Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Technologique
Série Hôtellerie
Métropole - Session Septembre 2010

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Durée de l'épreuve : 1 heure 30       Coefficient : 2

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.
8 points

exercice 1

Monsieur RENAN, traiteur, souhaite lancer un nouveau produit. Une société a effectué une enquête auprès de clients potentiels pour fixer le prix de vente de ce produit.
Prix x_{i} en euros202224262830
Nombre n_{i} de clients intéressés18013574452518

1. a) Compléter sur la feuille annexe le tableau reproduit ci-dessous (les résultats seront arrondis à 0,1 près).
Prix x_{i} en euros202224262830
Nombre n_{i} de clients intéressés18013574452518
y_{i} = \ln n_{i}5,2     

    b) Représenter sur une feuille de papier millimétré le nuage de points correspondant aux points de coordonnées \left(x_{i} ; y_{i}\right) dans un repère orthogonal :
        sur l'axe des abscisses 1 cm représente 1 €, on commencera la graduation à 20,
        sur l'axe des ordonnées 5 cm représentent la valeur 1, on commencera la graduation à 2.

2. On note G_{1} le point moyen correspondant aux trois premiers points du nuage de la question 1. b) et G_{2} celui correspondant aux trois derniers points de ce même nuage.
    a) Calculer les coordonnées des points G_{1} et G_{2}.
    b) Placer les points G_{1} et G_{2} sur le graphique et tracer la droite \left(G_{1}G_{2}\right).

3. Montrer qu'une équation de la droite \left(G_{1}G_{2}\right) est : y = -0,25x + 10,3.

4. Au vu de cette étude, monsieur RENAN pense dans un premier temps proposer son produit à 23 €. Si l'on admet que la droite \left(G_{1}G_{2}\right) constitue un bon ajustement de y en fonction de x, déterminer le nombre d'acheteurs potentiels qu'il peut espérer.


12 points

exercice 2

Monsieur RENAN s'intéresse maintenant au coût unitaire de production, en euros, de plateaux de canapés salés ainsi qu'au bénéfice réalisé pendant une semaine.

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A

La courbe donnée sur la feuille annexe représente le coût unitaire de production f(x), en euros, en fonction du nombre x de plateaux réalisés, x appartenant à l'intervalle [0 ; 100].
On fera apparaître sur le graphique de la feuille annexe les traits de construction nécessaires aux lectures des questions suivantes.
sujet du bac hôtellerie Métropole Septembre 2010 - terminale : image 1


1. Déterminer graphiquement le coût unitaire de production en euros lorsque monsieur RENAN réalise 80 plateaux.

2. Déterminer graphiquement la quantité de plateaux nécessaire pour que le coût unitaire soit minimal.
Quel est alors en euros le coût total de cette production ?

Partie B

On admet que f est définie pour tout x de l'intervalle [0 ; 100] par
f(x) = 0,01x^2 - x + 45.

1. Montrer que le coût de production de x plateaux, x appartenant à l'intervalle [0 ; 100] est :
C(x) = 0,01x^3 - x^2 + 45x.

2. Chaque plateau étant vendu 45 €, justifier que le bénéfice réalisé lorsque monsieur RENAN vend x plateaux, x appartenant à l'intervalle [0 ; 100] est donné en euros par:
B(x) = -0,01x^3 + x^2.

3. a) B' désignant la fonction dérivée de la fonction B, montrer que pour tout x appartenant à l'intervalle [0 ; 100] : B'(x) = x(2 - 0,03x).
    b) Étudier le signe de B'(x) pour tout x élément de [0 ; 100].
    c) Dresser le tableau de variation de la fonction B sur [0 ; 100].

4. Déduire de la question précédente le nombre de plateaux que monsieur RENAN doit produire et vendre pour réaliser un bénéfice maximal. Quelle est la valeur de ce bénéfice à un euro près ?
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