Baccalauréat Général
Série Scientifique
La Réunion - Session Juin 2011
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Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
4 points
exercice 1 - Commun à tous les candidats
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie. Chaque réponse exacte rapprte 1 point. Aucune justification n'est demandée. Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse ou en cas de réponse fausse.
L'espace est rapporté au repère orthonormé .
On désigne par le plan d'équation et, par A et B les points de coordonnées respectives (1 ; 2 ; -4) et (-3 ; 4 ; 1).
1. Soit la droite ayant pour représentation paramétrique :
.
Le plan et la droite sont sécants.
Le plan et la droite n'ont aucun point en commun.
La droite est incluse dans le plan .
Aucune des trois affirmations précédentes n'est vraie.
2. On note le plan d'équarion .
Les plans et sont parallèles et distincts.
Les plans et sont confondus.
Les plans et sont sécants suivant une droite de vecteur directeur .
Les plans et sont sécants suivant une droite de vecteur directeur .
3. L'ensemble des points de l'espace qui sont équidistants des points A et B est:
une droite passant par le point C de coordonnées ,
une sphère de rayon .
le plan d'équation ,
le plan d'équation .
4. L'ensemble des points de l'espace tels que est :
une sphère dont le centre a pour coordonnées ,
une sphère dont le centre a pour coordonnées ,
le plan d'équation ,
le plan d'équation .
5 points
exercice 2 - Commun à tous les candidats
Les trois questions peuvent être traitées de façon indépendante
Un candidat participe à un jeu télévisé qui comporte deux épreuves. La première consiste à répondre à une question tirée au hasard parmi celles que l'assistante a prélevées dans une urne.
Dans la seconde, il doit répondre à une série de 10 questions sur un thème qu'il choisit.
1. L'urne contient dix bulletins indiscernables au toucher comportant chacun une question.
Toutes les questions sont différentes, quatre portent sur l'histoire, quatre portent sur la littérature et deux sur le sport.
En début d'émission, l'assistante tire au hasard et simultanément 4 bulletins de l'urne.
On note A l'évènement «les quatre questions portent sur l'histoire» et B l'évènement «l'une au moins des quatre questions porte sur le sport».
Déterminer la probabilité des évènements A et B.
2. L'animateur annonce les thèmes sur lesquels portent les questions des quatre bulletins choisis par l'assistante. Il y a une question d'histoire, deux de littérature et une sur le sport.
Le candidat tire au hasard l'un de ces quatre bulletins.
On admet que la probabilité que sa réponse soit correcte est 0,7 s'il s'agit d'une question d'histoire, 0,6 s'il s'agit d'une question de littérature et 0,5 pour une question sur le sport.
On considère les évènements suivants :
H : «la question posée au candidat porte sur l'histoire»
L : «la question posée au candidat porte sur la littérature»
S : «la question posée au candidat porte sur le sport»
C : «le candidat répond correctement à la question posée»
a) Représenter par un arbre pondéré la situation correspondant à cette première épreuve.
b) Calculer la probabilité de l'évènement C.
c) Sachant que le candidat a répondu correctement, quelle est la probabilité que la question posée ait porté sur le sport ?
3. Le candidat a réussi cette première épreuve et choisit l'histoire comme thème pour la seconde épreuve. Les dix questions qu'on lui pose sont indépendantes et on suppose toujours que la probabilité qu'il réponde correctement à chaque question est égale à 0,7.
On désigne par la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de bonnes réponses données par le candidat.
a) Soit un entier compris entre 0 et 10.
Quelle est l'expression de la probabilité de l'évènement en fonction de ? On justifiera la réponse.
b) Déterminer la probabilité que le candidat donne au moins neuf bonnes réponses. On arrondira le résultat à 10-2.
6 points
exercice 3 - Commun à tous les candidats
Soit la fonction définie sur par
.
On note sa courbe représentative dans un repère orthogonal .
Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbe . Elle coupe l'axe des abscisses aux points A et B.
Partie A
L'objet de cette partie est de démontrer certaines propriétés de la fonction que l'on peut conjecturer à partir du graphique.
1. La fonction semble croissante sur l'intervalle [0 ; + [.
a) Vérifier que pour tout réel , .
b) En déduire le sens de variation de la fonction sur l'intervalle [0 ; + [.
2. La droite d'équation semble être un axe de symétrie de la courbe .
Démontrer que cette conjecture est vraie.
3. On désigne par l'abscisse du point A et on pose .
a) Démontrer que le réel est une solution de l'équation .
En déduire la valeur exacte de .
b) Donner le signe de selon les valeurs de .
Partie B
L'objet de cette partie est d'étudier quelques propriétés de la fonction définie sur par :
.
1. Déterminer les variations de la fonction sur .
2. Interpréter géométriquement le réel . En déduire que .
3. On cherche la limite éventuelle de en .
a) Démontrer que pour tout réel positif .
b) En déduire que pour tout réel positif et déterminer la limite de lorsque tend vers .
4.Dans cette question. toute trace de recherche ou d'initiative, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation. Déterminer la limite de lorsque tend vers .
5 points
exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct .
Partie A - Restitution organisée de connaissances
Soient A, B deux points du plan d'affixes respectives et .
On rappelle que :
.
L'image du point B par la rotation de centre A et d'angle est le point défini par :
.
Exprimer l'affixe du point C en fonction de , et .
Partie B
1. Résoudre dans l'équation .
Dans la suite de l'exercice, on désigne par P, Q et R les points d'affixes respectives
, et .
2. Placer les points P, Q, R sur une figure que l'on complètera au fur et à mesure de la résolution de l'exercice.
3. On note S le symétrique du point R par rapport au point Q.
Vérifier que l'affixe du point S est .
4. Soit la rotation de centre O et d'angle .
Déterminer les affixes et des points A et C, images respectives des points R et S par la rotation .
5. On désigne par B et D les images respectives des points S et R par la translation de vecteur .
Calculer les affixes et des points B et D.
6. a) Démontrer que .
b) En déduire la nature du quadrilatère ABCD.
5 points
exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct .
Partie A - Restitution organisée de connaissances
Soient deux points du plan d'affixes respectives et .
On rappelle que :
.
L'image du point B par la similitude directe de centre A, de rapport et d'angle est le point C défini par :
.
Exprimer l'affixe du point C en fonction de , , et .
Partie B
On considère l'équation (E) : .
1. a) Montrer que le couple (-1 ; -2) est une solution de (E).
b) Déterminer tous les couples d'entiers relatifs vérifiant l'équation (E).
2. Soient et les droites d'équations respectives et .
a) Vérifier que pour tout entier relatif , le point de coordonnées appartient à la droite .
On admettra que ce sont les seuls points de à coordonnées entières.
b) Montrer que les seuls points de à coordonnées entières sont les points de coordonnées où .
3. a) Existe-t-il deux entiers relatifs et tels que ?
b) Déterminer les entiers relatifs et tels que le segment soit parallèle à l'axe des abscisses.
c) Trouver l'entier tel que .
4. Soit un point quelconque du plan dont l'affixe est notée . On note H[ le milieu du segment .
On désigne par la similitude directe de centre , de rapport et d'angle .
a) Donner l'écriture complexe de la similitude .
b) Déterminer l'affixe du point pour que l'image du point H soit l'origine O du repère.
Publié par TP/
le
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