Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Technologique
Série Hôtellerie
Polynésie Française - Session Septembre 2010

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Durée de l'épreuve : 1 heure 30       Coefficient : 2

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.
8 points

exercice 1

Le tableau ci-dessous donne l'évolution de l'offre nationale en coches de plaisance (petits bateaux de plaisance habitables) entre 2003 et 2007.
x désigne le rang de l'année et y le nombre de coches de plaisance.
Année20032004200520062007
Rang de l'année x12345
Nombre de coches de plaisance y1 2221 2451 1781 1651 088

Source: Réseau National d'Observation du Tourisme Fluvial, Voies Navigables de France, ODIT.

1. Représenter sur une feuille de papier millimétré le nuage de points correspondant à cette série statistique dans un repère orthogonal.
Pour unités graphiques, on prendra :
    sur l'axe des abscisses : 2 cm pour 1 an ;
    sur l'axe des ordonnées : 1 cm pour 20 coches de plaisance. Sur cet axe, la graduation commencera à 1 000.

2. Calculer les coordonnées du point moyen G associé à cette série statistique.

3. On donne le point A de coordonnées (5 ; 1 110). Placer les points A et G sur le graphique et tracer la droite (AG).

4. Montrer qu'une équation de la droite (AG) est : y = -34,8x + 1 284.

5. On suppose que la droite (AG) réalise un bon ajustement du nuage jusqu'en 2012. À l'aide d'une lecture graphique, en laissant apparents les traits de construction, donner une estimation :
    a) du nombre de coches de plaisance en 2008 ;
    b) de l'année à partir de laquelle le nombre de coches de plaisance sera strictement inférieur à 1 000.

6. Vérifier le résultat du 5. b) par un calcul.


12 points

exercice 2

Dans le cadre d'un programme de rénovation, un groupe hôtelier achète de la peinture à un industriel. On se propose d'étudier la rentabilité du marché pour l'industriel.

Partie A - Étude d'une fonction

Soit f la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 2] par
f(x) = \ln (2x +1) + 1 - 0,1x^2.

1. Calculer la dérivée f' de la fonction f puis montrer que pour tout x appartenant à l'intervalle [0 ; 2] :
f'(x) = \dfrac{-0,4x^2 - 0,2x + 2}{2x+1}.

2. Montrer que f'(x) = \dfrac{(- 0,4x - 1)(x - 2)}{2x + 1}.

3. Étudier sur [0 ; 2] le signe de f'(x). En déduire le tableau de variations de la fonction f.

4. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant en donnant les résultats arrondis à 10-2.
x00,20,40,60,811,21,41,61,82
f(x)1 1,57    2,14   

5. Représenter, sur une feuille de papier millimétré, la fonction f sur l'intervalle [0 ; 2] dans un repère orthonormal en prenant pour unité graphique 5 cm.

Partie B - Application économique

Pour l'industriel, le coût de production en milliers d'euros pour x kilolitres de peinture est égal à f(x), où x appartient à l'intervalle [0 ; 2].
Le prix de vente au groupe hôtelier d'un kilolitre de peinture est de 1 800 €.

1. Quel est, en fonction du nombre x de kilolitres de peinture vendue, le montant de la recette totale exprimée en milliers d'euros ?

2. Représenter la fonction R définie sur [0 ; 2] par R(x) = 1,8x dans le repère défini à la question A. 5..

3. Le groupe hôtelier passe une commande de 1 kilolitre de peinture. Est-ce rentable pour l'industriel ?
Justifier votre réponse par le calcul puis graphiquement. Les traits de construction utiles seront laissés apparents.

4. Déterminer graphiquement la quantité minimale de peinture que l'industriel doit vendre pour être bénéficiaire. Les traits de construction utiles seront laissés apparents.
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