


13 points

exercice 2

En janvier 2009, le service restauration d'un hôtel a proposé une formule brunch-loisirs le dimanche afin de rentabiliser l'établissement en saison creuse. L'exercice a pour objectif d'étudier l'intérêt de cette formule.

Partie A - Étude d'une fonction

Soit f la fonction définie sur [20 ; 100] par
f(x) = - 0,5x^2 + 64x - 950.

1. Déterminer la fonction dérivée f' de la fonction f.

2. Étudier le signe de la fonction f', sur [20 ; 100] puis en déduire le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle [20 ; 100].

3. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant :
x2030405060647080100
f(x)         

4. On munit le plan d'un repère orthogonal à d'unités graphiques :
    1 cm pour 5 unités sur l'axe des abscisses, sur cet axe, la graduation commencera à 20.
    1 cm pour 50 unités sur l'axe des ordonnées.
Représenter, sur une feuille de papier millimétré, dans ce repère la courbe représentative \mathcal{C} de la fonction f.

5. Résoudre par le calcul l'équation f(x)= 1 000.
Retrouver graphiquement les solutions de cette équation du second degré. On laissera apparents les traits de construction utiles.

6. Résoudre graphiquement l'inéquation f(x) \ge 1 000.

Partie B - Étude du bénéfice pour un dimanche

On modélise le bénéfice en euros pour x couverts servis un dimanche suivant la formule brunch-loisirs par l'expression :
B(x) = - 0,5x^2 + 64x - 950.
En utilisant la partie A :

1. Déterminer le nombre de couverts pour lequel ce bénéfice est maximal.
Quel est alors le bénéfice maximal ?

2. Déterminer l'intervalle dans lequel doit se situer le nombre de couverts pour que le bénéfice soit au minimum de 1 000 €.

Partie C - Évolution du nombre de couverts par mois

Le premier mois cette formule a attiré 168 personnes.
De janvier 2009 à décembre 2009, le restaurant a servi en moyenne chaque mois 30 couverts de plus que le précédent.
On suppose que cette progression se poursuit de la même manière au-delà de l'année 2009. Pour étudier ce phénomène, on définit pour tout entier naturel n la suite \left(u_{n}\right)u_{0} désigne le nombre de couverts servis en janvier 2009 \left(u_{0} = 168\right), u_{1} le nombre de couverts servis en février 2009, u_{2} le nombre de couverts servis en mars 2009 et u_{n} le nombre de couverts servis au cours du n-ième mois suivant le mois de janvier 2009.

1. Calculer u_{1} et u_{2}.

2. Déterminer la nature de la suite \left(u_{n}\right) et préciser sa raison.

3. Exprimer le terme général u_{n} en fonction de n.

4. Calculer le nombre de couverts servis en décembre 2009.

5. Calculer le nombre total de couverts servis de janvier 2009 à décembre 2009.
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