Baccalauréat Général
Série Scientifique
Antilles Guyane - Session Juin 2011
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Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
5 points
exercice 1 - Commun à tous les candidats
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct . On prendra 2 cm pour unité graphique. On appelle J le point d'affixe .
1. On considère les points A, B, C, H d'affixes respectives , , et .
Placer ces points sur une figure, qui sera complétée au fur et à mesure de l'exercice.
2. Montrer que J est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Préciser le rayon du cercle .
3. Calculer, sous forme algébrique, le nombre complexe . En déduire ques les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires.
Dans la suite de l'exercice, on admet que H est l'orthocentre du triangle ABC, c'est-à-dire le point d'intersection des hauteurs du triangle ABC.
4. On note G le centre de gravité du triangle ABC. Déterminer l'affixe du point G. Placer G sur la figure.
5. Montrer que le centre de gravité G, le centre du cercle circonscrit J et l'orthocentre H du triangle ABC sont alignés. Le vérifier sur la figure.
6. On note A' le milieu de [BC] et K celui de [AH]. Le point A' a pour affixe .
a) Déterminer l'affixe du point K.
b) Démontrer que le quadrilatère KHA'J est un parallélogramme.
6 points
exercice 2 - Commun à tous les candidats
1. Soit la fonction définie sur [0 ; +[ par
.
a) Déterminer la limite de la fonction en et étudier le sens de variation de .
b) Démontrer que l'équation admet une unique solution sur l'intervalle [0 ; +[. Déterminer une valeur approchée de à 10-2 près.
c) Déterminer le signe de suivant les valeurs de .
2. On note la courbe représentative de la fonction exponentielle et celle de la fonction logarithme népérien dans le plan muni d'un repère orthonormé .
Les courbes et sont donnée en annexe.
Soit un nombre réel strictement positif. On note M le point de d'abscisse et N le point de d'abscisse .
On rappelle que pour tout réel strictement positif, .
a) Montrer que la longueur MN est minimale lorsque . Donner une valeur approchée de cette longueur minimale à 10-2 près.
b) En utilisant la question 1., montrer que . En déduire que la tangente à au point d'abscisse et la tangente à au point d'abscisse sont parallèles.
3. a) Soit la fonction définie sur ]0 ; + par . Montrer que la fonction est une primitive de la fonction logarithme népérien sur ]0 ; +[.
b) Calculer la valeur exacte, puis une valeur approchée à 10-2 près, de l'aire (exprimée en unités d'aire) de la surface hachurée sur la figure jointe en annexe.
4 points
exercice 3 - Commun à tous les candidats
Cet exercice est questionnaire à choix multiples constitué de quatre questions indépendantes. Pour chacune d'elles, une seule des quatre propositions est exacte.
Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.
1. Dans un stand de tir, la probabilité pour un tireur d'atteindre la cible est de 0,3. On effectue tirs supposés indépendants. On désigne par la probabilité d'atteindre la cible au moins une fois sur ces tirs.
La valeur minimale de pour que soit supérieure ou égale à 0,9 est:
a) 6
b) 7
c) 10
d) 12
2. On observe la durée de fonctionnement, exprimée en heures, d'un moteur Diesel jusqu'à ce que survienne la première panne. Cette durée de fonctionnement est modélisée par une variable aléatoire définie sur et suivant la loi exponentielle de paramètre . Ainsi, la probabilité que le moteur tombe en panne avant l'instant est .
La probabilité que le moteur fonctionne sans panne pendant plus de \np{10000} heures est, au millième près:
a) 0,271
b) 0,135
c) 0,865
d) 0,729
3. Un joueur dispose d'un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. À chaque lancer, il gagne s'il obtient 2, 3, 4, 5 ou 6; il perd s'il obtient 1.
Une partie est constituée de 5 lancers du dé successifs et indépendants.
La probabilité pour que le joueur perde 3 fois au cours d'une partie est:
a)
b)
c)
d)
4. Soient et deux évènements indépendants d'une même univers tels que et . La probabilité de l'évènement est:
a) 0,5
b) 0,35
c) 0,46
d) 0,7
5 points
exercice 4 - Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité
1. On considère l'équation (E): , où et sont des entiers relatifs.
a) Justifier, en énonçant un théorème, qu'il existe un couple d'entiers relatifs tels que . Trouver un tel couple.
b) En déduire une solution particulière de l'équation (E).
c) Résoudre l'équation (E).
d) Dans le plan rapporté à un repère orthonormé , on considère la droite d'équation cartésienne . On note l'ensemble des points du plan tels que et .
Déterminer le nombre de points de la droite appartenant à l'ensemble et dont les coordonnées sont des nombres entiers.
2. On considère l'équation (F) : , où et sont des entiers relatifs.
a) Démontrer que si le couple est solution de (F), alors (mod 5).
b) Soient et des entiers relatifs. Recopier et compléter les deux tableaux suivants:
Modulo 5, est congru à
0
1
2
3
4
Modulo 5, est congru à
Modulo 5, est congru à
0
1
2
3
4
Modulo 5, est congru à
Quelles sont les valeurs possibles du reste de la division euclidienne de et de par 5 ?
c) En déduire que si le couple est solution de (F), alors et sont des multiples de 5.
3. Démontrer que si et sont des multiples de 5, alors le couple n'est pas solution de (F). Que peut-on en déduire pour l'équation (F) ?
5 points
exercice 4 - Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité
L'espace est rapporté à un repère orthonormé .
On considère la droite passant par le point A de coordonnées (3 ; -4 ; 1) et dont un vecteur directeur est .
On considère la droite dont une représentation paramétrique est:
On admet qu'il existe une unique droite perpendiculaire aux droites et . On se propose de déterminer une représentation paramétrique de cette droite et de calculer la distance entre les droites et , distance qui sera définie à la question 5..
On note H le point d'intersection des droites et , H' le point d'intersection des droites et . On appelle le plan contenant la droite et la droite . On admet que le plan et la droite sont sécants en H'. Une figure est donnée en annexe.
1. On considère le vecteur de coordonnées (1 ; 0 ; -1). Démontrer que est une vecteur directeur de la droite .
2. Soit le vecteur de coordonnées (3 ; 2 ; 3).
a) Démontrer que le vecteur est normal au plan .
b) Montrer qu'une équation cartésienne du plan est .
3. a) Démontrer que le point H' a pour coordonnées (-1 ; 2 ; 1).
b) En déduire une représentation paramétrique de la droite .
4. a) Déterminer les coordonnées du point H.
b) Calculer la longueur HH'.
5.Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
L'objectif de cette question est de montrer que, pour tout point M appartenant à et tout point M' appartenant à , MM' HH'.
a) Montrer que peut s'écrire comme la somme de et d'un vecteur orthogonal à .
b) En déduire que et conclure.
La longueur HH' réalise donc le minimum des distances entre un point de et un point de . On l'appelle distance entre les droites et .
Publié par TP/
le
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