Baccalauréat Général
Série Scientifique
Nouvelle Calédonie - Session Mars 2011
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Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
6 points
exercice 1 - Commun à tous les candidats
Partie A : Restitution organisée de connaissances
On utilisera le résultat suivant : les solutions de l'équation différentielle où sont les fonctions définies sur par où .
Le but de cette partie est de déterminer les solutions de l'équation différentielle (E) où et .
1. Démontrer que la fonction définie sur par est une solution de (E).
2. Soit une fonction définie et dérivable sur . Démontrer l'équivalence suivante : est solution de (E) est solution de l'équation différentielle .
3. En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle (E).
Partie B
Un cycliste roule sur une route descendante rectiligne et très longue. On note sa vitesse à l'instant , où est exprimé en secondes et en mètres par seconde.
On suppose de plus que la fonction ainsi définie est dérivable sur l'intervalle [0 ; +[.
Un modèle simple permet de considérer que la fonction est solution de l'équation différentielle :
.
Enfin, on suppose que, lorsque le cycliste s'élance, sa vitesse initiale est nulle, c'est-à-dire que .
1. Démontrer que .
2. a) Déterminer le sens de variation de la fonction sur l'intervalle [0 ; +[.
b) Déterminer la limite de la fonction en .
3. On considère, dans cette situation, que la vitesse du cycliste est stabilisée lorsque son accélération est inférieure à 0,1 m.s-2. Déterminer, à la seconde près, la plus petite valeur de à partir de laquelle la vitesse du cycliste est stabilisée.
4. La distance parcourue par ce cycliste entre les instants , et est donnée par .
Calculer la distance parcourue par ce cycliste pendant les 35 premières secondes.
4 points
exercice 2 - Commun à tous les candidats
Chaque année, deux villages A et B organisent un concours sportif. Les concurrents tirent au sort un moyen de transport puis doivent relier le village A au village B le plus rapidement possible en utilisant ce moyen de transport et un parcours adapté. Pour le tirage, on utilise une urne contenant 4 jetons indiscernables au toucher. Sur un premier jeton figure la lettre V , sur le second la lettre R, sur le troisième la lettre P et sur le dernier la lettre L.
Un concurrent tire au hasard un jeton :
s'il tire le jeton sur lequel figure la lettre V, il effectuera le trajet à vélo,
s'il tire le jeton sur lequel figure la lettre R, Il effectuera le trajet en roller,
s'il tire le jeton sur lequel figure la lettre P, il effectuera le trajet à pied,
s'il tire le jeton sur lequel figure la lettre L, il choisira librement son mode de transport parmi les trois précédents.
On observe que lorsqu'un concurrent tire le jeton sur lequel figure la lettre L, il choisit le vélo dans 70% des cas, il choisit le roller dans 20% des cas el il décide de faire le parcours à pied dans 10% des cas.
1. Construire un arbre pondéré correspondant à la situation.
Pour les questions suivantes, on donnera les résultats arrondis au millième.
2. Calculer la probabilité qu'un concurrent effectue le trajet à vélo.
3. Sachant qu'un concurrent a effectué le trajet à vélo, quelle est la probabilité qu'il ait tiré le jeton sur lequel figure la lettre L ?
4. On admet que les résultats des différentes années sont indépendants les uns des autres.
L'expérience des années précédentes permet de considérer que la probabilité, pour le vainqueur, d'avoir effectué le trajet à vélo est .
Calculer la probabilité qu'au cours des six prochaines années l'épreuve soit remportée au moins une fois par un concurrent «non cycliste».
5 points
exercice 3 - Commun à tous les candidats
Soit la suite définie par
Partie A
Soit la fonction définie sur par
.
1. Résoudre dans l'équation .
2. Étudier le sens de variation de la fonction sur l'intervalle [0 ; 1].
En déduire que si [0 ; 1] alors [0 ; 1].
Partie B
1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier , [0 ; 1].
2. Étudier le sens de variation de la suite .
3. Démontrer que la suite est convergente. Déterminer sa limite.
5 points
exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
L'espace est rapporté à un repère orthonormal direct .
On considère les points A( -2 ; 0 ; 1), B(1 ; 2 ; -1) et C(-2 ; 2 ; 2).
1. a) Calculer le produit scalaire puis les longueurs AB et AC.
b) En déduire une valeur approchée arrondie au degré près de l'angle .
c) En déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés.
2. Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est : .
3. Soient , et les plans d'équations respectives et .
Montrer que les plans et sont sécants selon une droite dont un système d'équations paramétriques est , .
4. Démontrer que la droite et le plan (ABC) sont sécants et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.
5. Soit la sphère de centre (1 ; - 3 ; 1) et de rayon = 3.
a) Donner une équation cartésienne de la sphère .
Dans les deux questions suivantes, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
b) Étudier l'intersection de la sphère et de la droite .
c) Démontrer que le plan (ABC) est tangent à la sphère .
Partie A - Restitution organisée des connaissances
1. Soit la fonction définie sur par : est donc dérivable sur et sa dérivée est : Or , donc On en déduit que :
est solution de (E)
2. Soit une fontion définie et dérivable sur , est alors une fonction définie et dérivable sur .
On en déduit que :
3. Puisqu'on a : est solution de l'équation .
Alors : Donc : On en déduit que : Sur , l'ensemble des solutions de est donc :
Partie B
1. L'équation différentielle peut s'écrire sous la forme indiquée dans la partie A :
Donc d'après la partie A, la solution de l'équation différentielle s'écrit : Pour déterminer le réel , il suffit utiliser la condition initiale fournie par l'énoncé :
Conclusion :
2. a) La fonction est dérivable sur et sa dérivée vaut :
Or la fonction exponentielle est strictement positive sur donc la fonction est strictement positive sur On en déduit que :
2. b) On a : Donc : Et alors : Conclusion :
3. Il s'agit ici de résoudre l'inéquation : Donc :
La vitesse du cycliste est stabilisée à partir de la 35ème seconde
4. La distance parcourue lors des 35 premières secondes correspond à :
Le cycliste a donc parcouru environ 759 m en 35 secondes
exercice 2 - Commun à tous les candidats
1. L'arbre pondéré :
2. Il y a 2 possibilités pour que le concurrent fasse le trajet en vélo :
soit il a tiré le jeton V soit il a tiré le jeton L et il a choisi le mode de transport vélo
Donc la probabilité totale que le concurrent fasse le trajet en vélo est de :
3.
4. Soient les deux évènements :
A : "l'épreuve est remportée au moins une fois par un concurrent non cycliste"
B : "l'épreuve est remportée à chaque fois par un cycliste"
On a : et puisque : donc
exercice 3 - Commun à tous les candidats
Partie A
1. Résolution de l'équation : En conclusion :
2. La fonction est dérivable sur [0 ; 1] et sa dérivée vaut :
sur [0 ; 1[ en ne s'annulant que pour Donc la fonction est strictement croissante sur [0 ; 1].
Si On a : Avec et Donc Conclusion :
Partie B
1.Initialisation : pour , on a : Hérédité : Soit tel que : ,
Puisque et que , alors d'après la question 2. de la partie A : L'hérédité est démontrée.
Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et elle est héréditaire, elle est donc toujours vraie.
2. Montrons par récurrence que la suite est décroissante.
Initialisation : Hérédité : Soit tel que : . Comme est strictement croissante sur [0 ; 1] et que tous les termes de la suite appartiennent bien à cet intervalle, on obtient alors : soit L'hérédité est démontrée.
Conclusion : la propriété est au moins une fois vraie, et elle est héréditaire, elle est donc toujours vraie et
On en déduit que :
La suite est strictement décroissante
3. La suite est minorée par 0 d'après 1. et décroissante d'après 2., on en déduit que :
(vers une limite supérieure ou égale à 0.)
La limite : Par continuité de la fonction dérivable , la limite est solution de l'équation qui n'admet qu'une seule solution d'après la question 1. de la partie A, cette solution est .
On en déduit que :
exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
1. a) Puisque : A(-2 ; 0 ; 1), B(1 ; 2 ; -1) et C(-2 ; 2 ; 2). Donc : Faisons le calcul demandé:
1. b) On sait que : . Alors :
En utilisant la calculatrice (la commande ) , on obtient :
1. c) On a : Donc l'angle n'est ni nul, ni plat.
Les points A, B et C ne sont pas alignés
2. Les points A, B et c n'étant pas alignés, ils définissent un plan unique.
A vérifie l'équation : B vérifie l'équation : C vérifie l'équation : Donc les points A, B et C appartiennent tous au plan d'équation .
Conclusion :
3. ont respectivement pour vecteurs normaux Donc ne sont pas parallèles car ne sont pas colinéaires.
Et donc sont sécants suivant une droite caractérisée par :
En posant , on a : En effectuant la différence entre la 1ère équation et la 2ème :
Remarque : après avoir démontré que les deux plans sont sécants, une autre démonstration consiste à vérifier que les points de la droite proposée donc de coordonnées appartienent bien aux deux plans.
4. Un vecteur directeur de est : et le plan a pour vecteur normal On a , donc le plan et ne sont pas parallèles.
Retrouvons vérifiant: Et on remplace dans et .
Conclusion :
Le point d'intersection de (ABC) et a pour coordonnées (-2 ; -4 ; -1)
5. a)
5. b).
Calculons le discriminant : , donc il n'y a pas de solution et :
5. c) Démontrer que le plan est tangent à la sphère revient à démontrer que la distance du point au plan est égal au rayon de la sphère.
On a : Conclusion :
Publié par TP/Aurelien_
le
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Merci à Aurelien_ pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
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