Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Général
Session Avril 2011 - Pondichéry
Série Scientifique

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

10 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Partie I

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormal, les courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ représentatives de deux fonctions $f_{1}$ et $f_{2}$ définies sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$ .

Bac scientifique Pondichéry Avril 2011 - terminale : image 1

On sait que :
    l'axe des ordonnées est asymptote aux courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$
    l'axe des abscisses est asymptote à la courbe $\mathcal{C}_{2}$
    la fonction $f_{2}$ est continue et strictement décroissante sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$
    la fonction $f_{1}$ est continue et strictement croissante sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$
    la limite quand $x$ tend vers $+\infty$ de $f_{1}(x)$ est $+ \infty$ .

Pour chacune des quatre questions de cette partie, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Chaque réponse juste rapporte 0,5 point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'est pas sanctionnée.

1. La limite quand $x$ tend vers 0 de $f_{2}(x)$ est :

$+ \infty$

On ne peut pas conclure

2. La limite quand $x$ tend vers $+ \infty$ de $f_{2}(x)$ est :

0,2

On ne peut pas conclure

3. En $+ \infty$ , $\mathcal{C}_{1}$ admet une asymptote oblique :

Oui

Non

On ne peut pas conclure

4. Le tableau de signes de $f_{2}(x) - f_{1}(x)$ est :
$\setlength{\TVmaxcolwidth}{10em} \begin{tabvar}{|C|LCR|} \hline x & 0 & & +\infty \\ \hline {f_2(x) - f_1(x)} & \dbarre & + & \\ \hline \end{tabvar}$ $\setlength{\TVmaxcolwidth}{10em} \begin{tabvar}{|C|LCR|} \hline x & 0 & & +\infty \\ \hline f_2(x) - f_1(x) & \dbarre & - & \\ \hline \end{tabvar}$ $\setlength{\TVmaxcolwidth}{10em} \begin{tabvar}{|C|LCCCR|} \hline x & 0 & & 1 & & +\infty \\ \hline f_2(x) - f_1(x) & \dbarre & + & 0 & - & \\ \hline \end{tabvar}$

Partie II

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = \ln (x) + 1 - \dfrac{1}{x}$ .
1. Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
2. Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ .
3. En déduire le signe de $f(x)$ lorsque $x$ décrit l'intervalle $]0 ; +\infty[$ .
4. Montrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par $F(x) = x \ln x - \ln x$ est une primitive de la fonction $f$ sur cet intervalle.
5. Démontrer que la fonction $F$ est strictement croissante sur l'intervalle $[1 ; +\infty[$ .
6. Montrer que l'équation $F(x) = 1 - \dfrac{1}{\text{e}}$ admet une unique solution dans l'intervalle $[1 ; +\infty[$ qu'on note $\alpha$ .
7. Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude 10^-1.

Partie III

Soit $g$ et $h$ les fonctions définies sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par : $g(x) = \dfrac{1}{x} \quad \text{ et } \quad h(x) = \ln (x) + 1$ . Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormal, les courbes $\mathcal{C}_{g}$ et $\mathcal{C}_{h}$ représentatives des fonctions $g$ et $h$ .

Bac scientifique Pondichéry Avril 2011 - terminale : image 2

1. A est le point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_{h}$ et de l'axe des abscisses. Déterminer les coordonnées du point A.
2. P est le point d'intersection des courbes $\mathcal{C}_{g}$ et $\mathcal{C}_{h}$ . Justifier que les coordonnées du point P sont (1 ; 1).
3. On note $\mathcal{A}$ l'aire du domaine délimité par les courbes $\mathcal{C}_{g}$ , $\mathcal{C}_{h}$ et les droites d'équations respectives $x = \dfrac{1}{\text{e}}$ et $x = 1$ (domaine grisé sur le graphique).
    a) Exprimer l'aire $\mathcal{A}$ à l'aide de la fonction $f$ définie dans la partie II.
    b) Montrer que $\mathcal{A} = 1 - \dfrac{1}{\text{e}}$ .

4. Soit $t$ un nombre réel de l'intervalle $]1 ; +\infty[$ . On note $\mathcal{B}_{t}$ l'aire du domaine délimité par les droites d'équations respectives $x = 1, x = t$ et les courbes $\mathcal{C}_{g}$ et $\mathcal{C}_{h}$ (domaine hachuré sur le graphique).
On souhaite déterminer une valeur de $t$ telle que $\mathcal{A} = \mathcal{B}_{t}$ .
    a) Montrer que $\mathcal{B}_{t} = t\ln (t) - \ln (t)$ .
    b) Conclure.

5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Partie 1

Dans cette partie, ABCD est un tétraèdre régulier, c'est-à-dire un solide dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux.

Bac scientifique Pondichéry Avril 2011 - terminale : image 3

A' est le centre de gravité du triangle BCD.
Dans un tétraèdre, le segment joignant un sommet au centre de gravité de la face opposée est appelé médiane. Ainsi, le segment [AA'] est une médiane du tétraèdre ABCD.

1. On souhaite démontrer la propriété suivante : $\left(\mathcal{P}_{1}\right)$ : Dans un tétraèdre régulier, chaque médiane est orthogonale à la face opposée.
a) Montrer que $\overrightarrow{\text{AA}'} \cdot \overrightarrow{\text{BD}} = 0$ et que $\overrightarrow{\text{AA}'}\cdot \overrightarrow{\text{BC}} = 0$ . (On pourra utiliser le milieu I du segment [BD] et le milieu J du segment [BC]).
b) En déduire que la médiane (AA') est orthogonale à la face BCD.
Un raisonnement analogue montre que les autres médianes du tétraèdre régulier ABCD sont également orthogonales à leur face opposée.

2. G est l'isobarycentre des points A, B, C et D.
On souhaite démontrer la propriété suivante :
$\left(\mathcal{P}_{2}\right)$ : Les médianes d'un tétraèdre régulier sont concourantes en G.
En utilisant l'associativité du barycentre, montrer que G appartient à la droite (AA'), puis conclure.

Partie II

On munit l'espace d'un repère orthonormal $(O ; \vec{i},\vec{j},\vec{k})$ .
On considère les points P(1 ; 2 ; 3), Q(4 ; 2 ; - 1) et R(-2 ; 3 ; 0).

1. Montrer que le tétraèdre OPQR n'est pas régulier.
2. Calculer les coordonnées de P', centre de gravité du triangle OQR.
3. Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (OQR) est : $3x + 2y + 16z = 0$ .
4. La propriété $\left(\mathcal{P}_{1}\right)$ de la partie 1 est-elle vraie dans un tétraèdre quelconque ?

5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

On considère, dans un repère $(O ; \vec{i},\vec{j},\vec{k})$ de l'espace, la surface $\mathcal{S}$ d'équation : $z = (x - y)^2$ .
1. On note $\mathcal{E}_{1}$ l'intersection de $\mathcal{S}$ avec le plan $\mathcal{P}_{1}$ d'équation $z = 0$ .
Déterminer la nature de $\mathcal{E}_{1}$ .

2. On note $\mathcal{E}_{2}$ l'intersection de $\mathcal{S}$ avec le plan $\mathcal{P}_{2}$ d'équation $x = 1$ .
Déterminer la nature de $\mathcal{E}_{2}$ .

Partie B

On considère, dans un repère $(O ; \vec{i},\vec{j},\vec{k})$ de l'espace, la surface $\mathcal{S}'$ d'équation : $z = xy$ .
1. On note $\mathcal{E}_{3}$ l'intersection de $\mathcal{S}'$ avec le plan $\mathcal{P}_{1}$ d'équation $z = 0$ .
Déterminer la nature de $\mathcal{E}_{3}$

2. On note $\mathcal{E}_{4}$ l'intersection de $\mathcal{S}'$ avec le plan $\mathcal{P}_{3}$ d'équation $z = 1$ .
Déterminer la nature de $\mathcal{E}_{4}$ .

Partie C

On note $\mathcal{E}_{5}$ l'intersection de $\mathcal{S}$ et de $\mathcal{S}'$ .
Dans cette partie, on souhaite démontrer que le seul point appartenant à $\mathcal{E}_{5}$ dont les coordonnées sont des entiers naturels est le point O(0 ; 0 ; 0).
On suppose qu'il existe un point $M$ appartenant à $\mathcal{E}_{5}$ et dont les coordonnées $x, y$ et $z$ sont des entiers naturels.

1. Montrer que si $x = 0$ , alors le point $M$ est le point O.

2. On suppose dorénavant que l'entier $x$ n'est pas nul.
    a) Montrer que les entiers $x,\, y$ et $z$ vérifient $x^2 - 3xy + y^2 = 0$ .
En déduire qu'il existe alors des entiers naturels $x'$ et $y'$ premiers entre eux tels que $x'^2 - 3x'y' + y'^2 = 0$ .
    b) Montrer que $x'$ divise $y'^2$ , puis que $x'$ divise $y'$ .
    c) Établir que $y'$ vérifie la relation $1 - 3y' + y'^2 = 0$ .
    d) Conclure.

5 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Un jeu consiste à lancer des fléchettes sur une cible. La cible est partagée en quatre secteurs, comme indiqué sur la figure ci-dessous.

Bac scientifique Pondichéry Avril 2011 - terminale : image 4

On suppose que les lancers sont indépendants et que le joueur touche la cible à tous les coups.

1. Le joueur lance une fléchette.
On note $p_{0}$ la probabilité d'obtenir 0 point.
On note $p_{3}$ la probabilité d'obtenir 3 points.
On note $p_{5}$ la probabilité d'obtenir 5 points.
On a donc $p_{0} + p_{3} + p_{5} = 1$ . Sachant que $p_{5} = \dfrac{1}{2}p_{3}$ et que $p_{5} = \dfrac{1}{3}p_{0}$ déterminer les valeurs de $p_{0},\, p_{3}$ et $p_{5}$ ·

2. Une partie de ce jeu consiste à lancer trois fléchettes au maximum. Le joueur gagne la partie s'il obtient un total (pour les 3 lancers) supérieur ou égal à 8 points. Si au bout de 2 lancers, il a un total supérieur ou égal à 8 points, il ne lance pas la troisième fléchette.
On note $G_{2}$ l'évènement : « le joueur gagne la partie en 2 lancers ».
On note $G_{3}$ l'évènement : « le joueur gagne la partie en 3 lancers ».
On note $P$ l'évènement : « le joueur perd la partie ».
On note $p(A)$ la probabilité d'un évènement $A$ .
    a) Montrer, en utilisant un arbre pondéré, que $p\left(G_{2}\right) = \dfrac{5}{36}$ .
On admettra dans la suite que $p\left(G_{3}\right) = \dfrac{7}{36}$
    b) En déduire $p(P)$ .

3. Un joueur joue six parties avec les règles données à la question 2.
Quelle est la probabilité qu'il gagne au moins une partie ?

4. Pour une partie, la mise est fixée à 2 €.
Si le joueur gagne en deux lancers, il reçoit 5 €. S'il gagne en trois lancers, il reçoit 3 €. S'il perd, il ne reçoit rien.
On note $X$ la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur pour une partie. Les valeurs possibles pour $X$ sont donc : -2, 1 et 3.
    a) Donner la loi de probabilité de $X$ .
    b) Déterminer l'espérance mathématique de $X$ . Le jeu est-il favorable au joueur ?

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exercice 1 - Commun à tous les candidats

Partie I

1. La limite quand $x$ tend vers 0 de $f_2(x)$ est : $+\infty$ .

2. La limite quand $x$ tend vers $+\infty$ de $f_2(x)$ est : 0.

3. En $+\infty$ , $C_1$ admet une asymptote oblique : On ne peut pas conclure.

4. Le tableau de signes de $f_2(x)-f_1(x)$ est :
$\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&0&&1&&+\infty \\ \hline {f_2(x)-f_1(x)}&||&+&0&-&\\ \hline \end{array}$

Partie II

1. Lorsque $x\to 0$ , $\ln(x) \to -\infty$ et $-\dfrac{1}{x} \to -\infty$ , donc $f(x) = \ln(x)+1-\dfrac{1}{x}$ tend vers $-\infty$ .
Lorsque $x \to +\infty$ , $\ln(x)\to +\infty$ et $\dfrac{1}{x}\to 0$ , donc $f(x)$ tend vers $+\infty$ .

2. La fonction $f$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ , de dérivée $f'(x) = \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}$ . Comme pour $x\in ]0,+\infty[$ on a $f'(x)>0$ , la fonction $f$ est strictement croissante sur $]0,+\infty[$ .

3. On remarque que $f$ s'annule en $x=1$ : $f(1)=\ln(1)+1-1= 0$ . Puisque $f$ est strictement croissante sur $]0,+\infty[$ , on a :
Pour tout $x< 1$ , $f(x)<0$ : $f$ est (strictement) négative sur $]0,1[$ ;
Pour tout $x>1$ , $f(x)>0$ : $f$ est (strictement) positive sur $]1,+\infty[$ .

4. $F$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ (produit et somme de fonctions dérivables), et pour tout $x>0$ on a : $F'(x)=\ln(x)+x \times \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x}=\ln(x)+1-\dfrac{1}{x}=f(x)$ . Ainsi, $F$ est bien une primitive de $f$ sur $]0,+\infty[$ .

5. La fonction $F$ a pour dérivée $f$ ; comme $f$ est strictement positive sur $[1,+\infty[$ , $F$ est strictement croissante sur cet intervalle.

6. On a $1-\dfrac{1}{\text{e}}\approx 0,63$ ; comme $F(1)=0 < 1-\dfrac{1}{\text{e}}$ et comme $F$ est continue et strictement croissante sur $[1,+\infty[$ , le théorème des valeurs intermédiaires permet d'affirmer que l'équation $F(x)=1-\dfrac{1}{\text{e}}$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $[1,+\infty[$ .

7. Un encadrement d'amplitude $10^{-1}$ de $\alpha$ est : $1,9 \leq \alpha \leq 2$ .

Partie III

1. $h(x)=0$ équivaut à $\ln(x)=-1$ ; prenant l'exponentielle de chaque côté, on trouve $x=\text{e}^{-1}=\dfrac{1}{\text{e}}$ : les coordonnées du point A sont $\left(\dfrac{1}{\text{e}},0 \right)$ .

2. L'abscisse du point P est solution de l'équation $g(x)=h(x)$ ; cette équation est équivalente à $\ln(x)+1-\dfrac{1}{x}=0$ , soit $f(x)=0$ où $f$ est la fonction définie dans la partie précédente. Comme $f$ ne s'annule qu'en $x=1$ , les courbes $\mathcal{C}_g$ et $\mathcal{C}_h$ ont un unique point d'intersection, d'abscisse 1 et d'ordonnée $h(1)=g(1)=1$ : les coordonnées de P sont $(1,1)$ .

3. a) On a $\mathcal{A}= \displaystyle \int_{1/\text{e}}^1 g(x)dx -\int_{1/\text{e}}^1 h(x)dx = -\int_{1/\text{e}}^1 f(x)dx$ .

3. b) Par théorème, $\mathcal{A}=-[F(1)-F \left(\dfrac{1}{\text{e}} \right)]$ . Or $F(1)=0$ , donc $\mathcal{A}=F \left(\dfrac{1}{\text{e}}\right) = \dfrac{1}{\text{e}}\ln \left(\dfrac{1}{\text{e}} \right)-\ln \left(\dfrac{1}{\text{e}} \right) = -\dfrac{1}{\text{e}}\ln(\text{e})- \left(-\ln(\text{e}) \right) = 1 - \dfrac{1}{\text{e}}$ .

4. a) On trouve par un raisonnement analogue au précédent que $\mathcal{B}_t = \displaystyle \int_1^t f(x)dx=F(t)-F(1)=F(t)=t \ln(t) - \ln(t)$ .

4. b) L'équation $\mathcal{B}_t=\mathcal{A}$ se réécrit $F(t)=1-\dfrac{1}{\text{e}}$ ; d'après la partie 2, elle admet une unique solution $\alpha$ , comprise entre 1,9 et 2 : pour $t=\alpha$ , les deux aires sont égales.

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Partie I

1. a) $\widearrow{\text{AA'}}\cdot \widearrow{\text{BD}}=\widearrow{\text{AI}}\cdot\widearrow{\text{BD}}+\widearrow{\text{IA'}}\cdot\widearrow{\text{BD}}$ ; or les droites (AI) et (BD) sont orthogonales, car (AI) est la médiane issue de A dans le triangle équilatéral ABD ; de même, (IA') et (BD) sont orthogonales. Ainsi, $\widearrow{\text{AI}}\cdot\widearrow{\text{BD}}=0=\widearrow{\text{IA'}}\cdot\widearrow{\text{BD}}$ , d'où $\widearrow{\text{AA'}}\cdot \widearrow{\text{BD}}=0$ .
On montre de manière analogue que $\widearrow{\text{AA'}}\cdot \widearrow{\text{BC}}=\widearrow{\text{AJ}}\cdot \widearrow{\text{BC}}+\widearrow{\text{JA'}}\cdot \widearrow{\text{BC}}=0$ .

1. b) (AA') est orthogonale aux deux droites (BD) et (BC) du plan (BCD) ; comme ces droites ne sont pas parallèles, (AA') est orthogonale au plan (BCD).

2. On a $G=\text{bar}\lbrace (A,1),(B,1),(C,1),(D,1)\rbrace=\text{bar}\lbrace (A,1),(A',3)\rbrace$ d'après la propriété d'associativité du barycentre, car $A'=\text{bar}\lbrace (B,1),(C,1),(D,1)\rbrace$ . On en déduit que G est sur la droite (AA'). Un raisonnement identique appliqué aux autres médianes du tétraèdre prouverait que G se trouve aussi sur ces médianes. Par conséquent, G est le point d'intersection des quatre médianes de ABCD.

Partie II

1. $OP^2=1^2+2^2+3^2=1+4+9=14$ et $OQ^2=16+4+1=21$ : le triangle OPQ n'est pas équilatéral, donc le tétraèdre OPQR n'est pas régulier.

2. Le point $P'=\text{bar}\lbrace (O,1),(Q,1),(R,1)\rbrace$ vérifie l'égalité : $3\widearrow{\text{OP'}}=\widearrow{\text{OQ}}+\widearrow{\text{OR}}$ . Soient (x,y,z) les coordonnées de P'.
$3\widearrow{\text{OP'}}$ a pour composantes $(3x,3y,3z)$ ;
$\widearrow{\text{OQ}}+\widearrow{\text{OR}}$ a pour composantes $(2,5,-1)$ .
En égalisant composante par composante, on obtient : $x=\dfrac{2}{3}$ , $y=\dfrac{5}{3}$ , et $z=-\dfrac{1}{3}$ : $P' \left(\dfrac{2}{3},\dfrac{5}{3},-\dfrac{1}{3} \right)$ .

3. On vérifie que les trois points O, Q et R vérifient l'équation $3x+2y+16z=0$ :
Pour O, c'est immédiat ;
Pour Q : $3\times 4+2\times 2+16\times (-1)=12+4-16=0$ ;
Pour R : $3\times (-2)+2\times 3= -6+6 =0$ .
Ainsi, $3x+2y+16z=0$ est bien une équation du plan (OQR).

4. Un vecteur normal au plan (OQR) est $\vec{n}(3,2,16)$ , et $\widearrow{\text{PP'}} \left(-\dfrac{1}{3},-\dfrac{1}{3},-\dfrac{10}{3} \right)$ n'est pas colinéaire à $\vec{n}$ . Ainsi, la médiane (PP') du tétraèdre n'est pas orthogonale au plan (OQR), et la propriété $(\mathcal{P}_1)$ de la partie précédente n'est pas vraie dans un tétraèdre quelconque.

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

1. $M(x,y,z)\in \mathcal{S}\cap \mathcal{P}_1 \Longleftrightarrow \left\lbrace \begin{array}l z=(x-y)^2 \\ z=0 \end{array} \Longleftrightarrow \left\lbrace \begin{array}l x-y=0 \\ z=0\end{array} \Longleftrightarrow \left\lbrace \begin{array}l x=y \\ z=0\end{array}$ .
Ainsi $\mathcal{E}_1$ est la droite d'équation $y=x$ contenue dans le plan $\mathcal{P}_1$ .

2. De même : $M(x,y,z)\in \mathcal{S}\cap \mathcal{P}_2 \Longleftrightarrow \left\lbrace \begin{array}l z=(x-y)^2 \\ x=1 \end{array} \Longleftrightarrow \left\lbrace \begin{array}l z=(1-y)^2 \\ x=1\end{array}$ .
Ainsi $\mathcal{E}_2$ est la parabole d'équation $z=(y-1)^2$ contenue dans le plan $\mathcal{P}_2$ .

Partie B

1. $M(x,y,z)\in \matcal{E}_3 \Leftrightarrow \left\lbrace \begin{array}l z=0\\ xy=0\end{array} \Leftrightarrow \left\lbrace \begin{array}l z=0 \\ x=0\text{ ou }y=0\end{array}$ : $\mathcal{E}_3$ est la réunion des deux droites d'équations $x=z=0$ et $y=z=0$ .

2. $xy=1 \Longleftrightarrow y=\dfrac{1}{x}$ : $\mathcal{E}_4$ est l'hyperbole d'équation $y=\dfrac{1}{x}$ située dans le plan $z=1$ .

Partie C

1. Si $x=0$ , alors $z=0\times y=0$ , car $M\in \mathcal{S}'$ ; et puisque $M\in \mathcal{S}$ , $x=0=(0-y)^2$ d'où $y=0$ aussi. Ainsi, si $x=0$ , $M(0,0,0)$ coïncide avec le point O.

2. a) $(x,y,z)\in \mathcal{S}\cap \mathcal{S}' \Longleftrightarrow z=(x-y)^2=xy$ , ce qui entraîne $x^2-2xy+y^2=xy$ , soit : $x^2-3xy+y^2=0$ . En divisant les entiers $x$ et $y$ par leur PGCD $\delta$ , on obtient deux entiers $x'=\dfrac{x}{\delta}$ et $y'=\dfrac{y}{\delta}$ qui vérifient la même équation, en effet : $x'^2-3x'y'+y'^2= \left(\dfrac{x}{\delta} \right)^2-3\dfrac{x}{\delta}\dfrac{y}{\delta}+(\dfrac{y}{\delta})^2=\dfrac{x^2-3xy+y^2}{\delta^2}=0$ .

2. b) On en déduit que $y'^2=3x'y'-x'^2=x'(3y'-x')$ ; $3y'-x'$ étant entier, $x'$ divise $y'^2$ . Or $x'$ et $y'$ sont premiers entre eux : d'après le théorème de Gauss, $x'$ divise $y'$ .

2. c) On a établi que $x'$ et $y'$ sont premiers entre eux et que $x'$ divise $y'$ : cela implique que $x'=1$ . Alors l'égalité $x'^2-3x'y'+y'^2=0$ se réécrit $1-3y'+y'^2=0$ .

2. d) On a ainsi montré que si $M(x,y,z)$ est un point à coordonnées entières dans $\mathcal{E}_5$ tel que $x\neq 0$ , alors il existe un entier $y'$ solution de l'équation $y'^2-3y'+1=0$ . Résolvons cette équation : le discriminant est $\Delta=9-4=5$ , d'où deux solutions : $y'=\dfrac{3\pm \sqrt{5}}{2}$ . Aucune de ces solutions n'est entière. Donc $x$ doit être nul, et le point $O$ est l'unique point d'intersection entre $\mathcal{S}$ et $\mathcal{S}'$ .

exercice 3 - Commun à tous les candidats

1. D'après l'énoncé, $p_3=2p_5$ et $p_0=3p_5$ . L'égalité $p_0+p_3+p_5=1$ se réécrit donc : $3p_5+2p_5+p_5=6p_5=1$ , d'où on tire $p_5=\dfrac{1}{6}$ , puis $p_3=\dfrac{1}{3}$ et $p_0=\dfrac{1}{2}$ .

2. a) L'arbre ci-dessous représente les diverses possibilités pour gagner (obtenir plus de 8 points) en deux lancers :

Bac scientifique Pondichéry Avril 2011 - terminale : image 5

On obtient : $p(G_2)=\dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}\times \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{36}+\dfrac{2}{36}+\dfrac{2}{36}=\dfrac{5}{36}$ .

2. b) Soit $G$ l'événement "Le joueur gagne". $G$ est la réunion des événements disjoints $G_2$ et $G_3$ (le joueur ne peut pas gagner en un seul lancer). On en déduit que $p(G)=p(G_2)+p(G_3)=\dfrac{5}{36}+\dfrac{7}{36}=\dfrac{12}{36}=\dfrac{1}{3}$ . $P$ est l'événement contraire de $G$ , donc $p(P)=1-p(G)=\dfrac{2}{3}$ .

3. La probabilité que le joueur perde les six parties vaut $p(P)^6= \left(\dfrac{2}{3} \right)^6$ ; la probabilité qu'il en gagne au moins une parmi les six est donc $1- \left(\dfrac{2}{3}\right)^6=\dfrac{665}{729}\approx 0,91$ .

4. a) D'après les questions précédentes : $p(X=-2)=p(P)=\dfrac{2}{3}$ , $p(X=1)=p(G_3)=\dfrac{7}{36}$ , et $p(X=3)=p(G_2)=\dfrac{5}{36}$ .

4. b) L'espérance de gain du joueur est : $(-2)\times p(X=-2)+1\times p(X=1)+3\times p(X=3)=-2\times \dfrac{2}{3}+\dfrac{7}{36}+3\times\dfrac{5}{36} = -\dfrac{4}{3}+\dfrac{7}{36}+\dfrac{15}{36}=\dfrac{-48+22}{36}=-\dfrac{26}{36}\approx -0,72$ . L'espérance de gain du joueur étant négative, le jeu lui est défavorable.

Publié par Cel/critou le 20-08-2011

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