Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Général
Série Scientifique
Nouvelle Calédonie - Session Mars 2011

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

6 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Partie A : Restitution organisée de connaissances

On utilisera le résultat suivant : les solutions de l'équation différentielle $y'= a y$ où $a \in \mathbb{R}$ sont les fonctions $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = K\text{e}^{ax}$ où $K \in \mathbb{R}$ .

Le but de cette partie est de déterminer les solutions de l'équation différentielle (E) $y'= ay + b$ où $a \in \mathbb{R}^{*}$ et $b \in \mathbb{R}$ .

1. Démontrer que la fonction $u$ définie sur $\mathbb{R}$ par $u(x)= -\dfrac{b}{a}$ est une solution de (E).

2. Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ . Démontrer l'équivalence suivante : $f$ est solution de (E) $\iff f - u$ est solution de l'équation différentielle $y'= a y$ .

3. En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle (E).

Partie B

Un cycliste roule sur une route descendante rectiligne et très longue. On note $v(t)$ sa vitesse à l'instant $t$ , où $t$ est exprimé en secondes et $v(t)$ en mètres par seconde.
On suppose de plus que la fonction $v$ ainsi définie est dérivable sur l'intervalle [0 ; + $\infty$ [.
Un modèle simple permet de considérer que la fonction $v$ est solution de l'équation différentielle : $10v'(t) + v(t) = 30$ . Enfin, on suppose que, lorsque le cycliste s'élance, sa vitesse initiale est nulle, c'est-à-dire que $v(0)= 0$ .

1. Démontrer que $v(t) = 30\left(1 - \text{e}^{- \dfrac{t}{10}}\right)$ .

2. a) Déterminer le sens de variation de la fonction $v$ sur l'intervalle [0 ; + $\infty$ [.
b) Déterminer la limite de la fonction $v$ en $+ \infty$ .

3. On considère, dans cette situation, que la vitesse du cycliste est stabilisée lorsque son accélération $v'(t)$ est inférieure à 0,1 m.s^-2. Déterminer, à la seconde près, la plus petite valeur de $t$ à partir de laquelle la vitesse du cycliste est stabilisée.

4. La distance $d$ parcourue par ce cycliste entre les instants $t_{1}$ , et $t_{2}$ est donnée par $\displaystyle d = \int_{t_{1}}^{t_{2}} v(t)\:\text{d}t$ .
Calculer la distance parcourue par ce cycliste pendant les 35 premières secondes.

4 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

Chaque année, deux villages A et B organisent un concours sportif. Les concurrents tirent au sort un moyen de transport puis doivent relier le village A au village B le plus rapidement possible en utilisant ce moyen de transport et un parcours adapté. Pour le tirage, on utilise une urne contenant 4 jetons indiscernables au toucher. Sur un premier jeton figure la lettre V , sur le second la lettre R, sur le troisième la lettre P et sur le dernier la lettre L.

Un concurrent tire au hasard un jeton :
    s'il tire le jeton sur lequel figure la lettre V, il effectuera le trajet à vélo,
    s'il tire le jeton sur lequel figure la lettre R, Il effectuera le trajet en roller,
    s'il tire le jeton sur lequel figure la lettre P, il effectuera le trajet à pied,
    s'il tire le jeton sur lequel figure la lettre L, il choisira librement son mode de transport parmi les trois précédents.
On observe que lorsqu'un concurrent tire le jeton sur lequel figure la lettre L, il choisit le vélo dans 70% des cas, il choisit le roller dans 20% des cas el il décide de faire le parcours à pied dans 10% des cas.

1. Construire un arbre pondéré correspondant à la situation.
Pour les questions suivantes, on donnera les résultats arrondis au millième.

2. Calculer la probabilité qu'un concurrent effectue le trajet à vélo.

3. Sachant qu'un concurrent a effectué le trajet à vélo, quelle est la probabilité qu'il ait tiré le jeton sur lequel figure la lettre L ?

4. On admet que les résultats des différentes années sont indépendants les uns des autres.
L'expérience des années précédentes permet de considérer que la probabilité, pour le vainqueur, d'avoir effectué le trajet à vélo est $\dfrac{2}{3}$ .
Calculer la probabilité qu'au cours des six prochaines années l'épreuve soit remportée au moins une fois par un concurrent «non cycliste».

5 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $\left\lbrace\begin{array}{l} u_{0} = 1 \\ u_{n+1} = u_{n}- \ln \left(u_{n}^2 + 1\right) \text{ pour tout entier naturel } n.\end{array}\right.$

Partie A

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)= x - \ln \left(x^2 + 1\right)$ .
1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $f(x) = x$ .

2. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 1].
En déduire que si $x \in$ [0 ; 1] alors $f(x) \in$ [0 ; 1].

Partie B

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n \ge 0$ , $u_{n} \in$ [0 ; 1].

2. Étudier le sens de variation de la suite $(u_{n})$ .

3. Démontrer que la suite $(u_{n})$ est convergente. Déterminer sa limite.

5 points

exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

L'espace est rapporté à un repère orthonormal direct $(O ; \vec{i},\vec{j},\vec{k})$ .
On considère les points A( -2 ; 0 ; 1), B(1 ; 2 ; -1) et C(-2 ; 2 ; 2).

1. a) Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}}$ puis les longueurs AB et AC.
    b) En déduire une valeur approchée arrondie au degré près de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ .
    c) En déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés.

2. Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est : $2x - y + 2z + 2 = 0$ .

3. Soient $\mathcal{P}_{1}$ , et $\mathcal{P}_{2}$ les plans d'équations respectives $x + y - 3z + 3 = 0$ et $x - 2y + 6z = 0$ . Montrer que les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont sécants selon une droite $\mathcal{D}$ dont un système d'équations paramétriques est $\left\lbrace\begin{array}{l} x=-2 \\ y=-1+3t \\ z=t \end{array}\right.$ , $t \in \mathbb{R}$ .

4. Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ et le plan (ABC) sont sécants et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.

5. Soit $\mathcal{S}$ la sphère de centre $\Omega$ (1 ; - 3 ; 1) et de rayon $r$ = 3.
    a) Donner une équation cartésienne de la sphère $\mathcal{S}$ .

Dans les deux questions suivantes, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

    b) Étudier l'intersection de la sphère $\mathcal{S}$ et de la droite $\mathcal{D}$ .
    c) Démontrer que le plan (ABC) est tangent à la sphère $\mathcal{S}$ .

Voir la correction

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Partie A - Restitution organisée des connaissances

1. Soit $u$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $u(x)=-\dfrac{b}{a}$
$u$ est donc dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée est : $u'(x)=0$
Or $au(x)+b=a\left(-\dfrac{b}{a}\right)+b=-b+b=0$ , donc $u'(x)=au(x)+b$
On en déduit que : $u$ est solution de (E)

2. Soit $f$ une fontion définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ , $f-u$ est alors une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ .
$\begin{matrix}f \text{ est solution de (E) }&\Longleftrightarrow& f'=af+b\\&\Longleftrightarrow& f'-u'=af+b-(au+b)\\&\Longleftrightarrow&f'-u'=af-au\\&\Longleftrightarrow& f'-u'=a(f-u)\\&\Longleftrightarrow&(f-u)'=a(f-u)\end{matrix}$
On en déduit que : $\boxed{f \text{ est solution de (E) }\Longleftrightarrow f-u \text{ est solution de l'équation: } y'=ay}$

3. Puisqu'on a : $f-u$ est solution de l'équation $y'=ay$ .
Alors : $(f-u)(x)=Ke^{ax}, k\in \mathbb{R}$
Donc : $f(x)=Ke^{ax}+u(x), k\in \mathbb{R}$
On en déduit que : $f(x)=Ke^{ax}-\dfrac{b}{a}, k\in \mathbb{R}$
Sur $\mathbb{R}$ , l'ensemble des solutions de $(E): y'=ay+b \text{ tel que: }a\in\mathbb{R}^{*} \text{ et } b\in\amthbb{R}$ est donc :
$\boxed{S= \left \lbrace f:x\mapsto ke^{ax}-\dfrac{b}{a}\text{ où } k\in \mathbb{R} \right \rbrace}$

Partie B

1. L'équation différentielle $10v'(t)+v(t)=30$ peut s'écrire sous la forme indiquée dans la partie A :
$\begin{matrix}10v'(t)+v(t)=30&\Longleftrightarrow&10v'(t)=-v(t)+30\\&\Longleftrightarrow& v'(t)=-\dfrac{1}{10}v(t)+3\end{matrix}$
Donc d'après la partie A, la solution de l'équation différentielle s'écrit : $v(t)=ke^{-\dfrac{t}{10}}-\dfrac{3}{-\dfrac{1}{10}}=ke^{-\dfrac{t}{10}}+30 \text{ avec } k\in\mathbb{R}$
Pour déterminer le réel $k$ , il suffit utiliser la condition initiale fournie par l'énoncé :
$\begin{matrix}\text{ La vitesse initiale du cycliste est nulle, c'est-à-dire : } v(0)=0&\Longleftrightarrow& ke^{0}+30=0\\&\Longleftrightarrow& k+30=0\\&\Longleftrightarrow&k=-30\end{matrix}$
Conclusion : $\boxed{v(t)=30\left(1-e^{-\dfrac{t}{10}}\right)}$

2. a) La fonction $v$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ et sa dérivée vaut :
$v'(t)=30 \left(0 - \left( -\dfrac{1}{10}e^{-\dfrac{t}{10}} \right) \right)=3e^{-\dfrac{t}{10}}$
Or la fonction exponentielle est strictement positive sur $[0;+\infty[$ donc la fonction $v'$ est strictement positive sur $[0;+\infty[$
On en déduit que : $\boxed{\text{ La fonction }v \text{ est strictement croissante sur } [0;+\infty[}$

2. b) On a : $\begin{cases}\displaystyle \lim_{t\to +\infty}-\dfrac{t}{10}=-\infty\\et\\\displaystyle \lim_{t\to-\infty} e^{t}=0\end{cases}$
Donc : $\displaystyle\lim_{t\to +\infty}e^{-\frac{t}{10}}=0$
Et alors : $\displaystyle\lim_{t\to +\infty}v(t)=\lim_{t\to +\infty}30(1-e^{-\dfrac{t}{10}})=30(1-0)=30$
Conclusion : $\boxed{\displaystyle\lim_{t\to +\infty}v(t)=30}$

3. Il s'agit ici de résoudre l'inéquation : $v'(t)<0,1$
$\begin{matrix} v'(t)<0,1&\Longleftrightarrow&3e^{-\dfrac{t}{10}}<0,1\\\\&\Longleftrightarrow&e^{-\dfrac{t}{10}}<\dfrac{1}{30}\\\\&\Longleftrightarrow&-\dfrac{t}{10}<\ln(\dfrac{1}{30})\\\\&\Longleftrightarrow&-\dfrac{t}{10}<-\ln(30)\\\\&\Longleftrightarrow& t>10\ln(30)\approx 34.01\end{matrix}$
Donc : La vitesse du cycliste est stabilisée à partir de la 35ème seconde

4. La distance parcourue lors des 35 premières secondes correspond à :
$\begin{matrix} d&=&\displaystyle\int_{0}^{35}{v(t)}dt\\&=&\displaystyle\int_{0}^{35}{30(1-e^{-\frac{t}{10}})}dt\\&=&\displaystyle 30\int_{0}^{35}{(1-e^{-\frac{t}{10}}})dt\\&=&\displaystyle30\left[t+10e^{-\frac{t}{10}} \right]_{0}^{35}\\\\&=& \displaystyle 30(35+10e^{-3,5})-30(0+10)\\\\&=&750+300e^{-3,5}\\\\&=&759.06\end{matrix}$
Le cycliste a donc parcouru environ 759 m en 35 secondes

exercice 2 - Commun à tous les candidats

1. L'arbre pondéré :

Bac scientifique Nouvelle Calédonie Mars 2011 - terminale : image 1

2. Il y a 2 possibilités pour que le concurrent fasse le trajet en vélo :
soit il a tiré le jeton V
soit il a tiré le jeton L et il a choisi le mode de transport vélo
Donc la probabilité totale que le concurrent fasse le trajet en vélo est de : $P(V)=0,25+0,25\times 0,7=\boxed{0,425}$

3. $P_{V}(L)=\dfrac{P(L\cap V)}{P(V)}=\dfrac{0,175}{0,425}=\boxed{0,412}$

4. Soient les deux évènements :
A : "l'épreuve est remportée au moins une fois par un concurrent non cycliste"
B : "l'épreuve est remportée à chaque fois par un cycliste"
On a : $A=\bar{B}$ et puisque : $P(B)=\left(\dfrac{2}{3}\right)^6=0,088$
donc $P(A)=1-P(B)=\boxed{0,912}$

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Partie A

1. Résolution de l'équation : $f(x)=x$
$\begin{matrix}f(x)=x&\Longleftrightarrow&x-\ln(x^2+1)=x\\&\Longleftrightarrow&\ln(x^2+1)=0\\&\Longleftrightarrow&x^2+1=e^0\\&\Longleftrightarrow&x^2+1=1\\&\Longleftrightarrow&x^2=0\\&\Longleftrightarrow&x=0\end{matrix}$
En conclusion : $\boxed{S=\lbrace 0\rbrace}$

2. La fonction $f$ est dérivable sur [0 ; 1] et sa dérivée vaut :
$f'(x)=1-\dfrac{2x}{x^2+1}$
$f'(x)=\dfrac{x^2+1-2x}{x^2+1}=\dfrac{(x-1)^2}{x^2+1}> 0$ sur [0 ; 1[ en ne s'annulant que pour $x=1$
Donc la fonction $f$ est strictement croissante sur [0 ; 1].
Si $x\in[0 ; 1] \text{ c'est-à-dire : }0 \leq x \leq 1$
On a : $f(0) \leq f(x) \leq f(1)$
Avec $f(0)=0-ln(1)=0$ et $f(1)=1-ln(2) \leq 1$
Donc $0 \leq f(x) \leq 1$
Conclusion : $\boxed{\text{Pour tout } x\text{ de } [0 ; 1] \text{ , } f(x)\in[0 ; 1]}$

Partie B

1. Initialisation : pour $n=0$ , on a : $u_0=1\in[0 ; 1]$
Hérédité : Soit $n\in\mathbb{N}$ tel que : $u_{n}\in [0 ; 1]$ ,
Puisque $u_{n+1}=f(u_{n})$ et que $u_{n}\in [0 ; 1]$ , alors d'après la question 2. de la partie A : $u_{n+1}=f(u_{n})\in[0 ; 1]$
L'hérédité est démontrée.
Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et elle est héréditaire, elle est donc toujours vraie.
$\boxed{\text{Pour tout } n\text{ de }\mathbb{N} \text{ , } u_{n}\in [0 ; 1]}$

2. Montrons par récurrence que la suite est décroissante.
Initialisation : $u_0=1 \text{ et } u_1=f(u_0)=f(1)=1-\ln2 \text{ donc } u_1<u_0$
Hérédité : Soit $n\in\mathbb{N}$ tel que : $u_{n+1}<u_n$ . Comme $f$ est strictement croissante sur [0 ; 1] et que tous les termes de la suite appartiennent bien à cet intervalle, on obtient alors : $f(u_{n+1})<f(u_n)$ soit $u_{n+2}<u_{n+1}$
L'hérédité est démontrée.
Conclusion : la propriété est au moins une fois vraie, et elle est héréditaire, elle est donc toujours vraie et
$\text{Pour tout } n\text{ de }\mathbb{N} \text{ : }u_{n+1}<u_n$
On en déduit que : La suite $(u_n)$ est strictement décroissante

3. La suite $(u_n)$ est minorée par 0 d'après 1. et décroissante d'après 2., on en déduit que :
$\boxed{(u_n) \text{ converge }}$ (vers une limite $\ell$ supérieure ou égale à 0.)
La limite :
Par continuité de la fonction dérivable $f$ , la limite $\ell$ est solution de l'équation $f(\ell)=\ell$ qui n'admet qu'une seule solution d'après la question 1. de la partie A, cette solution est $\ell=0$ .
On en déduit que :
$\boxed{\displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n=0}$

exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. a) Puisque : A(-2 ; 0 ; 1), B(1 ; 2 ; -1) et C(-2 ; 2 ; 2). Donc : $\overrightarrow{AB}(3 ; 2 ; -2) \text{ et } \overrightarrow{AC}(0 ; 2 ; 1)$
Faisons le calcul demandé:
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=3\times 0 +2\times 2 +(-2)\times 1 =\boxed{2}$
$AB=\sqrt{3^2+2^2+(-2)^2}=\boxed{\sqrt{17}}$
$AC=\sqrt{0^2+2^2+1^2}=\boxed{\sqrt{5}}$

1. b) On sait que : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=AB.AC.\cos(\widehat{BAC})$ . Alors :
$\begin{matrix}\cos(\widehat{BAC})&=&\dfrac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{AB.AC}\\&=&\dfrac{2}{\sqrt{17}\sqrt{5}}\\ &\approx & 0,217\end{matrix}$
En utilisant la calculatrice (la commande $\boxed{\cos^{-1}}$ ) , on obtient :
$\boxed{\widehat{BAC} \approx 77°}$

1. c) On a : $\widehat{BAC} \neq 0° \text{ et } \widehat{BAC}\neq 180°$
Donc l'angle n'est ni nul, ni plat.
Les points A, B et C ne sont pas alignés

2. Les points A, B et c n'étant pas alignés, ils définissent un plan unique.
A vérifie l'équation : $2x_A-y_A+2z_A+2=2\times (-2)-0+2\times 1+2=0$
B vérifie l'équation : $2x_B-y_B+2z_B+2=2\times 1-2+2\times (-1)+2=0$
C vérifie l'équation : $2x_C-y_C+2z_C+2=2\times (-2)-2+2\times 2+2=0$
Donc les points A, B et C appartiennent tous au plan d'équation $2x-y+2z+2=0$ .
Conclusion : $\boxed{(ABC):2x-y+2z+2=0}$

3. $\mathcal{P}_{1} \text{ et } \mathcal{P}_{2}$ ont respectivement pour vecteurs normaux $\vec{n}_1(1 ; 1 ; -3) \text{ et } \vec{n}_2(1 ; -2 ; 6)$
Donc $\mathcal{P}_{1} \text{ et } \mathcal{P}_{2}$ ne sont pas parallèles car $\vec{n}_1 \text{ et } \vec{n}_2$ ne sont pas colinéaires.
Et donc $\mathcal{P}_{1} \text{ et } \mathcal{P}_{2}$ sont sécants suivant une droite $\mathcal{D}$ caractérisée par :
$\begin{cases}x + y -3z +3 = 0\\ x -2y +6z = 0 \end{cases}$
En posant $t=z$ , on a : $\begin{cases}x + y+3 =3z\\ x -2y = -6z\\z=t \end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases}x + y+3 =3t\\ x -2y = -6t\\z=t \end{cases}$
En effectuant la différence entre la 1^ère équation et la 2^ème :
$\begin{cases}3y+3 =9t\\ x - 2y = -6t\\z=t \end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases}y=3t-1\\ x= -6t+2y\\z=t \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x= -2\\y=-1+3t\\z=t \end{cases} t\in\mathbb{R}$
$\boxed{(\mathcal{D}):\begin{cases} x= -2\\y=-1+3t\\z=t \end{cases} t\in\mathbb{R}}$
Remarque : après avoir démontré que les deux plans sont sécants, une autre démonstration consiste à vérifier que les points de la droite proposée donc de coordonnées $(-2;-1+3t;t) \text{ avec } t \text{ réel }$ appartienent bien aux deux plans.

4. Un vecteur directeur de $(\mathcal{D})$ est : $\vec{u}(0 ; 3 ; 1)$ et le plan $(ABC)$ a pour vecteur normal $\vec{v}(2 ; -1 ; 2)$
On a $\vec{u} \cdot \vec{v}=0\times 2 + 3\times (-1)+1\times (2)=-1\neq 0$ , donc le plan $(ABC)$ et $(\mathcal{D})$ ne sont pas parallèles.
Retrouvons $t\in\mathbb{R}$ vérifiant: $\begin{cases} x= -2\\y=-1+3t\\z=t\\ (ABC):2x-y+2z+2=0 \end{cases}\Longleftrightarrow (-2)\times 2 -(-1+3t)+2t+2=0\Longleftrightarrow t=-1$
Et on remplace $t$ dans $x, y$ et $z$ .
Conclusion : Le point d'intersection de (ABC) et $(\mathcal{D})$ a pour coordonnées (-2 ; -4 ; -1)

5. a) $M(x ; y ; z) \in \mathcal{S} \Longleftrightarrow \Omega M^{2} = 3^2 = 9 \Longleftrightarrow (x-1)^2 +(y+3)^2+(z-1)^2=9$ $\Longleftrightarrow x^2 + y^2 + z^2-2x +6y-2z +2 = 0$
$\boxed{(\mathcal{S}):x^2 + y^2 + z^2-2x +6y-2z +2 = 0}$

5. b) $M(-2 ; 3t-1 ; t)\in\mathcal{S} \Longleftrightarrow (-2)^2+(3t-1)^2+t^2-2×(-2)+6(3t-1)-2t+2 =0 \\ \Longleftrightarrow 4+ 9t^2 + 1- 6t + t^2 + 4+ 18t - 6- 2t + 2 = 0 \Longleftrightarrow 10t^2 + 10t + 5 =0 \\ \Longleftrightarrow 2t^2 +2t +1 = 0$ .
Calculons le discriminant : $\Delta=4-8=-4<0$ , donc il n'y a pas de solution et :
$\boxed{\text{L'intersection entre }(\mathcal{S}) \text{ et } (\mathcal{D})\text{ est vide}}$

5. c) Démontrer que le plan $(ABC)$ est tangent à la sphère $\mathcal{S}$ revient à démontrer que la distance du point $\Omega$ au plan $(ABC)$ est égal au rayon de la sphère.
On a : $d(\Omega, (ABC))=\dfrac{|2\times 1-(-3)+2\times1+2|}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}}=\dfrac{9}{\sqrt{9}}=3=r$
Conclusion : $\boxed{\text{ (ABC) est tangent à la sphère }\mathcal{S}}$

Publié par TP/Aurelien_ le 21-08-2014

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