Baccalauréat Général
Session Avril 2011 - Pondichéry
Série Scientifique
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Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
10 points
exercice 1 - Commun à tous les candidats
Partie I
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormal, les courbes et représentatives de deux fonctions et définies sur l'intervalle .
On sait que :
l'axe des ordonnées est asymptote aux courbes et l'axe des abscisses est asymptote à la courbe la fonction est continue et strictement décroissante sur l'intervalle la fonction est continue et strictement croissante sur l'intervalle la limite quand tend vers de est .
Pour chacune des quatre questions de cette partie, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Chaque réponse juste rapporte 0,5 point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'est pas sanctionnée.
1. La limite quand tend vers 0 de est :
0
On ne peut pas conclure
2. La limite quand tend vers de est :
0
0,2
On ne peut pas conclure
3. En , admet une asymptote oblique :
Oui
Non
On ne peut pas conclure
4. Le tableau de signes de est :
Partie II
On considère la fonction définie sur l'intervalle par .
1. Déterminer les limites de la fonction aux bornes de son ensemble de définition.
2. Étudier les variations de la fonction sur l'intervalle .
3. En déduire le signe de lorsque décrit l'intervalle .
4. Montrer que la fonction définie sur l'intervalle par est une primitive de la fonction sur cet intervalle.
5. Démontrer que la fonction est strictement croissante sur l'intervalle .
6. Montrer que l'équation admet une unique solution dans l'intervalle qu'on note .
7. Donner un encadrement de d'amplitude 10-1.
Partie III
Soit et les fonctions définies sur l'intervalle par :
.
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormal, les courbes et représentatives des fonctions et .
1. A est le point d'intersection de la courbe et de l'axe des abscisses. Déterminer les coordonnées du point A.
2. P est le point d'intersection des courbes et . Justifier que les coordonnées du point P sont (1 ; 1).
3. On note l'aire du domaine délimité par les courbes , et les droites d'équations respectives et (domaine grisé sur le graphique).
a) Exprimer l'aire à l'aide de la fonction définie dans la partie II.
b) Montrer que .
4. Soit un nombre réel de l'intervalle . On note l'aire du domaine délimité par les droites d'équations respectives et les courbes et (domaine hachuré sur le graphique).
On souhaite déterminer une valeur de telle que .
a) Montrer que .
b) Conclure.
5 points
exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Partie 1
Dans cette partie, ABCD est un tétraèdre régulier, c'est-à-dire un solide dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux.
A' est le centre de gravité du triangle BCD.
Dans un tétraèdre, le segment joignant un sommet au centre de gravité de la face opposée est appelé médiane. Ainsi, le segment [AA'] est une médiane du tétraèdre ABCD.
1. On souhaite démontrer la propriété suivante :
: Dans un tétraèdre régulier, chaque médiane est orthogonale à la face opposée. a) Montrer que et que . (On pourra utiliser le milieu I du segment [BD] et le milieu J du segment [BC]).
b) En déduire que la médiane (AA') est orthogonale à la face BCD.
Un raisonnement analogue montre que les autres médianes du tétraèdre régulier ABCD sont également orthogonales à leur face opposée.
2. G est l'isobarycentre des points A, B, C et D.
On souhaite démontrer la propriété suivante :
: Les médianes d'un tétraèdre régulier sont concourantes en G.
En utilisant l'associativité du barycentre, montrer que G appartient à la droite (AA'), puis conclure.
Partie II
On munit l'espace d'un repère orthonormal .
On considère les points P(1 ; 2 ; 3), Q(4 ; 2 ; - 1) et R(-2 ; 3 ; 0).
1. Montrer que le tétraèdre OPQR n'est pas régulier.
2. Calculer les coordonnées de P', centre de gravité du triangle OQR.
3. Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (OQR) est : .
4. La propriété de la partie 1 est-elle vraie dans un tétraèdre quelconque ?
5 points
exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Partie A
On considère, dans un repère de l'espace, la surface d'équation :
.
1. On note l'intersection de avec le plan d'équation .
Déterminer la nature de .
2. On note l'intersection de avec le plan d'équation .
Déterminer la nature de .
Partie B
On considère, dans un repère de l'espace, la surface d'équation :
.
1. On note l'intersection de avec le plan d'équation .
Déterminer la nature de
2. On note l'intersection de avec le plan d'équation .
Déterminer la nature de .
Partie C
On note l'intersection de et de .
Dans cette partie, on souhaite démontrer que le seul point appartenant à dont les coordonnées sont des entiers naturels est le point O(0 ; 0 ; 0).
On suppose qu'il existe un point appartenant à et dont les coordonnées et sont des entiers naturels.
1. Montrer que si , alors le point est le point O.
2. On suppose dorénavant que l'entier n'est pas nul.
a) Montrer que les entiers et vérifient .
En déduire qu'il existe alors des entiers naturels et premiers entre eux tels que .
b) Montrer que divise , puis que divise .
c) Établir que vérifie la relation .
d) Conclure.
5 points
exercice 3 - Commun à tous les candidats
Un jeu consiste à lancer des fléchettes sur une cible. La cible est partagée en quatre secteurs, comme indiqué sur la figure ci-dessous.
On suppose que les lancers sont indépendants et que le joueur touche la cible à tous les coups.
1. Le joueur lance une fléchette.
On note la probabilité d'obtenir 0 point.
On note la probabilité d'obtenir 3 points.
On note la probabilité d'obtenir 5 points.
On a donc . Sachant que et que déterminer les valeurs de et ·
2. Une partie de ce jeu consiste à lancer trois fléchettes au maximum. Le joueur gagne la partie s'il obtient un total (pour les 3 lancers) supérieur ou égal à 8 points. Si au bout de 2 lancers, il a un total supérieur ou égal à 8 points, il ne lance pas la troisième fléchette.
On note l'évènement : « le joueur gagne la partie en 2 lancers ».
On note l'évènement : « le joueur gagne la partie en 3 lancers ».
On note l'évènement : « le joueur perd la partie ».
On note la probabilité d'un évènement .
a) Montrer, en utilisant un arbre pondéré, que .
On admettra dans la suite que b) En déduire .
3. Un joueur joue six parties avec les règles données à la question 2.
Quelle est la probabilité qu'il gagne au moins une partie ?
4. Pour une partie, la mise est fixée à 2 €.
Si le joueur gagne en deux lancers, il reçoit 5 €. S'il gagne en trois lancers, il reçoit 3 €. S'il perd, il ne reçoit rien.
On note la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur pour une partie. Les valeurs possibles pour sont donc : -2, 1 et 3.
a) Donner la loi de probabilité de .
b) Déterminer l'espérance mathématique de . Le jeu est-il favorable au joueur ?
3. En , admet une asymptote oblique : On ne peut pas conclure.
4. Le tableau de signes de est :
Partie II
1. Lorsque , et , donc tend vers .
Lorsque , et , donc tend vers .
2. La fonction est dérivable sur , de dérivée . Comme pour on a , la fonction est strictement croissante sur .
3. On remarque que s'annule en : . Puisque est strictement croissante sur , on a :
Pour tout , : est (strictement) négative sur ;
Pour tout , : est (strictement) positive sur .
4. est dérivable sur (produit et somme de fonctions dérivables), et pour tout on a : . Ainsi, est bien une primitive de sur .
5. La fonction a pour dérivée ; comme est strictement positive sur , est strictement croissante sur cet intervalle.
6. On a ; comme et comme est continue et strictement croissante sur , le théorème des valeurs intermédiaires permet d'affirmer que l'équation admet une solution unique dans l'intervalle .
7. Un encadrement d'amplitude de est : .
Partie III
1. équivaut à ; prenant l'exponentielle de chaque côté, on trouve : les coordonnées du point A sont .
2. L'abscisse du point P est solution de l'équation ; cette équation est équivalente à , soit où est la fonction définie dans la partie précédente. Comme ne s'annule qu'en , les courbes et ont un unique point d'intersection, d'abscisse 1 et d'ordonnée : les coordonnées de P sont .
3. a) On a .
3. b) Par théorème, . Or , donc .
4. a) On trouve par un raisonnement analogue au précédent que .
4. b) L'équation se réécrit ; d'après la partie 2, elle admet une unique solution , comprise entre 1,9 et 2 : pour , les deux aires sont égales.
exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Partie I
1. a) ; or les droites (AI) et (BD) sont orthogonales, car (AI) est la médiane issue de A dans le triangle équilatéral ABD ; de même, (IA') et (BD) sont orthogonales. Ainsi, , d'où .
On montre de manière analogue que .
1. b) (AA') est orthogonale aux deux droites (BD) et (BC) du plan (BCD) ; comme ces droites ne sont pas parallèles, (AA') est orthogonale au plan (BCD).
2. On a d'après la propriété d'associativité du barycentre, car . On en déduit que G est sur la droite (AA'). Un raisonnement identique appliqué aux autres médianes du tétraèdre prouverait que G se trouve aussi sur ces médianes. Par conséquent, G est le point d'intersection des quatre médianes de ABCD.
Partie II
1. et : le triangle OPQ n'est pas équilatéral, donc le tétraèdre OPQR n'est pas régulier.
2. Le point vérifie l'égalité : . Soient (x,y,z) les coordonnées de P'.
a pour composantes ;
a pour composantes .
En égalisant composante par composante, on obtient : , , et : .
3. On vérifie que les trois points O, Q et R vérifient l'équation :
Pour O, c'est immédiat ;
Pour Q : ;
Pour R : .
Ainsi, est bien une équation du plan (OQR).
4. Un vecteur normal au plan (OQR) est , et n'est pas colinéaire à . Ainsi, la médiane (PP') du tétraèdre n'est pas orthogonale au plan (OQR), et la propriété de la partie précédente n'est pas vraie dans un tétraèdre quelconque.
exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Partie A
1..
Ainsi est la droite d'équation contenue dans le plan .
2. De même : .
Ainsi est la parabole d'équation contenue dans le plan .
Partie B
1. : est la réunion des deux droites d'équations et .
2. : est l'hyperbole d'équation située dans le plan .
Partie C
1. Si , alors , car ; et puisque , d'où aussi. Ainsi, si , coïncide avec le point O.
2. a), ce qui entraîne , soit : . En divisant les entiers et par leur PGCD , on obtient deux entiers et qui vérifient la même équation, en effet : .
2. b) On en déduit que ; étant entier, divise . Or et sont premiers entre eux : d'après le théorème de Gauss, divise .
2. c) On a établi que et sont premiers entre eux et que divise : cela implique que . Alors l'égalité se réécrit .
2. d) On a ainsi montré que si est un point à coordonnées entières dans tel que , alors il existe un entier solution de l'équation . Résolvons cette équation : le discriminant est , d'où deux solutions : . Aucune de ces solutions n'est entière. Donc doit être nul, et le point est l'unique point d'intersection entre et .
exercice 3 - Commun à tous les candidats
1. D'après l'énoncé, et . L'égalité se réécrit donc : , d'où on tire , puis et .
2. a) L'arbre ci-dessous représente les diverses possibilités pour gagner (obtenir plus de 8 points) en deux lancers :
On obtient : .
2. b) Soit l'événement "Le joueur gagne". est la réunion des événements disjoints et (le joueur ne peut pas gagner en un seul lancer). On en déduit que . est l'événement contraire de , donc .
3. La probabilité que le joueur perde les six parties vaut ; la probabilité qu'il en gagne au moins une parmi les six est donc .
4. a) D'après les questions précédentes : , , et .
4. b) L'espérance de gain du joueur est : . L'espérance de gain du joueur étant négative, le jeu lui est défavorable.
Publié par Cel/critou
le
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