Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Général
Série Littéraire
Épreuve anticipée de Mathématiques - Informatique
Session Mai 2011 - Amérique du Nord

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Durée de l'épreuve : 1 h 30 - Coefficient 2

Le candidat doit traiter les deux exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
L'usage de la calculatrice est autorisée.
10 points

exercice 1

Thomas Malthus (1766-1834) est un économiste britannique connu pour ses travaux concernant les rapports entre population et production de denrées alimentaires. L'objectif de cet exercice est d'étudier le modèle établi par cet économiste dans son ouvrage Essai sur le principe des populations publié en 1798.

Partie 1 : Étude de l'évolution d'une population

Un pays possède, en 1800, une population de 20 millions d'habitants (soit 20 000 milliers).
Pour tout entier positif n, on note u_{n} la population, en milliers, de ce pays en l'année 1800 + n. On a donc u_{0} = 20 000.
Au regard des années précédentes, Malthus émet l'hypothèse qu'à partir de l'année 1800 la population de ce pays va augmenter de 1 % par an.

1. Justifier que u_{1} = 20200}. Que représente cette valeur ?

2. Quelle est la nature de la suite \left(u_{n}\right) ? Exprimer u_{n} en fonction de n.

3. Calculer la population obtenue en 1900 selon ce modèle.
Arrondir ce résultat au million d'habitants.

Partie 2 : Étude de l'évolution de la production de denrées alimentaires

Malthus constate qu'en 1800 ce pays peut nourrir une population de 25 millions d'habitants.
Pour tout entier positif n, on note v_{n} le nombre de personnes en milliers que peut nourrir ce pays en l'année 1800 + n.
On a donc v_{0} = 25 000.
Il fait l'hypothèse que grâce au progrès technique, chaque année le pays peut nourrir 10 000 personnes supplémentaires.

1. Justifier que v_{1} = 25 010. Que représente ce résultat ?

2. Quelle est la nature de la suite \left(v_{n}\right) ? Exprimer v_{n} en fonction de n.

3. Combien de personnes peuvent-être nourries en 1900 selon ce modèle ?
Que remarque-t-on ?

Partie 3 : Étude conjointe des deux suites

Dans la feuille de calcul donnée en ci-dessous, les termes de la suite \left(u_{n}\right) sont arrondis au dixième.
 ABCD
1AnnéeIndice nSuite uSuite v
21800020 000,025 000
31801120 200,025 010
41802220 402,025 020
51803320 606,025 030
61804420 812,125 040
71805521 020,225 050
81806621 230,425 060
91807721 442,725 070
101808821 657,125 080
111809921 873,725 090
1218101022 092,425 100
1318111122 313,425 110
1418121222 536,525 120
1518131322 761,925 130
1618141422 989,525 140
1718151523 219,425 150
1818161623 451,625 160
1918171723 686,125 170
2018181823 922,925 180
2118191924 162,225 190
2218202024 403,825 200
2318212124 647,825 210
24182222  
25182323  
26182424  
27182525  
28182626  


1. Quelle formule peut-on inscrire dans la cellule C3 pour obtenir, par recopie automatique vers le bas, les autres termes de la suite \left(u_{n}\right) ?

2. Quelle formule peut-on inscrire dans la cellule D3 pour obtenir, par recopie automatique vers le bas, les autres termes de la suite \left(v_{n}\right) ?

3. Compléter les cellules de C24 à C28 et les cellules D24 à D28 par leurs valeurs.

4. Selon les modèles de Malthus, à partir de quelle année ce pays ne serait plus en capacité de nourrir l'ensemble de sa population ?

5. Appliquée à l'Angleterre, la modélisation de Malthus ci-dessus s'est révélée inexacte.
Pour quelles raisons, selon vous, la famine attendue ne s'est-elle heureusement pas produite ?


10 points

exercice 2

Dans un lycée, on a demandé à chacun des 700 élèves de premières et terminales le nombre de livres lus dans l'année.
Les résultats sont donnés sous forme d'un histogramme ci-dessous.
Epreuve anticipée du bac littéraire mathématiques informatique Amérique du Nord Mai 2011 - terminale : image 1
Dans un second temps, on a demandé aux élèves le nombre de films vus au cinéma dans l'année. Les résultats sont consignés dans ce tableau :
Nombre de films0123456789101112131415161718
Nombres d'élèves5101530303060679085706060402010585


Partie 1: Étude du nombre de livres lus dans l'année

1. Parmi les «plus gros lecteurs» (ceux qui ont lu 10 livres ou plus), quel est le pourcentage d'élèves de série littéraire ? Arrondir à 1 %.

2. a) Quel est le nombre d'élèves de série L interrogés?
    b) Parmi les élèves de série L, quel est le pourcentage des élèves qui ont lu au plus 4 livres ?

3. Dans l'ensemble des élèves interrogés, quel est le pourcentage d'élèves de série L qui sont «petits lecteurs» (ceux lisant entre 0 et 4 livres) ? Arrondir à 1 %.

Partie 2 : Étude du nombre de films vus au cinéma dans l'année

La moyenne de cette série est \mu \approx  8,6, l'écart-type est \sigma \approx 3,53,5 (arrondis au dixième).

1. a) Déterminer l'intervalle [\mu -2\sigma ; \mu + 2\sigma].
    b) Vérifier que environ 95 % des valeurs appartiennent à l'intervalle [\mu -2\sigma ; \mu + 2\sigma].

2. Donner la médiane, le premier et le troisième quartile de cette série.

Partie 3 : Comparaison du nombre de films vus dans l'année par les élèves de deux classes

On considère deux classes de première L de cet établissement dont l'une est composée d'élèves ayant choisi l'option «cinéma».
Ces classes, appelées A et B, ont le même effectif : 32 élèves.
On a représenté ci-dessous les diagrammes en boîte du nombre de films vus au cinéma dans l'année pour chacune de ces classes, en plaçant aux extrémités le maximum et le minimum.
Epreuve anticipée du bac littéraire mathématiques informatique Amérique du Nord Mai 2011 - terminale : image 2
Chaque assertion suivante est-elles vraie ou fausse ? Expliquer votre réponse.

1. Dans la classe A environ la moitié des élèves a vu moins de 9 films au cinéma.

2. Dans la classe B environ huit élèves ont vu 10 films ou plus au cinéma.

3. Au moins la moitié des élèves de la classe A a vu plus de films au cinéma que les trois-quarts des élèves de la classe B.

4. Environ le quart des élèves de la classe B a vu moins de films au cinéma que chaque élève de la classe A.
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