Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Général
Session Juin 2011 - Centres Étrangers
Série Scientifique

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

On considère une droite $\mathcal{D}$ munie d'un repère $\left(\text{O} ; \vect{\imath}\right)$ .
Soit $\left(A_{n}\right)$ la suite de points de la droite $\mathcal{D}$ ainsi définie :
    $A_{0}$ est le point O ;
    $A_{1}$ est le point d'abscisse 1 ;
    pour tout entier naturel $n$ , le point $A_{n+2}$ est le milieu du segment $\left[A_{n}A_{n+1}\right]$ .

1. a) Placer sur un dessin la droite $\mathcal{D}$ , les points $A_{0},\, A_{1},\, A_{2},\,A_{3},\, A_{4},\, A_{5}$ et $A_{6}$ .
On prendra 10 cm comme unité graphique.
    b) Pour tout entier naturel $n$ , on note $a_{n}$ l'abscisse du point $A_{n}$ .
Calculer $a_{2}$ , $a_{3}$ , $a_{4}$ , $a_{5}$ et $a_{6}$ .
    c) Pour tout entier naturel $n$ , justifier l'égalité : $a_{n+2} = \dfrac{a_{n} + a_{n+1}}{2}$ .

2. Démontrer par récurrence, que pour tout entier $n,\,a_{n+1} = - \dfrac{1}{2}a_{n} + 1$ .

3. Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$ , par
$v_{n} = a_{n} - \dfrac{2}{3}$ .
Démontrer que $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $- \dfrac{1}{2}$ .

4. Déterminer la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$ , puis celle de la suite $\left(a_{n}\right)$ .

5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Les cinq questions sont indépendantes.
Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse qui n'est pas justifiée ne sera pas prise en compte.
Toute justification incomplète sera valorisée.

Question 1
On considère, dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct $(O ; \vec{i},\vec{j})$ , les points A, B et C d'affixes respectives : $a = 1 + \text{i},\quad b = 3\text{i},\quad c = \left(\sqrt{3} + \dfrac{1}{2}\right) + \text{i}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + 2 \right)$ . Affirmation
Le triangle ABC est un triangle équilatéral.

Question 2
On considère, dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct $(O ; \vec{u},\vec{v})$ , la transformation $f$ dont une écriture complexe est : $z' = \left(\dfrac{2\text{i}}{\sqrt{3} + \text{i}}\right)z$ .
Affirmation
La transformation $f$ est la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ .

Question 3
On considère le nombre complexe $a = \left(-\sqrt{3} + \text{i}\right)^{2 011}$ .
Affirmation
Le nombre complexe $a$ est un nombre imaginaire pur.

Question 4
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ , où $\lambda$ est un nombre strictement positif.
On rappelle que, pour tout réel $t$ strictement positif, la probabilité de l'évènement $(X \le t)$ s'exprime par $P(X \le t) = 1 - \text{e}^{- \lambda t}$ .
Affirmation
Sachant que $X \ge 2$ , la probabilité que $X$ appartienne à l'intervalle [2 ; 3] est égale à $1 - \text{e}^{- \lambda}$ .

Question 5
Une urne contient au total $n$ boules dont cinq sont blanches et les autres noires.
On effectue 10 tirages successifs indépendants en remettant la boule dans l'urne après chaque tirage.
Affirmation
La plus petite valeur de l'entier $n$ , pour laquelle la probabilité d'obtenir au moins une boule noire sur les 10 tirages est supérieure ou égale à 0,9999 est égale à 13.

5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Les cinq questions sont indépendantes.
Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
Toute justification complète sera valorisée.

Question 1
On considère l'équation (E) : $2x+ 11y = 7$ , où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
Affirmation
Les seuls couples solutions de (E) sont les couples $(22k - 2 ; - 4k+ 1)$ , avec $k$ appartenant à l'ensemble $\Z$ des entiers relatifs.

Question 2
On considère l'entier $N = 11^{2 012}$ .
Affirmation
L'entier $N$ est congru à 4 modulo 7.

Question 3
On considère, dans le plan complexe, les points A, B et C d'affixes respectives : $a = 1 + \text{i}\quad ; \quad b = 3\text{i}\quad ; \quad c = \left(1 - 2\sqrt{2}\right) + \text{i}\left(1 - \sqrt{2}\right)$ . Affirmation
Le point C est l'image du point B par la similitude directe de centre A, de rapport $\sqrt{2}$ et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$ .

Question 4
On considère, dans le plan complexe, les points A et B d'affixes respectives : $a = 1 + \text{i}\quad;\quad b = 2 - \text{i}$ . Soit $f$ la similitude d'écriture complexe : $z' = \left(- \dfrac{3}{5}- \dfrac{4}{5}\text{i} \right)\overline{z} + \left(\dfrac{12}{5} + \dfrac{6}{5}\text{i} \right)$ .
Affirmation
La transformation $f$ est la réflexion d'axe (AB).

Question 5
L'espace est muni d'un repère orthonormal $(O ; \vec{i},\vec{j},\vec{k})$ .
On considère la surface $\mathcal{S}$ dont une équation est : $z = 4x y$ .
Affirmation
La section de la surface $\mathcal{S}$ par le plan d'équation $z = 0$ est la réunion de deux droites orthogonales.

5 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

La figure ci-dessous représente un cube ABCDEFGH d'arête 1.

Bac scientifique Centres Etrangers Juin 2011 - terminale : image 1

On désigne par I et J les milieux respectifs des arêtes [BC] et [CD].
Soit $M$ un point quelconque du segment [CE].
Dans tout l'exercice, on se place dans le repère orthonormal $\left(\text{A} ; \overrightarrow{\text{AB}},\, \overrightarrow{\text{AD}},\, \overrightarrow{\text{AE}}\right)$ .

1. a) Donner, sans justification, les coordonnées des points C, E, I et J.
    b) Justifier l'existence d'un réel $t$ appartenant à l'intervalle [0 ; 1], tel que les coordonnées du point $M$ soient $(1-t ; 1 - t ; t)$ .

2. a) Démontrer que les points C et E appartiennent au plan médiateur du segment [IJ].
    b) En déduire que le triangle $M$ IJ est un triangle isocèle en $M$ .
    c) Exprimer I $M^2$ en fonction de $t$ .

3. Le but de cette question est de déterminer la position du point $M$ sur le segment [CE] pour laquelle la mesure de l'angle $\widehat{\text{I}M\text{J}}$ est maximale.
On désigne par $\theta$ la mesure en radian de l'angle $\widehat{\text{I}M\text{J}}$ .
    a) En admettant que la mesure $\theta$ appartient à l'intervalle $[0 ; \pi]$ , démontrer que la mesure $\theta$ est maximale lorsque $\sin \left(\dfrac{\theta}{2} \right)$ est maximal.
    b) En déduire que la mesure est maximale lorsque la longueur I $M$ est minimale.
    c) Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ; 1] par : $f(t) = 3t^2 - t + \dfrac{1}{4}$ .
    d) En déduire qu'il existe une unique position $M_{0}$ du point $M$ sur le segment [EC] telle que la mesure de l'angle $\widehat{\text{I}M\text{J}}$ soit maximale.
    e) Démontrer que le point $M_{0}$ est le projeté orthogonal du point I sur le segment [EC].

6 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels par : $f(x) = x\text{e}^{1 - x}\quad \text{et}\quad g(x) = x^2\text{e}^{1 - x}$ . Les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthogonal $(O ; \vec{i},\vec{j})$ sont respectivement notées $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ . leur tracé est donné ci-dessous.

Bac scientifique Centres Etrangers Juin 2011 - terminale : image 2

1. Étude des fonctions $f$ et $g$
    a) Déterminer les limites des fonctions $f$ et $g$ en $- \infty$ .
    b) Justifier le fait que fonctions $f$ et $g$ ont pour limite 0 en $+ \infty$ .
    c) Étudier le sens de variations de chacune des fonctions $f$ et $g$ et dresser leurs tableaux de variations respectifs.

2. Calcul d'intégrales
Pour tout entier naturel $n$ , on définit l'intégrale $I_{n}$ par : $I_{0} = \displaystyle \int_{0}^1 \text{e}^{1 - x}\:\text{d}x \quad \text{et , si }\, n \ge 1,\, I_{n} = \displaystyle \int_{0}^1 x^n\text{e}^{1 - x}\:\text{d}x$ .
    a) Calculer la valeur exacte de $I_{0}$ .
    b) À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel $n$ : $I_{n+1} = - 1 + (n + 1)I_{n}$ .
    c) En déduire la valeur exacte de $I_{1}$ , puis celle de $I_{2}$ .

3. Calcul d'une aire plane
    a) Étudier la position relative des courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ .
    b) On désigne par $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en unité d'aire, de la partie du plan comprise d'une part entre les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ , d'autre part entre les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 1$ .
En exprimant $\mathcal{A}$ comme différence de deux aires que l'on précisera, démontrer l'égalité : $\mathcal{A} = 3 - \text{e}$ .
4. Étude de l'égalité de deux aires
Soit $a$ un réel strictement supérieur à 1.
On désigne par $S(a)$ l'aire, exprimée en unité d'aire, de la partie du plan comprise d'une part entre les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ , d'autre part entre les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = a$ .
On admet que $S(a)$ s'exprime par : $S(a) = 3 - \text{e}^{1 - a}\left(a^2 + a + 1\right)$ . L'objectif de cette question est de prouver qu'il existe une et une seule valeur de $a$ pour laquelle les aires $\mathcal{A}$ et $S(a)$ sont égales.
    a) Démontrer que l'équation $S(a) = \mathcal{A}$ est équivalente à l'équation :
$\text{e}^a = a^2 + a + 1$ .
    b) Dans cette question, toute trace d'argumentation, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Conclure, quant à l'existence et l'unicité du réel $a$ , solution du problème posé.

Correction

exercice 1 - Commun à tous les candidats

1. a)

Bac scientifique Centres Etrangers Juin 2011 - terminale : image 6

1. b)

i	2	3	4	5	6
a_i	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{3}{4}$	$\dfrac{5}{8}$	$\dfrac{11}{16}$	$\dfrac{23}{32}$

1. c) Soit $n\in\mathbb{N}$ . Le point $A_{n+2}$ est le milieu du segment $[A_{n}A_{n+1}]$ donc son abscisse vérifie $a_{n+2}=\dfrac{a_{n}+a_{n+1}}{2}$ .
On a donc montré que $\boxed{\forall\ n\in\mathbb{N}, a_{n+2}=\dfrac{a_{n}+a_{n+2}}{2}}$ .

2. Montrons par récurrence sur $n\in\mathbb{N}$ que $a_{n+1}=-\dfrac{1}{2}\ a_{n}+1$ .
$n=0$ : $a_{1}=1=-\dfrac{1}{2}\times 0+1$ donc la propriété est vérifiée au rang 0.
Soit $n\in\mathbb{N}$ tel que $a_{n+1}=-\dfrac{1}{2}\ a_{n}+1$ .
D'après la question précédente : $a_{n+2}=\dfrac{a_{n}+a_{n+1}}{2}$ . Or, par hypothèse de récurrence, $a_{n}=-2(a_{n+1}-1)=-2a_{n+1}+2$ .
Donc $a_{n+2}=\dfrac{-2a_{n+1}+2+a_{n+1}}{2}=-\dfrac{1}{2}\ a_{n+1}+1$ : la propriété est vérifiée au rang $n+1$ .
D'après le principe de récurrence, $\forall\ n\in\mathbb{N},\ a_{n+1}=-\dfrac{1}{2}\ a_{n}+1$ .

3. Soit $n\in\mathbb{N}$ .
$\begin{array}{rcl} v_{n+1}&=&a_{n+1}-\dfrac{2}{3}\\ &=&-\dfrac{1}{2}\ a_{n}+\dfrac{1}{3}\\ &=&-\dfrac{1}{2}\left(a_{n}-\dfrac{2}{3}\right)\\ &=&-\dfrac{1}{2}\ v_{n} \end{array}$
Ainsi, $\forall\ n\in\mathbb{N},\ v_{n+1}=-\dfrac{1}{2}\ v_{n}$ donc la suite $(v_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ est géométrique de raison $-\dfrac{1}{2}$ .

4. La suite $v$ est géométrique et sa raison est comprise entre -1 et 1, elle converge donc vers 0 : $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}a_{n}-\dfrac{2}{3}=0$ ie. la suite $(a_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $\fbox{\dfrac{2}{3}}$ .

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. Vrai. En effet :
$AB=|b-a|=|3i-(1+i)|=|-1+2i|=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$
$BC=|c-b|=\left|\sqrt{3}+\dfrac{1}{2}+i\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+2\right)-3i\right|=\sqrt{\left(\sqrt{3}+\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-1\right)^{2}} =\sqrt{3+\sqrt{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}-\sqrt{3}+1} =\sqrt{5}$
$AC=|c-a|=\left|\sqrt{3}+\dfrac{1}{2}+i\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+2\right)-(1+i)\right|=\sqrt{\left(\sqrt{3}-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+1\right)^{2}} =\sqrt{3-\sqrt{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}+\sqrt{3}+1}=\sqrt{5}$
Ainsi, AB = BC = AC donc le triangle ABC est équilatéral.

2. Vrai. En effet :
$\dfrac{2i}{\sqrt{3}+i}=\dfrac{2i(\sqrt{3}-i)}{(\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}-i)}=\dfrac{2+2i\sqrt{3}}{3+1}=\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}=e^{i\frac{\pi}{3}}$ .
Ainsi, $f$ a pour écriture complexe $z'=e^{i\frac{\pi}{3}}z$ : c'est donc la rotation de centre O et d'angle de mesure $\dfrac{\pi}{3}$ .

3. Faux. En effet :
$(-\sqrt{3}+i)^{2011}=(2(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i))^{2011}=(2e^{5i\frac{\pi}{6}})^{2011}=2^{2011}e^{10055i\frac{\pi}{6}}=2^{2011}e^{-i\frac{\pi}{6}}$
donc $Arg\ a\not\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [\pi]$ donc $a$ n'est pas imaginaire pur.

4. Vrai. C'est la propriété de "durée de vie sans vieillissement" : $P_{X\ge2}(X\le3)=P(X\le1)=1-e^{-\lambda}$ .

5. Vrai. En effet, la variable aléatoire $X$ comptant le nombre de boules noires tirées suit une loi binomiale de paramètres $\left(10,\dfrac{n-5}{n}\right)$ (le succès de chaque expérience est de tirer une boule noire, la probabilité de cet évènement étant $\dfrac{n-5}{n}=1-\dfrac{5}{n}$ ). Ainsi,
$\begin{array}{rcl} P(X\ge1)\ge0,9999&\Longleftrightarrow&1-P(X=0)\ge0,9999\\ &\Longleftrightarrow&1-\begin{pmatrix}10\\0\end{pmatrix}\left(1-\dfrac{5}{n}\right)^{0}\left(\dfrac{5}{n}\right)^{10} \ge0,9999\\ &\Longleftrightarrow&\dfrac{5^{10}}{n^{10}}\le0,0001\\ &\Longleftrightarrow&n^{10}\ge\dfrac{5^{10}}{0,0001}\\ &\Longleftrightarrow&n\ge\dfrac{5}{\sqrt[10]{0,0001}}\ \mathrm{car}\ \sqrt[10]{\cdot}\ \mathrm{est\ croissante\ sur }\ \mathbb{R}^{+}\\ &\Longleftrightarrow&n\ge13 \end{array}$

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. Faux. En effet, le couple (9 ; -1) est solution de $(E)$ mais ne s'écrit pas sous la forme voulue.

2. Faux. En effet,
$\begin{array}{rcl} 11^{2012}&\equiv&4^{2012}\ [7]\\ &\equiv&4^{670\times3+2}\ [7]\\ &\equiv&(4^{3})^{670}\times4^{2}\ [7]\\ &\equiv&1^{670}\times16\ [7]\\ &\equiv&2\ [7] \end{array}$

3. Faux. En effet : la similitude directe de centre A, de rapport $\sqrt{2}$ et d'angle $-\dfrac{\pi}{2}$ a pour écriture réduite $z'-a=\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{2}}(z-a)$ .
L'image du point $b$ a donc pour affixe $b'$ telle que :
$\begin{array}{rcl} b'&=&a+\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{2}}(b-a)\\ &=&1+i+\sqrt{2}(-i)(3i-(1+i))\\ &=&1+i-i\sqrt{2}(-1+2i)\\ &=&1+2\sqrt{2}+i(1+\sqrt{2}) \end{array}$

4.Vrai. En effet :
$\begin{array}{rcl} f(a)&=&\left(-\dfrac{3}{5}-\dfrac{4}{5}i \right)(1-i)+\dfrac{12}{5}+\dfrac{6}{5}i\\\\ &=&-\dfrac{3}{5}-\dfrac{4}{5}+i\left(\dfrac{3}{5}-\dfrac{4}{5}\right)+\dfrac{12}{5}+\dfrac{6}{5}i\\\\ &=&1+i\\ &=&a \end{array}$
$\begin{array}{rcl} f(b)&=&\left(-\dfrac{3}{5}-\dfrac{4}{5}i\right)(2+i)+\dfrac{12}{5}+\dfrac{6}{5}i\\\\ &=&-\dfrac{6}{5}+\dfrac{4}{5}+i\left(-\dfrac{3}{5}-\dfrac{8}{5}\right)+\dfrac{12}{5}+\dfrac{6}{5}i\\\\ &=&2-i\\ &=&b \end{array}$
Ainsi $f$ est une similitude laissant invariants les deux points $A$ et $B$ . De plus, $f(0)\neq 0$ : $f$ n'est pas l'identité du plan. Donc $f$ est la réflexion d'axe $(AB)$ .

5. Vrai. Notons $\mathcal{P}:z=0$ .
$M(x,y,z)\in\mathcal{S}\cap\mathcal{P}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}{l}z=0\\4xy=0\end{array}\right.$ ie. $\left\lbrace\begin{array}{l}x=0\\z=0\end{array}\right.$ ou $\left\lbrace\begin{array}{l}y=0 \\z=0\end{array}\right.$ ie. $M\in(Oy)$ ou $M\in(Ox)$ .
Ainsi, $\mathcal{P}\cap\mathcal{S}=(Ox)\cup(Oy)$

exercice 3 - Commun à tous les candidats

1. a) $C(1;1;0)\ ;\ E(0;0;1)\ ;\ I \left(1;\dfrac{1}{2};0 \right)\ ;\ J \left(\dfrac{1}{2};1;0 \right).$

1. b) $M(x,y,z)\in[CE]$ donc il existe $t\in[0,1]$ tel que $\overrightarrow{CM}=t\overrightarrow{CE}$ ie. $\left\lbrace\begin{array}{l}x-1=-t\\y-1=-t\\z=t\end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{l}x=1-t\\y=1-t\\z=t\end{array}\right.$
On a donc montré qu'il existe $t\in[0;1]$ tel que M a pour coordonnées $(1-t,1-t,t)$ .

2. a) $CI=\sqrt{(1-1)^{2}+ \left(\dfrac{1}{2}-1 \right)^{2}+0} = \dfrac{1}{2}$ et $CJ=\sqrt{ \left(\dfrac{1}{2}-1 \right)^{2}+(1-1)^{2}+0}=\dfrac{1}{2}$
$EI=\sqrt{1+ \left(\dfrac{1}{2} \right)^{2}+(-1)^{2}}=\dfrac{3}{2}$ et $EJ=\sqrt{ \left(\dfrac{1}{2} \right)^{2}+1+(-1)^{2}} = \dfrac{3}{2}$
Ainsi, CI = CJ et EI = EJ donc les points C et E appartiennent au plan médiateur du segment [IJ].

2. b) Comme C et E appartiennent au plan médiateur du segment [IJ], le segment [CE] est inclus dans ce plan. En particulier, M[ appartient à ce plan ie. MI = MJ ie. le triangle MIJ est isocèle en M.

2. c) $IM^{2}=((1-t)-1)^{2}+ \left((1-t)-\dfrac{1}{2} \right)^{2}+t^{2}=2t^{2}+ \left(\dfrac{1}{2}-t \right)^{2}=3t^{2}-t+\frac{1}{4}$

3. a) La fonction $\theta\mapsto\sin \left(\dfrac{\theta}{2} \right)$ est strictement croissante sur $[0 ; \pi]$ donc $\theta$ est maximal lorsque $\sin \left(\dfrac{\theta}{2} \right)$ est maximal.

3. b) Notons H le milieu du segment IJ. Comme M appartient au plan médiateur, on est dans la situation suivante :

Bac scientifique Centres Etrangers Juin 2011 - terminale : image 3

Ainsi, $\sin \left(\dfrac{\theta}{2}\right)=\dfrac{HI}{IM}$ donc $\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right)$ est maximal lorsque IM est minimal ie., par question précédente, $\theta$ est maximal lorsque IM est minimal.

3. c) On pourrait dériver la fonction et tracer son tableau de variations. Ici, comme la fonction est une fonction trinôme du second degré, les variations sont immédiates : le coefficient en $x^{2}$ étant positif, la fonction est décroissante puis croissante. Le minimum étant atteint en $\dfrac{-(-1)}{2\times3}=\dfrac{1}{6}$ (cf. coordonnées du sommet de la parabole.)

3. d) D'après la question 2.c) $IM^{2}=f(t)$ donc, par croissance de la fonction $\sqrt{\cdot}$ sur [0 ; 1], IM est minimale lorsque $f$ est minimale ie. pour $t=\dfrac{1}{6}$ . Ainsi, d'après la question 3.b), $\theta$ est maximal pour $t=\dfrac{1}{6}$ .
On a donc montré qu'il existe une unique position du point M pour laquelle $\theta$ est maximal.

3. e) $M_{0}$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{5}{6} ; \dfrac{5}{6} ; \dfrac{1}{6} \right)$ donc le vecteur $\overrightarrow{IM_{0}}$ a pour coordonnées $\left(-\dfrac{1}{6} ; \dfrac{1}{3} ; \dfrac{1}{6}\right).$ Le vecteur $\overrightarrow{CE}$ a pour coordonnées (-1 ; -1 ; 1).
$\overrightarrow{IM_{0}}\cdot\overrightarrow{EC}= \left(-\dfrac{1}{6} \right) \times (-1) + \dfrac{1}{3} \times (-1) + \dfrac{1}{6} = 0.$
Ainsi, $\left\lbrace\begin{array}{l}\overrightarrow{IM_{0}}\perp\overrightarrow{CE}\\M_{0}\in[CE]\end{array}\right.$ donc M₀ est le projeté orthogonal de I sur [EC].

exercice 4 - Commun à tous les candidats

1. a) Par produit, on a :
$\left.\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x=-\infty\\\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^{1-x}=+\infty \end{array}\right\rbrace\displaystyle\ \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$ .
$\left.\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^{2}=+\infty\\\displaystyle\lim_{x\to-\infyt}e^{1-x}=+\infty \end{array}\right\rbrace\displaystyle\ \lim_{x\to-\infty}g(x)=+\infty$ .

1. b) D'après l'étude des croissances comparées, on sait que $\forall\ n\in\mathbb{N},\ \displaystyle \lim_{x\to+\infty}x^{n}e^{-x}=0$ donc $f$ et $g$ ont 0 pour limite.

1. c) Étudions les variations de $f$ .
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de fonctions dérivables et $\forall\ x\in\mathbb{R},\ f'(x)=(1-x)e^{1-x}$ . Pour $x\in\mathbb{R}$ ,
$f'(x)\ge0\Longleftrightarrow x\le1\\ f'(x)\le0\Longleftrigharrow x\ge1$
On peut donc dresser le tableau de variations de $f$ :

Bac scientifique Centres Etrangers Juin 2011 - terminale : image 5

Étudions les variations de $g$ .
$g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de fonctions dérivables et $\forall\ x\in\mathbb{R},\ g'(x)=xe^{1-x}(2-x)$ . Pour $x\in\mathbb{R}$ ,
$g'(x)\ge0\Longleftrightarrow x\in[0,2]\\ g'(x)\le0\Longleftrightarrow x\in]-\infty,0]\cup[2,+\infty[$
On peut donc dresser le tableau de variations de $g$ :

Bac scientifique Centres Etrangers Juin 2011 - terminale : image 4

2. a) $I_{0}=\displaystyle\int_{0}^{1}e^{1-x}=[-e^{1-x}]_{0}^{1}=e-1$

2. b) Soit $n\in\mathbb{N}$ . Par théorème d'intégration par parties,
$\begin{array}{rcl} I_{n+1}&=&\displaystyle\int_{0}^{1}x^{n+1}e^{1-x}dx\\ &=&\displaystyle[x^{n+1}\times(-e^{1-x})]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}(n+1)x^{n}\times(-e^{1-x})dx\\ &=&-1+(n+1)I_{n} \end{array}$
On a donc montré que $\fbox{\forall\ n\in\N,\ I_{n+1}=-1+(n+1)I_{n}}$

2. c) On en déduit $\fbox{I_{1}=e-2}$ et $\fbox{I_{2}=2e-5}$

3. a) Soit $x\in\mathbb{R}$ .
$f(x)\le g(x)\Longleftrightarrow xe^{1-x}\le x^{2}e^{1-x}\Longleftrightarrow x\le x^{2}\Longleftrightarrow x\in]- \infty,0]\cup[1,+\infty[$
$f(x)\ge g(x)\Longleftrightarrow x\in[0,1]$
Ainsi, $\mathcal{C}$ est au-dessus de $\mathcal{C}$ pour $0\le x\le 1$ , $\mathcal{C}$ est en dessous de $\mathcal{C}'$ pour $x\in\mathbb{R}\backslash[0,1]$

3. b) $\mathcal{A}$ correspond à la différence de l'aire sous la courbe $\mathcal{C}$ et de celle sous la courbe $\mathcal{C}'$ donc $\mathcal{A}=I_{1}-I_{2}=3-e$
On a donc montré que $\mathcal{A}=3-e$ .

4. a) $\mathcal{S}(a)=\mathcal{A}\Longleftrightarrow&3-e^{1-a}(a^{2}+a+1)=3-e\Longleftrightarrow e^{a}=a^{2}+a+1$

4. b) Étudions la fonction $h:x\longmapsto e^{x}-(x^{2}+x+1)$ sur $]1,+\infty[$ pour montrer qu'il existe un unique $a>1$ tel que $h(a)=0$ .
$h$ est dérivable sur $]1,+\infty[$ comme somme de fonctions dérivables et $\forall\ x>1,\ h'(x)=e^{x}-2x-1$

Déterminons le signe de $h'$ :
$h'$ est dérivable sur $]1,+\infty$ et $\forall\ x>1,\ h''(x)=e^{x}-2$ . Pour $x>1,\ h''(x)>0$ donc $h'$ est strictement croissante sur $[1,+\infty[$
Ainsi, $h'$ est continue sur l'intervalle $]1,+\infty[$ , strictement croissante sur cet intervalle et $0\in[\displaystyle\lim_{x\to1}h'(x),\lim_{x\to+\infty}h'(x)[=[3-e,+\infty[$ donc par théorème de la bijection, il existe un unique $\alpha>1$ tel que $h'(\alpha)=0$ .
Ainsi, on a, pour $x>1$ , $h'(x)\le0\Longleftrightarrow x\le\alpha$ et $h'(x)\ge0\Longleftrightarrow x\ge\alpha$ . On en déduit les variations de $h$ : $h$ est décroissante sur $]1,\alpha]$ et croissante sur $[\alpha,+\infty[$ .
On a donc $\forall\ x\in]1,\alpha],\ h(x)\le \displaystyle \lim_{x\to1} h(x)=3-e<0$ donc l'équation $h(x)=0$ n'a pas de solution sur l'intervalle $]1,\alpha]$ .
$h$ est continue et strictement croissante sur l'intervalle $]\alpha,+\infty[$ . De plus, $h(\alpha)<0< \displaystyle \lim_{x\to+\infty}h(x)=+\infty$ donc par théorème de la bijection, il existe un unique $a\in]\alpha,+\infty[\subset]1,+\infty[$ tel que $h(a)=0$ ie. $\fbox{e^{a}=a^{2}+a+1}$ .

Publié par TP/david9333 le 30-12-2013

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