Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Général
Série Littéraire
Enseignement de spécialité
Session Mai 2011 - Amérique du Nord

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Durée de l'épreuve : 3 heures     Coefficient : 3
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
5 points

exercice 1

Dans un des départements français, il a été établi que :
    Sur les 350 000 salariés : 80 % sont salariés du secteur privé et 20 % sont salariés du secteur public.
    Parmi les salariés du secteur privé, 5 % sont syndiqués.
    Parmi les salariés du secteur public, 15 % sont syndiqués.
On choisit une personne au hasard parmi les 350 000 salariés.
On note A l'évènement «la personne est salariée du secteur privé», B l'évènement «la personne est salariée du secteur public», et S l'évènement «la personne est syndiquée».
On note \overline{S} évènement contraire de S.

1. Compléter l'arbre pondéré ci-dessous.
Epreuve de spécialité du bac L Amérique du Nord mai 2011 - terminale : image 1

2. a) Montrer que la probabilité P(B \cap  S), de l'évènement B \cap S est égale à 0,03.
    b) Déterminer la probabilité p(S).

3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Un journal local annonce que dans ce département «moins d'un syndiqué sur deux est salarié du public».
Commenter cette affirmation.


6 points

exercice 2

La capacité pulmonaire d'une personne est la quantité d'air (mesurée en litres) pouvant être inspirée.
Dans le cas d'une inspiration forcée, à partir de 10 ans, la capacité pulmonaire (en litres) d'une personne peut être modélisée en fonction de son âge x (en années) par la fonction f définie par
f(x) = \dfrac{110 (\ln x - 2)}{x}.

1. On donne ci-dessous la courbe (\mathcal{C}) représentative de la fonction f sur l'intervalle [10 ; 100] dans un repère orthogonal.
Epreuve de spécialité du bac L Amérique du Nord mai 2011 - terminale : image 2
En utilisant la courbe (\mathcal{C}) :
    a) Estimer graphiquement à quel âge la capacité pulmonaire est maximale puis donner cette capacité ?
    b) Estimer graphiquement l'âge à partir duquel un adulte a une capacité pulmonaire inférieure à celle d'un enfant de 10 ans ?

2. a) On note f' la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle [10 ; 100].
Vérifier que pour tout nombre réel x de l'intervalle [10 ; 100]
f'(x) = 110\dfrac{3 - \ln x}{x^2}.
    b) Montrer que si x \in  \left[10 ; \text{e}^3\right] alors 3 - \ln x \ge  0.
    c) Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle [10 ; 100].
    d) Déterminer la valeur exacte du maximum de f puis la valeur arrondie à 10-2 près.


5 points

exercice 3

n désigne un nombre entier naturel.

1. On considère la suite arithmétique \left(a_{n}\right) de premier terme a_{0} = - 1 et de raison \dfrac{5}{11}.
    a) Calculer a_{1} sous forme de fraction irréductible.
    b) Exprimer a_{n} en fonction du nombre entier naturel n.
    c) Calculer puis donner l'écriture décimale périodique de a_{25}.

2. On considère la suite \left(b_{n}\right) définie par b_{0} = 0,36 et pour tout nombre entier naturel n, b_{n+1} = 0,01 b_{n}.
Pour tout entier naturel n on pose S_{n} = b_{0} + b_{1} + \cdots + b_{n}.
    a) Quelle est la nature de la suite \left(b_{n}\right) ?
    b) Justifier que S_{2} = 0,363636.
    c) Montrer que pour tout nombre entier naturel n,\, S_{n} = \dfrac{4}{11}\left[(1 - (0,01)^{n+1}\right].
    d) En déduire la limite S de la suite \left(S_{n}\right) lorsque n tend vers + \infty.
    e) Le nombre 10 + S est-il un terme de la suite \left(a_{n}\right) ? Justifier.


4 points

exercice 4

ABCD est un quadrilatère du plan horizontal dont les diagonales se coupent en P.
G désigne le milieu du segment [CD].
Sur la figure donnée ci-dessous le quadrilatère ABCD est représenté en perspective centrale par le quadrilatère abcd.
Epreuve de spécialité du bac L Amérique du Nord mai 2011 - terminale : image 3
Les points a,b,c,d,g et p représentent respectivement les points A, B, C, D, G et P.
La droite d_{h} représente la ligne d'horizon. Les droites (ab) et (cd) coupent la ligne d'horizon au point f_{2} et les droites (ad) et (bc) coupent la ligne d'horizon en f_{1}.
On laissera apparents les traits de construction.

1. a) Que peut-on dire des droites (AB) et (CD) ? Justifier votre réponse.
    b) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?

2. Justifier que le point g sur la figure (à rendre avec la copie) représente le milieu G du segment [CD].

3. On considère les points K et L tels que ABKL soit un parallélogramme de centre G. Construire les points k et l qui représentent respectivement les points K et L.
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