Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Général
Session Juin 2011 - Métropole
Série Scientifique

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.
Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation des copies.

4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Les deux parties A et B peuvent être traitées indépendamment.
Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à 10^-4.

Dans un pays, il y a 2 % de la population contaminée par un virus.

Partie A

On dispose d'un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes :
La probabilité qu'une personne contaminée ait un test positif est de 0,99 (sensibilité du test).
La probabilité qu'une personne non contaminée ait un test négatif est de 0,97 (spécificité du test).

On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population.
On note V l'évènement «la personne est contaminée par le virus» et T l'évènement «le test est positif».
$\overline{V}$ et $\overline{T}$ désignent respectivement les évènements contraires de V et T.

1. a) Préciser les valeurs des probabilités $P(V)$ , $P_V(T)$ , $P_{\overline{V}} \left(\overline{T}\right)$ .
Traduire la situation à l'aide d'un arbre de probabilités.
b) En déduire la probabilité de l'évènement $V\cap T$ .

2. Démontrer que la probabilité que le test soit positif est 0,0492.

3. a) Justifier par un calcul la phrase :
«Si le test est positif, il n'y a qu'environ 40 % de "chances" que la personne soit contaminée».
b) Déterminer la probabilité qu'une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif.

Partie B

On choisit successivement 10 personnes de la population au hasard, on considère que les tirages sont indépendants.
On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus parmi ces 10 personnes.

1. Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.

2. Calculer la probabilité qu'il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les 10.

4 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie. Chaque réponse exacte rapporte un point. Aucune justification n'est demandée. Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse ou en cas de réponse fausse.

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct $(O;\vec{u},\vec{v})$ .
On désigne par A, B, C, D les points d'affixes respectives $z_A=1$ , $z_B=i$ , $z_C=-1$ , $z_D=-i$ .

1. L'image E du point D par la rotation de centre A et d'angle $\frac{\pi}{3}$ a pour affixe :
    $\displaystyle z_E=\frac{1+\sqrt{3}}{2}(1+i)$ ,
    $\displaystyle z_E=\frac{1+\sqrt{3}}{2}(1-i)$ ,
    $\displaystyle z_E=\frac{1-\sqrt{3}}{2}(1-i)$ ,
    $\displaystyle z_E=\frac{1-\sqrt{3}}{2}(1+i)$ .

2. L'ensemble des points d'affixe $z$ telle que $|z+i|=|z-1|$ est :
    la médiatrice du segment $[BC]$ ,
    le milieu du segment $[BC]$ ,
    le cercle de centre $O$ et de rayon 1,
    la médiatrice du segment $[AD]$ .

3. L'ensemble des points d'affixe $z$ telle que $\displaystyle\frac{z+i}{z+1}$ soit un imaginaire pur est :
    la droite $(CD)$ privée du point $C$ ,
    le cercle de diamètre $[CD]$ privé du point $C$ ,
    le cercle de diamètre $[BD]$ privé du point $C$ ,

    la médiatrice du segment $[AB]$ .

4. L'ensemble des points d'affixe $z$ telle que $\displaystyle\arg(z-i)=-\frac{\pi}{2}+2k\pi$ où $k\in\mathbb{Z}$ est :
    le demi-cercle de diamètre $[BD$ ] passant par $A$ ,
    la droite $(BD)$ ,
    la demi-droite $]BD)$ d'origine $B$ passant par $D$ privée de $B$ ,
    le cercle de diamètre $[BD]$ privé de $B$ et $D$ .

7 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on désigne par $f_n$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f_n(x)=x^n{\rm e}^{-x}$ .
On note $\mathscr{C}_n$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $(O;\vec{i},\vec{j})$ du plan.

Partie A

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté une courbe $\mathscr{C}_k$ où k est un entier naturel non nul, sa tangente $T_k$ au point d'abscisse 1 et la courbe $\mathscr{C}_3$ .

La droite $T_k$ coupe l'axe des abscisses au point A de coordonnées $\displaystyle\left(\frac{4}{5},0\right)$ .

Bac scientifique Métropole Juin 2011 - terminale : image 1

1. a) Déterminer les limites de la fonction $f_1$ en $-\infty$ et en $+\infty$ .
    b) Étudier les variations de la fonction $f_1$ et dresser le tableau de variations de $f_1$ .
    c) À l'aide du graphique, justifier que k est un entier supérieur ou égal à 2.

2. a) Démontrer que pour $n \ge 1$ , toutes les courbes $\mathscr{C}_n$ passent par le point O et un autre point dont on donnera les coordonnées.
    b) Vérifier que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, et pour tout réel x, $f_n'(x)=x^{n-1}(n-x){\rm e}^{-x}$ .
3. Sur le graphique, la fonction $f_3$ semble admettre un maximum atteint pour $x=3$ .
Valider cette conjecture à l'aide d'une démonstration.

4. a) Démontrer que la droite $T_k$ coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées $\displaystyle\left(\frac{k-2}{k-1},0\right)$ .
    b) En déduire, à l'aide des données de l'énoncé, la valeur de l'entier k.

Partie B

On désigne par $(I_n)$ la suite définie pour tout entier n supérieur ou égal à 1 par $\displaystyle I_n=\int_0^1 x^n{\rm e}^{-x}{\rm d}x$ .
1. Calculer $I_1$ .

2. Dans cette question, toute trace de recherche ou d'initiative, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les portions des courbes $\mathscr{C}_1$ , $\mathscr{C}_2$ , $\mathscr{C}_3$ , $\mathscr{C}_{10}$ , $\mathscr{C}_{20}$ , $\mathscr{C}_{30}$ comprises dans la bande définie par $0 \le x \le 1$ .

Bac scientifique Métropole Juin 2011 - terminale : image 2

    a) Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite $(I_n)$ en décrivant sa démarche.
    b) Démontrer cette conjecture.
    c) En déduire que la suite $(I_n)$ est convergente.
    d) Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_n$ .

5 points

exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

L'espace est muni d'un repère orthogonal $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ .

Partie A - Restitution organisée de connaissances

On désigne par $\mathscr{P}$ le plan d'équation $ax+by+cz+d=0$ et par $M_0$ le point de coordonnées $(x_0,y_0,z_0)$ . On appelle H le projeté orthogonal du point $M_0$ sur le plan $\mathscr{P}$ .

On suppose connue la propriété suivante.

Propriété :

Le vecteur $\overrightarrow{n}=a\overrightarrow{i}+b\overrightarrow{j}+c\overrightarrow{k}$ est un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$ .

Le but de cette partie est de démontrer que la distance $d(M_0,\mathscr{P})$ du point $M_0$ au plan $\mathscr{P}$ , c'est-à-dire la distance $M_0H$ , est telle que $\displaystyle d(M_0,\mathscr{P})=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ .
1. Justifier que $\left|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{M_0H}\right|=M_0H\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ .

2. Démontrer que $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{M_0H}=-ax_0-by_0-cz_0-d$ .

3. Conclure.

Partie B

On désigne par A, B, C, F les points de coordonnées respectives $(4,1,5)$ , $(-3,2,0)$ , $(1,3,6)$ , $(-7,0,4)$ .

1. a) Démontrer que les points A, B, C définissent un plan $\mathscr{P}$ et que ce plan a pour équation cartésienne $x+2y-z-1=0$ .
    b) Déterminer la distance d du point F au plan $\mathscr{P}$ .

2. Le but de cette question est de calculer la distance d par une autre méthode.
On appelle $\Delta$ la droite qui passe par le point F et qui est perpendiculaire au plan $\mathscr{P}$ .
    a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ .
    b) Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point F sur le plan $\mathscr{P}$ .
    c) Retrouver le résultat de la question 1. b).

3. Soit $\mathscr{S}$ la sphère de centre F et de rayon 6.
    a) Justifier que le point B appartient à la sphère $\mathscr{S}$ .
    b) Préciser le centre et déterminer le rayon du cercle $\mathscr{C}$ , intersection de la sphère $\mathscr{S}$ et du plan $\mathscr{P}$ .

5 points

exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A - Restitution organisée de connaissances

On rappelle ci-dessous le théorème de Bézout et le théorème de Gauss.

Théorème de Bézout :

Deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si et seulement si, il existe un couple (u,v) d'entiers relatifs vérifiant au+bv=1.

Théorème de Gauss :

Soit a, b, c des entiers relatifs.
Si a divise le produit bc et si a et b sont premiers entre eux, alors a divise c.

1. En utilisant le théorème de Bézout, démontrer le théorème de Gauss.

2. Soient p et q deux entiers naturels tels que p et q sont premiers entre eux.
Déduire du théorème de Gauss que, si a est un entier relatif, tel que $a\equiv 0\,[p]$ et $a\equiv 0\,[q]$ , alors $a\equiv 0\,[pq]$ .

Partie B

On se propose de déterminer l'ensemble $\mathscr{S}$ des entiers relatifs n vérifiant le système : $\displaystyle\left\lbrace \begin{array}{l} n\equiv 9\,[17]\\ n\equiv 3\,[5]\end{array}\right.$
1. Recherche d'un élément de $\mathscr{S}$
On désigne par (u,v) un couple d'entiers relatifs tel que $17u+5v=1$ .
    a) Justifier l'existence d'un tel couple (u,v).
    b) On pose $n_0=3\times17u+9\times5v$ .
Démontrer que $n_0$ appartient à $\mathscr{S}$ .
    c) Donner un exemple d'entier $n_0$ appartenant à $\mathscr{S}$ .

2. Caractérisation des éléments de $\mathscr{S}$
    a) Soit n un entier relatif appartenant à $\mathscr{S}$ .
Démontrer que $n-n_0\equiv 0\,[85]$ .
    b) En déduire qu'un entier relatif n appartient à $\mathscr{S}$ si et seulement si n peut s'écrire sous la forme $n=43+85k$ où k est un entier relatif.

3. Application
Zoé sait qu'elle a entre 300 et 400 jetons. Si elle fait des tas de 17 jetons, il lui en reste 9. Si elle fait des tas de 5 jetons, il lui en reste 3.
Combien a-t-elle de jetons ?

Correction

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Partie A

1. a) L'énoncé indique que 2% de la population est contaminée donc $\fbox{\ensuremath{P(V)=0,02}}$ . De plus, il donne $\fbox{\ensuremath{P_{V}(T)=0,99}}$ et $\fbox{\ensuremath{P_{\overline{V}}(\overline{T})=0,97}}$ .
On peut donc dresser l'arbre de probabilités suivant ( $P(\overline{V})=1-P(V),\ P_V(\overline{T})=1-P_V(T),\ P_{\overline{V}}(T)=1-P_{\overline{V}}(\overline{T})$ ) :

Bac scientifique Métropole Juin 2011 - terminale : image 4

1. b) Ainsi, $P(V\cap T)=P(V)\times P_V(T)=0,02\times0,99$ donc $\fbox{\ensuremath{P(V\cap T)=0,0198}}$ .

2. D'après la loi des probabilités totales : $P(T)=P(V\cap T)+P(\overline{V}\cap T)=P(V\cap T)+P(\overline{V})\times P_{\overline{V}}(T)=0,0198+0,98\times0,03$ donc $\fbox{\ensuremath{P(T)=0,0492}}$ .

3. a) La phrase exprime la probabilité conditionnelle $P_{T}(V)$ qui s'écrit $P_{T}(V)=\cfrac{P(V\cap T)}{P(T)}=0,4024$ donc, si le test est positif, il n'y a qu'environ 40% de "chances" que la personne soit contaminée.

3. b) La probabilité qu'une personne ayant un test négatif ne soit pas contaminée s'écrit $P_{\overline{T}}(\overline{V})=\cfrac{P(\overline{V} \cap \overline{T})}{P(\overline{T})}=\cfrac{P(\overline{V})\times P_{\overline{V}}(\overline{T})}{1-P(T)}=\cfrac{0,98\times0,97}{1-0,0492}$ donc $\fbox{\ensuremath{P_{\overline{T}}(\overline{V})=0,9998}}$ .

Partie B

1. L'expérience consistant à choisir une personne au hasard suit un schéma de Bernoulli de succès "la personne est contaminée" de probabilité $p=0,02$ et d'échec "la personne n'est pas contaminée" de probabilité $q=1-p=0,98$ . On répète cette expérience dix fois donc $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de succès suit une loi binomiale $\fbox{\ensuremath{\mathcal{B}(10;0,02)}}$ .

2. La condition $X\ge2$ est équivalente à ( $X\neq0$ et $X\neq1$ ) donc $P(X\ge2)=1-(P(X=0)+P(X=1))=1-\begin{pmatrix}10\\0\end{pmatrix}\times0,02^0\times0,98^10-\begin{pmatrix}10\\1\end{pmatrix}\times0,02^1\times0,98^9$ donc la probabilité qu'il y ait au moins deux personnes contaminées est $\fbox{0,0162}$ .

exercice 2 - Commun à tous les candidats

Les justifications ne sont pas demandées, on les donne ici à titre informatif.

Bac scientifique Métropole Juin 2011 - terminale : image 5

1. $\fbox{\ensuremath{z_E=\cfrac{1+\sqrt{3}}{2}(1-i)}}$ .
En effet, l'image E du point D par la rotation de centre A et d'angle de mesure $\cfrac{\pi}{3}$ a pour affixe
$z_E=e^{i\frac{\pi}{3}}(z_D-z_A)+z_A=\left(\cfrac{1}{2}+i\cfrac{\sqrt{3}}{2}\right)(-i-1)+1=-\cfrac{i}{2}-\cfrac{1}{2}-i^2\cfrac{\sqrt{3}}{2}-i\cfrac{\sqrt{3}}{2}+1=\cfrac{1+\sqrt{3}}{2}(1-i)$ .

2. La médiatrice du segment [AD] et la médiatrice du segment [BC].
En effet, l'ensemble des points d'affixes $z\in\mathbb{C}$ telle que $|z+i|=|z-1|$ ie. $|z-z_D|=|z-z_A|$ est l'ensemble des points à égale distance de A et D ie. la médiatrice du segment [AD].
De plus, comme ABCD est un carré, c'est aussi la médiatrice du segment [BC].

3. Le cercle de diamètre [CD] privé du point C. Une des quatre réponses devant être juste, procédons par élimination :
$\bullet$ $\cfrac{-i+i}{-i+1}=0\in i\mathbb{R}$ donc D appartient à l'ensemble considéré. Comme D n'appartient pas à la médiatrice du segment [AB], (car $|z_D-z_A|=\sqrt{2}\neq2=|z_D-z_B|$ ), l'ensemble cherché 'est pas la médiatrice du segment [AB].
$\bullet$ Le point O d'affixe 0 appartient à l'ensemble considéré mais n'appartient pas à la droite (CD) donc la droite (CD) privée du point C n'est pas l'ensemble considéré.
$\bullet$ Le point A appartient au cercle de diamètre [BD] privé du point C mais n'appartient pas à l'ensemble donc l'ensemble considéré n'est pas le cercle de diamètre [BD] privé du point C.
Par élimination, l'ensemble considéré est le cercle de diamètre [CD] privé du point C. On pourrait au moins vérifier l'inclusion du cercle dans l'ensemble : soit $M(z)$ un point du cercle de diamètre [CD] privé de C. Il existe $\theta\in\mathbb{R}$ tel que $z=-\cfrac{1}{2}-\cfrac{i}{2}+\cfrac{\sqrt{2}}{2}e^{i\theta}$ et (le détail des calculs étant laissé au lecteur) $\cfrac{z+i}{z+1}=\cfrac{i\sqrt{2}(\cos\theta+\sin\theta)}{2+\sqrt{2}(\cos\theta-\sin\theta)}\in i\mathbb{R}$ .

4. La demi-droite ]BD).
En effet, les nombres complexes de même argument modulo $2\pi$ sont situés sur la même demi-droite (faire un dessin pour s'en convaincre) d'origine O. Ainsi, les points d'affixe $z-i$ sont sur la demi-droite $]O,D)$ (car leur argument vaut $-\frac{\pi}{2}$ ). Par translation de $i$ , l'ensemble des points d'affixe $z$ vérifiant la relation est la demi-droite $]B,D)$ .

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Partie A

1. a) $(\forall x\in\mathbb{R})\ f_1(x)=xe^{-x}=\cfrac{x}{e^x}$
Déterminons la limite de $f_1$ en $-\infty$ :
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}-x=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$ donc d'après le théorème de composition : $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^{-x}=+\infty$ . Alors, $\fbox{\ensuremath{\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f_1(x)=\lim_{x\to-\infty}xe^{-x}=-\infty}}$ .
Déterminons la limite de $f_1$ en $+\infty$ :
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f_1(x)=\lim_{x\to+\infty}\cfrac{x}{e^x}=\lim_{x\to+\infty}\cfrac{1}{\frac{e^x}{x}}$ donc, par croissances comparées, $\fbox{\ensuremath{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f_1(x)=0}}$

1. b) $f_1$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de fonctions dérivables sur cet intervalle et $(\forall x\in\mathbb{R})\ f_1'(x)=e^{-x}-xe^{-x}=e^{-x}(1-x)$ .
Or $(\forall x\in\mathbb{R})\ e^{-x}>0$ et $1-x\ge0\Longleftrightarrow x\le 1$ . Donc $f_1'(x)\ge0\Longleftrightarrow x\le1$ donc $f_1$ est croissante sur $]-\infty,1]$ et décroissante sur $[1,+\infty[$ .
On peut dresser le tableau de variations de f :

Bac scientifique Métropole Juin 2011 - terminale : image 3

1. c) $k\in\mathbb{N}^*$ mais $k\neq1$ car $f_k$ est croissante sur un intervalle différent de $]-\infty,1]$ sur lequel $f_1$ est croissante. Ainsi, $\fbox{\ensuremath{k\ge2}}$ .

2. a) $(\forall n\ge1)\ f_n(0)=0$ et $f_n(1)=\cfrac{1}{e}$ donc toutes les courbes $C_n$ passent par le point O et le point de coordonnées $\left(1, \dfrac{1}{e} \right)$ .

2. b) Soit $n \ge 2$ . $f_n$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de fonctions dérivables sur cet intervalle et $(\forall x\in\mathbb{R})\ f_n'(x)=nx^{n-1}e^{-x}-x^ne^{-x}$ .
Ainsi, $\fbox{(\forall n\ge2)(\forall x\in\mathbb{R})\ f_n'(x)=x^{n-1}(n-x)e^{-x}}$ .

3. D'après la question précédente, $f_3$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(\forall x\in\mathbb{R})\ f_3'(x)=x^2(3-x)e^{-x}$ .
Or $(\forall x\in\mathbb{R})\ x^2,e^{-x}\ge0$ et $3-x\ge0\Longleftrightarrow x\le3$ donc $f_3'(x)\ge0\Longleftrightarrow x\le3$ . $f_3$ est donc croissante sur $]-\infty,3]$ et décroissante sur $[3,+\infty[$ : elle admet bien un maximum atteint pour $x=3$ .

4. a) La tangente $T_k$ a pour équation $y=f_k'(1)(x-1)+f_k(1)$ (et existe bien d'après la question 2.b) soit $y=\cfrac{k-1}{e}(x-1)+ \cfrac{1}{e}$ .
Par conséquent, le point d'abscisse $\cfrac{k-2}{k-1}$ a pour ordonnée $y=\cfrac{k-1}{e}\left(\cfrac{k-2}{k-1}-1\right)+\cfrac{1}{e}=\cfrac{k-2}{e}- \cfrac{k-1}{e}+\cfrac{1}{e}=0$ donc $T_k$ coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées $\left(\cfrac{k-2}{k-1},0\right)$ .

4. b) On sait que $T_k$ coupe l'axe des abscisses au point $A\left(\cfrac{4}{5},0\right)$ donc $\cfrac{k-2}{k-1}=\cfrac{4}{5}$ ie. $4k-4=5k-10$ ie. $\fbox{\ensuremath{k=6}}$ .

Partie B

1. Par définition $I_1=\displaystyle\int_0^1xe^{-x}dx$ .
Posons $u$ et $v$ telles que $(\forall x\in\mathbb{R})\ u(x)=-e^{-x}$ et $v(x)=x$ de sorte que $(\forall x\in\mathbb{R}) u'(x)= e^{-x}$ et $v'(x)=1$ . $u$ et $v$ sont dérivables et de dérivée continue sur $[0,1]$ donc d'après le théorème d'intégration par parties, $\displaystyle\int_0^1u'(x)v(x)dx=\left[u(x)v(x)\right]_0^1-\int_0^1u(x)v'(x)dx$ .
Ainsi $I_1=\left[-xe^{-x}\right]_0^1-\displaystyle\int_0^1-e^{-x}dx=-e^{-1}-0-\left[e^{-x}\right]_0^1=\cfrac{-1}{e}-\left(\cfrac{1}{e}-1\right)$ d'où $\fbox{\ensuremath{I_1=1-\cfrac{2}{e}}}$ .

2. a) On lit graphiquement que l'aire entre les droites $(Ox),\ x=1,\ (Oy)$ et la courbe $C_n$ décroît quand $n$ augmente. On peut donc conjecturer que la suite $(I_n)_{n\in\mathbb{N^*}}$ , représentant cette aire, décroît.

2. b) $I_{n+1}-I_n=\displaystyle\int_0^1x^{n+1}e^{-x}dx-\int_0^1x^ne^{-x}dx=\int_0^1(x^{n+1}-x^n)e^{-x}dx$ par linéarité de l'intégrale.
Or $(\forall x\in[0,1])\ x^{n+1}\le x^n$ donc $(\forall x\in[0,1])\ (x^{n+1}-x^n)e^{-x}\le0$ donc, par positivité de l'intégrale, $I_{n+1}-I_n\le0$ . Ainsi, $(\forall n\in\mathbb{N}^*)\ I_{n+1}\le I_n$ donc la suite $(I_n)_{n\ge1}$ est décroissante.

2. c) Soit $n\ge1$ . $(\forall x\in[0,1])\ f_n(x)\ge0$ donc, par positivité de l'intégrale, $I_n\ge0$ . Ainsi $(\forall n\ge1)\ I_n\ge 0$ donc $(I_n)_{n\ge1}$ est minorée.
Or on a vu que $(I_n)$ était décroissante, donc d'après le théorème de convergence monotone, $(I_n)$ converge vers un réel $\ell$ .

2. d) Soit $n\ge1$ .
Pour $x\in[0,1],\ 0\le xe^{-x}\le x$ donc $0\le x^ne^{-x}\le x^n$ car $x\ge0$ . Ainsi, $(\forall x\in[0,1])\ 0\le x^ne^{-x}\le x^n$ donc, par croissance de l'intégrale, $\displaystyle\int_0^10dx\le\int_0^1x^ne^{-x}dx\le\int_0^1x^ndx$ soit $0\le I_n\le\left[\cfrac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^1$ ie. $0\le I_n\le\cfrac{1}{n+1}$ .
Ainsi, $(\forall n\in\mathbb{N}^{*})\ 0\le I_n\le\cfrac{1}{n+1}$ donc en passant à la limite, $0\le \ell \le 0$ donc $\fbox{\ensuremath{\ell=\displaystyle \lim_{n\to+\infty}I_n=0}}$ .

exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Partie A - Restitution organisée de connaissances

1. Par définition du produit scalaire : $|\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{M_0H}|=||\overrightarrow{n}||\times||\overrightarrow{M_0H}||\times |\cos(\theta)|$ où $\theta$ est une mesure de l'angle $(\widehat{\overrightarrow{n},\overrightarrow{M_0H}})$ . Or $\overrightarrow{M_0H} \bot P$ par définition donc $\overrightarrow{M_0H}$ et $\overrightarrow{n}$ sont colinéaires donc $\theta\equiv\pm\pi\ [2\pi]$ donc $|\cos\theta|=1$ . Alors, $\fbox{\ensuremath{\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{M_0H}=M_0H\times\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}$ .

2. Notons $(x_H,y_H,z_H)$ les coordonnées du point $H.$
$\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{M_0H}=a(x_H-x_0)+b(y_H-y_0)+c(z_H-z_0)=(ax_H+by_H+cz_H)-ax_0-by_0-cz_0$ . Or $H\in P$ donc $ax_H+by_H+cz_H=-d$ d'où $\fbox{\ensuremath{\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{M_0H}=-ax_0-by_0-cz_0-d}}$ .

3. D'après les questions précédentes $M_0H\sqrt{a^2+b^2+c^2}=|-ax_0-by_0-cz_0-d|$ donc, comme $\overrightarrow{n}\neq\overrightarrow{0}$ , $\fbox{\ensuremath{M_0H=\cfrac{|-(ax_0+by_0+cz_0+d)|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\cfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}}$ .

Partie B

1. a) Montrons que les vecteurs $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BC}$ ne sont pas colinéaires.
$\overrightarrow{BA}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}4-(-3)\\1-2\\5-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\-1\\5\end{pmatrix}$ .
$\overrightarrow{BC}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}1-(-3)\\3-2\\6-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\1\\6\end{pmatrix}$ .
Ainsi, si les deux vecteurs étaient colinéaires, il existerait $k\in\mathbb{R}$ tel que $\left\lbrace\begin{array}{l}7=4k\\-1=k\\5=6k\end{array}\right.$ ce qui est impossible. Les vecteurs $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BC}$ ne sont donc pas colinéaires et les points A, B et C définissent un plan.
De plus, posons $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$ . Alors, $\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{BA}=7-2-5=0$ et $\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{BC}=4+2-6=0$ donc $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan (ABC)=P.
Par conséquent, le plan a pour équation cartésienne $x+2y-z+d=0$ avec $d$ un réel à déterminer.
$B$ appartient au plan donc $-3+2\times2-0+d=0\Longleftrightarrow d=-1$ .
Ainsi, le plan $P$ a pour équation cartésienne $\fbox{\textit{x}+2\textit{y}-\textit{z}-1=0}}$ .

1. b) D'après la partie A, $d(F,P)=\cfrac{|-7+2\times0+-4-1|}{\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}}=\cfrac{12}{\sqrt{6}}$ donc $\fbox{\ensuremath{d(F,P)=2\sqrt{6}}}$ .

2. a) La droite $\Delta$ est perpendiculaire au plan $P$ donc $\overrightarrow{n}$ en est un vecteur directeur. De plus $F\in\Delta$ donc une représentation paramétrique de $\Delta$ est $\fbox{\left\lbrace\begin{array}{l}x=-7+t\\y=2t\\z=4-t\end{array}\right.\ ,t\in \mathbb{R}}$ .

2. b) Par définition, $H(x_H,y_H,z_H)=P\cap\Delta$ . Donc il existe $t\in\mathbb{R}$ tel que :
$\left\lbrace\begin{array}{l}x_H=-7+t\\y_H=2t\\z_H=4-t\\x_H+2y_H-z_H-1=0\end{array}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}{l}x_H=-7+t\\ y_H=2t\\z_H=4-t\\-7+t+4t-(4-t)-1=0\end{array}\right.\Longleftrightarrow\fbox{\left\lbrace\begin{array}{l}t=2\\x_H=-5\\y_H=4\\z_H=2\end{array}\right.}$

2. c) $d(F,P)=FH=\sqrt{(x_H-x_F)^2+(y_H-y_F)^2+(z_H-z_F)^2}=\sqrt{2^2+4^2+(-2)^2}=\sqrt{4\times6}=2\sqrt{6}$ et l'on retrouve le résultat de la question 1.b).

3. a) $BF=\sqrt{(-7-(-3))^2+(0-2)^2+(-4-0)^2}=6$ donc $B$ appartient à la sphère de centre $F$ et de rayon 6.

3. b) $FH=2\sqrt{6}<6$ donc l'intersection entre la sphère et le plan est un cercle de centre $H$ .
Soit $M\in S\cap P=C$ . $M\in S$ donc $MF=6$ . De plus, par définition du projeté orthogonal, le triangle $FHM$ est rectangle en H donc, d'après le théorème de Pythagore, $FM^2=MH^2+FH^2$ ie. $MH^2=36-4\times6=12$ .
Ainsi, $C$ est le cercle de centre $H$ et de rayon $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ .

exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

1. Soit $(a,b,c)\in\mathbb{Z}^3$ tel que $a|bc$ et $a\wedge b=\text{pgcd}(a,b)=1$ .
Alors, d'après le théorème de Bezout, il existe $(u,v)\in\mathbb{Z}^2$ tel que $au+bv=1$ soit $acu+bcv=c$ .
Or $a|bc$ donc il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $ak=bc$ .
Ainsi, $a(cu+kv)=c$ avec $cu+kv\in\mathbb{Z}$ donc $a|c$ .
On a donc montré que si $a|bc$ et $a\wedge b=1$ , alors $a|c$ .

2. $a\equiv0\ (p)$ donc il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $a=kp$ .
$a\equiv0\ (q)$ donc il existe $k'\in\mathbb{Z}$ tel que $a=k'q$ .
Alors, $kp=k'q$ donc $p$ divise $k'q$ .
Or $p\wedge q=1$ donc, d'après le théorème de Gauss, $p|k'$ . Donc il existe $K\in\mathbb{Z}$ tel que $k'=Kp$ .
Ainsi, $a=k'q=Kpq$ donc $\fbox{\ensuremath{a\equiv0\ (pq)}}$ .

Partie B

1. a) $17\wedge5=1$ donc le théorème de Bezout assure l'existence d'un couple $(u,v)\in\mathbb{Z}^2$ tel que $17u+5v=1$ .

1. b) $3\times17u+9\times5v\equiv9\times5v\ (17)$ . Or $17u+5v=1$ donc $5v\equiv1\ (17)$ donc $9\times5v\equiv9\ (17)$ Ainsi, $n_0\equiv9\ (17)$ .
$3\times17u+9\times5v\equiv3\times17u\ (5)$ . Or $17u+5v=1$ donc $17u\equiv1\ (5)$ donc $3\times17u\equiv3\ (5)$ . Ainsi, $n_0\equiv3\ (17)$ .
$n_0$ appartient donc à $S$ .

1. c) Posons $u=-2$ et $v=7$ . $17u+5v=1$ donc d'après la question précédente $\fbox{\ensuremath{n_0=213=3\times17u+9\times5v}}$ appartient à $S$ .

2. a) Soit $n\in S$ . On sait que $n\equiv9\ (17)$ et $n_0\equiv9\ (17)$ donc $n-n_0\equiv0\ (17)$ .
De même, $n\equiv3\ (5)$ et $n_0\equiv3\ (5)$ donc $n-n_0\equiv0\ (5)$ .
Alors, d'après le résultat de la partie A, comme $17\wedge5=1$ , $n-n_0\equiv0\ (17\times5)$ soit $\fbox{\ensuremath{n-n_0\equiv0\ (85)}}$ .

2. b) $43=17\times2+9$ donc $43\equiv9\ (17)$ . $43=5\times8+3$ donc $43\equiv3\ (5)$ . Ainsi $43\in S$
Soit $n\in S$ . D'après la question précédente, $n-43\equiv0\ (85)$ donc il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $n=43+85k$ .
Ainsi, $S\subset\lbrace43+85k,\ k\in\mathbb{Z}\rbrace$ .
Réciproquement, soit $k\in\mathbb{Z}$ . $43+85k=43+17\times5\times k$ donc $43+85\equiv43\ (17)$ d'où $43+85k\equiv 9$ . De même, $43+85k\equiv43\ (5)$ donc $43+85k\equiv 3\ (5)$ .
Ainsi, $43+85k\in S$ . Par conséquent, $\lbrace43+85k,\ k\in\mathbb{Z}\rbrace\subset S$ .
Par double-inclusion, $\fbox{\ensuremath{S=\lbrace43+85k,\ k\in\mathbb{Z}\rbrace}}$ .

3. Soit $n$ le nombre de jetons que possède Zoé.
Si elle fait des tas de 17 jetons, il lui en reste 9 donc $n\equiv9\ (17)$ .
Si elle fait des tas de 5 jetons, il lui en reste 3 donc $n\equiv3\ (5)$ .
Donc $n\in S$ . D'après la question précédente, il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $n=43+85k$ . Déterminons l'entier $k$ sachant que $300<n<400$ : Si $k=3$ , $n=43+85k=298<300$ donc $k>3$ .
Si $k=5$ , $n=468>400$ donc $k<5$ .
Ainsi, $k=4$ et $\fbox{\ensuremath{n=383}}$ .
Zoé a 383 jetons.

Publié par Porcepic/david9333 le 12-09-2015

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