Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Général
Série Scientifique
Antilles Guyane - Session Septembre 2011

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Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9


L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
5 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie ]0 ; +\infty[ par :
f(x) = x \ln x - 1.


Partie A : Étude d'une fonction

1. a) Déterminer la limite de la fonction f en + \infty.
    b) Déterminer la limite de la fonction f en 0.

2. Soit f^{\prime} la fonction dérivée de la fonction f. Calculer f^{\prime}(x) pour tout réel x de ]0 ; +\infty[.
En déduire le tableau de variations de la fonction f sur ]0 ; +\infty[.

3. Montrer que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution dans ]0 ; +\infty[. On note \alpha cette solution. Déterminer un encadrement de \alpha à la précision 10-2.

4. Déterminer le signe de f(x) lorsque x appartient à ]0 ; +\infty[.

5. Montrer que \ln \alpha = \dfrac{1}{\alpha}.

Partie B : Calcul d'une intégrale

On donne en annexe la courbe \mathcal{C}, représentation graphique de la fonction f dans un repère orthonormé. On considère l'intégrale suivante :
\displaystyle I = \int_{\alpha}^4 f(x)\:\text{d}x.
Bac scientifique Antilles Guyane Septembre 2011 - terminale : image 1

1. Justifier que l'intégrale I est l'aire d'une partie du plan que l'on hachurera sur le graphique donné en annexe (à rendre avec la copie).

2. À l'aide d'une intégration par parties, calculer l'intégrale
J = \int_{\alpha}^4 x \ln x\:\text{d}x.


3. Montrer l'égalité : I = \dfrac{\alpha^2}{4} + \dfrac{\alpha}{2} + 16\ln 2 - 8.
En déduire une valeur approchée de I à 10-1 près.


5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

L'espace est muni d'un repère orthonormé (O ; \vec{i},\vec{j},\vec{k}).
On considère les trois points A, B et C de coordonnées respectives :
A(-1 ; 2 ; 1) , B(1 ; - 6 ; -1) et C (2 ; 2 ; 2).

1. a) Vérifier que les points A, B et C définissent bien un plan.
    b) Montrer que le vecteur \vect{n}\left(\begin{array}{r}1\\1\\- 3\end{array}\right) est un vecteur normal au plan (ABC).
    c) Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).

2. Soit P le plan d'équation : x - y + z - 4 = 0.
    a) Montrer que les plans (ABC) et P sont sécants.
    b) Soit D la droite intersection des plans P et (ABC). Déterminer une représentation paramétrique de la droite D.

3. On considère la sphère S de centre \Omega(3 ; 1 ; 3) et de rayon 3 et on nomme I le point de coordonnées (2 ; -1 ; 1). On admet que la droite D a pour représentation paramétrique:
\left\lbrace\begin{array}{l c r} x &=& 1 + t \\ y &=& -3 + 2t \\ z &=&t \end{array}\right. ,     t \in \mathbb{R}.

    a) Montrer que le point I appartient à la droite D.
    b) Montrer que le point I appartient à la sphère S.
    c) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Montrer que la droite D coupe la sphère S en un deuxième point.


5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

L'espace est muni d'un repère orthonormé (O ; \vec{i},\vec{j},\vec{k}).
On considère l'ensemble P des points M (x ; y ; z) de l'espace tels que :
 z = x^2 + y^2.

Les trois questions sont indépendantes.

1. a) Montrer que l'intersection de l'ensemble P et du plan d'équation z = 5 est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
    b) Déterminer la nature de l'intersection de l'ensemble P et du plan d'équation y = 1.

2. On considère la sphère S de centre O et de rayon \sqrt{6}.
    a) Donner une équation de la sphère S.
    b) Montrer que l'intersection de la sphère S et de l'ensemble P est un cercle.

3. Le but de cette question est de déterminer les points M(x ; y ; z) de l'ensemble P, dont les coordonnées sont des entiers relatifs, appartenant au plan d'équation - 3x + 2 y = 1 et vérifiant z \le 25.
    a) Donner un couple d'entiers relatifs solution de l'équation (E) : - 3x + 2y = 1.
    b) Déterminer l'ensemble des couples (x ; y) d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).
Déterminer les points de l'ensemble P dont les coordonnées (x ; y ; z) sont des entiers relatifs vérifiant :
-3x+2y = 1     et     z \le 25.



5 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (O ; \vec{u},\vec{v}) d'unité graphique 4 cm.

Partie A :

On note P le point d'affixe p = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}, Q le point d'affixe q = - \dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}, et K le point d'affixe - 1.

1. a) Montrer que les points P et Q appartiennent au cercle \Gamma de centre O et de rayon 1.
    b) Faire une figure et construire les points P et Q.

2. a) Déterminer l'ensemble D des points M d'affixe z tels que |z| = |z + 1|. Représenter cet ensemble sur la figure.
    b) Montrer que P et Q sont les points d'intersection de l'ensemble D et du cercle \Gamma.

Partie B :

On considère trois nombres complexes non nuls a,\: b et c. On note A, B et C les points d'affixes respectives a, b et c.
On suppose que l'origine O du repère (O ; \vec{u},\vec{v}) est à la fois le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit du triangle ABC.

1. a) Montrer que |a| = |b| = |c|. En déduire que \left|\dfrac{b}{a}\right| = \left|\dfrac{c}{a}\right| = 1.
    b) Montrer que a + b + c = 0.
    c) Montrer que \left|\dfrac{b}{a}\right| = \left|\dfrac{b}{a} + 1\right| = 1.
    d) En utilisant la partie A, en déduire que \dfrac{b}{a} = p ou \dfrac{b}{a} = q.

2. Dans cette question, on admet que \dfrac{b}{a} = p et \dfrac{c}{a} = q.
    a) Montrer que \dfrac{q - 1}{p - 1} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}.
    b) Montrer que \dfrac{q - 1}{p - 1} = \dfrac{c - a}{b - a}.
    c) Déduire des deux questions précédentes la nature du triangle ABC.


5 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Les parties A et B sont indépendantes

Un site internet propose des jeux en ligne.

Partie A :

Pour un premier jeu :
    si l'internaute gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la partie suivante est égale à \dfrac{2}{5}.
    si l'internaute perd une partie, la probabilité qu'il perde la partie suivante est égale à \dfrac{4}{5}.
Pour tout entier naturel non nul n, on désigne par G_{n} l'évènement «l'internaute gagne la nème partie» et on note p_{n} la probabilité de l'évènement G_{n}.
L'internaute gagne toujours la première partie et donc p_{1} = 1.

1. Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant :
Bac scientifique Antilles Guyane Septembre 2011 - terminale : image 2


2. Montrer que, pour tout n entier naturel non nul, p_{n+1} = \dfrac{1}{5}p_{n} + \dfrac{1}{5}.

3. Pour tout n entier naturel non nul, on pose u_{n} = p_{n} - \dfrac{1}{4}.
    a) Montrer que \left(u_{n}\right)_{n \in \N} est une suite géométrique de raison \dfrac{1}{5} et de premier terme u_{1} à préciser.
    b) Montrer que, pour tout n entier naturel non nul, p_{n} = \dfrac{3}{4} \times \left(\dfrac{1}{5}\right)^{n - 1}  + \dfrac{1}{4}.
    c) Déterminer la limite de p_{n}.

Partie B :

Dans un second jeu, le joueur doit effectuer 10 parties.
On suppose que toutes les parties sont indépendantes.
La probabilité de gagner chaque partie est égale à \dfrac{1}{4}.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées par le joueur.

1. a) Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ? Justifier.
    b) Quelle est la probabilité que le joueur gagne au moins une partie ? Le résultat sera arrondi à 10-2 près.
    c) Déterminer l'espérance de X.

2. Le joueur doit payer 30 € pour jouer les 10 parties. Chaque partie gagnée lui rapporte 8 €.
    a) Expliquer pourquoi ce jeu est désavantageux pour le joueur.
    b) Calculer la probabilité pour un joueur de réaliser un bénéfice supérieur à 40 € ? Le résultat sera arrondi à 10-5 près.
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