Baccalauréat Général
Série Économique et Social
Antilles - Guyane - Session Juin 2011
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L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Coefficient : 5 (pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité) ou 7 (pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité) Durée : 3 heures
5 points
exercice 1 - Commun à tous les candidats
Dans chaque programme de construction proposé par un grand constructeur immobilier, les acquéreurs doivent choisir entre la pose de moquette, de carrelage ou de sol plastifié pour revêtir le sol du salon. Pour le revêtement des murs du salon, ils ont le choix entre peinture ou papier peint.
Le recueil des choix des acquéreurs par l'entreprise donne les résultats suivants :
20 % ont choisi la moquette;
50 % ont choisi le carrelage;
les autres acquéreurs ont choisi la pose de sol plastifié.
Parmi les acquéreurs ayant choisi la moquette, 46 % choisissent le papier peint pour le revêtement des murs.
Parmi les acquéreurs ayant choisi le carrelage, 52 % choisissent le papier peint pour le revêtement des murs.
42,7 % des acquéreurs ont choisi le papier peint pour le revêtement des murs.
On interroge au hasard un acquéreur de logement construit par cette entreprise.
On considère les évènements suivants:
l'évènement: «l'acquéreur a choisi la pose de moquette»;
l'évènement: «l'acquéreur a choisi la pose de carrelage»;
l'évènement: «l'acquéreur a choisi la pose de sol plastifié»;
l'évènement: «l'acquéreur a choisi la pose de papier peint»;
l'évènement contraire de , correspondant à : «l'acquéreur a choisi la peinture».
Les résultats seront donnés sous forme décimale, et arrondis au millième.
1. Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré, qui sera complété tout au long de l'exercice.
2. a) Décrire l'évènement .
b) Calculer la probabilité .
3. a) Montrer que la probabilité que l'acquéreur ait choisi la pose de sol plastifié et de papier peint est égale à 0,075.
b) L'acquéreur a choisi le sol plastifié. Calculer la probabilité qu'il ait choisi le papier peint.
4.
On interroge au hasard et de façon indépendante trois acquéreurs parmi tous les clients du constructeur.
a) Calculer la probabilité, notée , qu'au moins un des trois acquéreurs ait choisi le papier peint.
b) Calculer la probabilité, notée , qu'exactement deux des trois acquéreurs aient choisi le papier peint.
5 points
exercice 2 - Commun à tous les candidats
Partie A : étude d'une fonction
Soit la fonction dérivable définie sur l'intervalle [0 ; + par:
.
Dans un repère orthogonal, on note la courbe représentative de la fonction et la droite d'équation .
On admet que la courbe et la droite se coupent en un seul point d'abscisse et on donne .
1. Calculer et la valeur arrondie au centième de .
2. Démontrer que la fonction est croissante sur l'intervalle [0 ; +[.
3. a) Calculer la limite de en . En déduire que la courbe admet une asymptote horizontale au voisinage de et en donner une équation.
b) Montrer que pour tout appartenant à [0 ; +, on a . En déduire la position relative de la courbe par rapport à la droite d'équation sur l'intervalle [0 ; +.
4. À l'aide du graphique, déterminer, selon les valeurs de , le signe de pour appartenant à l'intervalle [0 ; +.
Partie B : interprétation économique
Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
On utilisera les résultats de la partie A.
Une entreprise peut produire chaque jour au maximum 2 000 thermomètres de bain pour bébé.
On note le nombre de centaines de thermomètres produits chaque jour travaillé, appartenant à l'intervalle [0 ; 20].
On suppose que le coût total de production par jour, exprimé en centaines d'euros, est égal à , où est la fonction définie dans la Partie A.
1. Déterminer le montant des «coûts fixes», c'est-à-dire le montant des coûts lorsque la quantité produite est nulle.
2. Le coût total de production des thermomètres peut-il atteindre 8 100 € par jour ? Justifier.
3. Le prix de vente d'un thermomètre est fixé à 7 €. La recette journalière, exprimée en centaines d'euros, est donc donnée par .
Pour quelles productions journalières de thermomètres l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice ? Justifier.
5 points
exercice 3 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Une entreprise du secteur «Bâtiments et Travaux Publics» doit réduire la quantité de déchets qu'elle rejette pour respecter une nouvelle norme environnementale. Elle s'engage, à terme, à rejeter moins de 30 000 tonnes de déchets par an.
En 2007, l'entreprise rejetait 40 000 tonnes de déchets.
Depuis cette date, l'entreprise réduit chaque année la quantité de déchets qu'elle rejette de 5 % par rapport à la quantité rejetée l'année précédente, mais elle produit par ailleurs 200 tonnes de nouveaux déchets par an en raison du développement de nouvelles activités.
Pour tout entier naturel , on note la quantité, en tonnes, de déchets pour l'année . On a donc .
1. a) Calculer et .
b) Justifier que pour tout entier naturel on a .
2. Soit la suite définie pour tout entier naturel par .
a) Démontrer que la suite est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
b) Pour tout entier naturel , exprimer en fonction de .
En déduire que, pour tout entier naturel , on a .
c) La quantité de déchets rejetée diminue-t-elle d'une année sur l'autre ? Justifier.
d) Déterminer la limite de la suite quand tend vers l'infini.
e) Calculer une estimation, en tonnes et à une tonne près, de la quantité de rejets en 2011.
3.Dans cette question, tout trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
À partir de quelle année, le contexte restant le même, l'entreprise réussira-t-elle à respecter son engagement ?
5 points
exercice 3 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Les parties A et B de ce exercice sont indépendantes
Le tableau suivant donne le nombre de cartes bancaires, en France, exprimé en millions, entre 2002 et 2009.
Année
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
Rang de l'année
0
1
2
3
4
5
6
7
Nombre de cartes bancaires: (en millions)
45,4
47,6
49,1
51,2
53,6
55,7
57,5
58,4
(source: INSEE / groupement des cartes bancaires)
Partie A
1. Représenter le nuage de points , avec , associé à cette série statistique dans le plan muni d'un repère orthogonal défini de la manière suivante :
sur l'axe des abscisses, on placera 0 à l'origine et on choisira 2 cm pour représenter une année;
sur l'axe des ordonnées, on placera 45 à l'origine et on choisira 1 cm pour représenter 1 million.
2. Un ajustement affine du nuage de points paraît justifié.
a) Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement affine de en obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au centième.
b) Tracer la droite dans le repère précédent.
3. En admettant que cet ajustement affine reste valable pour les années suivantes, estimer le nombre de cartes bancaires en France en 2011.
Le résultat sera exprimé en millions et arrondi au dixième.
Partie B
1. Justifier que le pourcentage d'augmentation du nombre de cartes bancaires en France entre les années 2008 et 2009 est d'environ 1,6 %.
2. On admet que ce pourcentage annuel d'augmentation est valable pour les années à venir, à partir de 2009. Sous cette hypothèse, estimer le nombre de cartes bancaires en France en 2011. Le résultat sera exprimé en millions et arrondi au dixième.
3.Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Toujours sous l'hypothèse d'une augmentation annuelle de 1,6 %, déterminer à partir de quelle année l'estimation du nombre de cartes bancaires en France sera supérieure à 63 millions.
5 points
exercice 4 - Commun à tous les candidats
Soit une fonction définie et dérivable sur .
On appelle la courbe représentative de dans un repère du plan.
On donne ci-dessous le tableau de variation de la fonction sur .
On donne de plus: et et .
À l'aide des informations fournies ci-dessus, répondre aux questions suivantes.
1. Dresser sans justification le tableau donnant le signe de suivant les valeurs du nombre réel .
Les réponses aux questions suivantes devront être justifiées.
2. a) La courbe admet-elle une asymptote horizontale ?
Si oui, préciser une équation de cette droite.
b) Montrer que l'équation admet une unique solution sur l'intervalle [3 ; 10].
c) On appelle une primitive de la fonction sur .
Déterminer les variations de la fonction sur .
3. On note la fonction définie sur par où désigne la fonction logarithme népérien.
a) Expliquer pourquoi la fonction n'est pas définie sur l'intervalle .
b) Déterminer et .
c) Préciser le sens de variation de la fonction sur son ensemble de définition.
Publié par TP/
le
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