Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de la Gestion
Spécialités : Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information.
Session Avril 2011 - Pondichéry

Mercatique, comptabilité et finance d'entreprise
Durée de l'épreuve : 3 heures Coefficient : 3

Gestion des systèmes d'information
Durée de l'épreuve : 3 heures Coefficient : 4

Calculatrice autorisée, conformément à la circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999.

Le candidat doit traiter les quatre exercices.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.
(Une feuille de papier millimétré est fournie).

4 points

exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chaque question, quatre réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Chaque bonne réponse rapporte un point. Aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.

Suite à l'envoi de bons de réduction par internet, le service marketing d'un magasin de prêt-à-porter effectue une enquête sur les clients du magasin.
Cette enquête a montré que :
    40 % des clients possédaient un bon de réduction.
    80 % des clients munis d'un bon de réduction ont acheté un vêtement.
    30 % des clients ne possédant pas de bon de réduction ont acheté un vêtement.

On interroge au hasard un client sortant du magasin. On appelle $p$ la probabilité associée à cette expérience aléatoire.
On considère les évènements suivants :
$R$ : « Le client avait un bon de réduction »
$V$ : « Le client a acheté un vêtement »
$\overline{R}$ est l'évènement contraire de l'évènement $R$ et $\overline{V}$ est l'évènement contraire de l'évènement $V$ .
On rappelle qu'on note $p_{R}(V)$ la probabilité de l'évènement $V$ sachant l'évènement $R$ .
La situation peut se traduire par l'arbre ci-dessous :

Bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Pondichéry Avril 2011 - terminale : image 1

1. La probabilité de l'évènement « $R$ et $V$ », noté $R \cap V$ est égale à :

a) 0,32

b) 0,8

c) 0,4

d) 1,2

2. La probabilité de l'évènement $V$ est égale à :

a) 0,18

b) 1,1

c) 0,05

d) 0,5

3. Sachant que le client n'avait pas de bon de réduction, la probabilité qu'il n'ait pas acheté de vêtement est égale à :

a) 0,42

b) 0,7

c) 0,6

d) 0,9

4. Sachant que le client interrogé au hasard a acheté un vêtement, la probabilité qu'il ait eu un bon de réduction est égale à :

a) $\dfrac{p(V \cap R)}{p(V)}$

b) $p(V) \times p(R)$

c) $p_{R}(V)$

d) $p(V) \times p_{V}(R)$

6 points

exercice 2

Afin d'acquérir un nouveau local, un chef d'entreprise décide de contracter un emprunt d'un montant de 100 000 euros. Dans le but d'obtenir les meilleures conditions pour ce prêt, il a contacté deux établissements bancaires SOMI et PRODI.
L'établissement SOMI lui propose de rembourser ce prêt sur 6 ans, en 6 annuités, chacune des annuités, exprimée en euros, étant un des termes consécutifs d'une suite arithmétique $\left(u_{n}\right)$ de premier terme $u_{0} = 15 000$ et de raison $a = 1 800$ .
L'établissement PRODI lui propose également de rembourser ce prêt sur 6 ans en 6 versements à des conditions différentes. Le premier versement annuel est de 18 000 euros ; les remboursements suivants subissent une augmentation de 2 % l'an.
Pour étudier les deux offres, le chef d'entreprise réalise la feuille de calcul suivante :

	A	B	C	D	E
1	Année	SOMI	PRODI	$a$	$b$
2	2010	15 000	18 000	1 800	1,02
3	2011	16 800	18 360
4	2012	18 600
5	2013	20 400
6	2014	22 200
7	2015	24 000
8	Somme remboursée :

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A : offre de l'établissement SOMI

1. Déterminer le taux global d'évolution des annuités entre 2010 et 2015.

2. Le directeur de l'établissement SOMI prétend que le taux d'évolution annuel moyen des annuités entre 2010 et 2015 est de 12 %. A-t-il raison ? Justifier la réponse.

3. Quelle formule a été entrée dans la cellule B3 et recopiée vers le bas pour compléter la plage de cellules B4 : B7 ?

Partie B : offre de l'établissement PRODI

1. a) Que signifie le nombre 1,02 inscrit dans la cellule E2 ?
b) Chacune des annuités de l'offre PRODI, exprimée en euros, est un des termes consécutifs d'une suite $\left(v_{n}\right)$ avec $v_{0} = 18 000$ . Quelle est la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ ? Justifier la réponse.

2. Donner une formule qui, entrée dans la cellule C3, permet par recopie vers le bas d'obtenir le contenu des cellules de la plage C4 : C7 ?

Partie C : comparaison des deux offres

1. Quelles formules faut-il entrer dans les cellules B8 et C8 pour obtenir les sommes remboursées aux établissements SOMI et PRODI ?

2. Calculer la valeur affichée dans la cellule B8 et celle affichée dans la cellule C8 (on arrondira les résultats à l'euro).

Dans cette question, on pourra utiliser le formulaire suivant :
    La somme $S$ des $n + 1$ premiers termes d'une suite arithmétique $\left(u_{n}\right)$ est donnée par :
    $S = u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n} = (n + 1) \times \dfrac{u_{0} + u_{n}}{2}$ .
    La somme $S$ des $n + 1$ premiers tennes d'une suite géométrique $\left(u_{n}\right)$ de raison $q\, (q \neq 1)$ est donnée par :
    $S = u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n} = u_{0}\times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ .

3. En déduire celui des deux établissements qui offre au chef d'entreprise la solution la plus avantageuse.

5 points

exercice 3

Voici la cote ARGUS d'une voiture d'occasion :

Année de mise en circulation	2009	2008	2007	2006	2005	2004
Âge de la voiture en année $\left(x_{i}\right)$	0	1	2	3	4	5
Cote argus en euros $\left(y_{i}\right)$	36 300	32 300	27 900	25 000	22 400	20 600

(Source : « Occasions Mag », juillet-août-septembre 2010)
Ci-dessous, on a représenté dans un repère le nuage de points de la série statistique $\left(x_{i} ; y_{i}\right)$ .
On note $x$ l'âge de la voiture (en années) et $y$ la cote argus (en euros).

Bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Pondichéry Avril 2011 - terminale : image 2

Partie A : premier modèle

On réalise un ajustement affine du nuage de points.

1. Déterminer à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite $(D)$ d'ajustement affine de $y$ en $x$ , par la méthode des moindres carrés, sous la forme $y = ax + b$ . Arrondir les coefficients $a$ et $b$ au centième.
Pour la suite, on prendra comme équation de la droite $(D)$ : $y = - 3 174x + 35 352$ .

2. En utilisant cet ajustement, calculer une estimation de la cote argus de cette voiture mise en circulation en 2003.

3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
En choisissant la méthode de votre choix, déterminer l'âge à partir duquel la cote argus de la voiture sera inférieure à 7 000 euros.

Partie B : deuxième modèle

La forme du nuage de points permet d'envisager un ajustement exponentiel $y = f(x)$ où $f$ est la fonction définie sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$ par : $f(x) = \text{e}^{-0,12x + 10,5}$ .
En utilisant cet ajustement, calculer une estimation de la cote argus de la voiture mise en circulation en 2003. (On donnera une réponse arrondie à l'euro).

Partie C : exploitation des modèles

La cote argus réelle de cette voiture mise en circulation en 2003 est de 18 000 euros.

1. Quel ajustement se rapproche le plus de la réalité ?

2. Quel est le pourcentage d'erreur commise avec cet ajustement par rapport à la cote réelle.
On donnera le résultat arrondi à 0,1 %.

5 points

exercice 4

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [1 ; 8] par $f(x) = 30 \ln (x) + 10 - 10x$ .

1. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [1 ; 8] et on note $f'$ sa fonction dérivée.
Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [1 ; 8], $f'(x) = \dfrac{30 -1 0x}{x}$ .

2. Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [1 ; 8] et en déduire le tableau de variations de la fonction $f$ .

3. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant. (On arrondira les résultats au dixième).

$x$	1	2	3	4	5	6	7	8
$f(x)$				11,6

4. Représenter graphiquement la fonction $f$ dans un repère orthonormé.
Unités graphiques : 1 cm pour 1 unité.

Chaque jour un artisan fabrique $x$ objets ( $x$ étant compris entre 1 et 8). $\text{[math]}$ Le bénéfice, en dizaines d'euros, réalisé pour la vente de ces $x$ objets est égal à $f(x)$ .

5. Combien faut-il produire d'objets pour que le bénéfice soit maximal ? Que vaut ce bénéfice maximal à un euro près ?

6. Déterminer à partir de quelle quantité d'objets l'artisan travaille à perte.

Voir la correction

exercice 1

A l'aide des données de l'énoncé, on obtient :

Bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Pondichéry Avril 2011 - terminale : image 3

1. $R \cap V$ : "Le client avait un bon de réduction et le client a acheté un vêtement", ce qui correspond à la première branche de l'arbre :
$p(R \cap V) = 0,4 \times 0,8 = 0,32$
Réponse a)

2. $V$ : "Le client a acheté un vêtement".
Soit le client a un bon de réduction et il achète un vêtement : $p(R \cap V) = 0,32$
Soit le client n'a pas de bon de réduction et il achète un vêtement : $p( \overline{R} \cap V) = 0,6 \times 0,3 = 0,18$
Donc $p(V) = p(R \cap V) + p( \overline{R} \cap V) = 0,32 + 0,18 = 0,5$
Réponse d)

3. Sachant que le client n'avait pas de bon de réduction, la probabilité qu'il n'ait pas acheté de vêtement est égale à, d'après l'arbre :
$p_{\overline{R}}(\overline{V}) = 0,7$
Réponse b)

4. Sachant que le client interrogé au hasard a acheté un vêtement, la probabilité qu'il ait eu un bon de réduction est égale à $p_{V}(R)$ , qui est égale à : $\dfrac{p(V \cap R)}{p(V)}$
Réponse a)

exercice 2

Partie A : offre de l'établissement SOMI

1. On a : $\dfrac{24 000 - 15 000}{15 000} = \dfrac{9 000}{15 000} = 0,6$
Le taux global d'évolution des annuités entre 2010 et 2015 est de 60%.

2. De la première à la cinquième année, les annuités ont été multipliées par : $\dfrac{24 000}{15 000} = 1,6.$ On cherche donc le taux d'évolution annuel moyen $t$ tel que $(1 + t)^5 = 1,6$ .
Donc : $t = 1,6^{\dfrac{1}{5}} - 1 \approx 0,0986$ soit environ 9,86 %.
Le directeur de l'établissement SOMI n'a donc pas raison.

3. La formule entrée dans la cellule B3 est $\fbox{=B2+1800}.$

Partie B : offre de l'établissement PRODI

1. a) Chaque année, les remboursement subissent une augmentation de 2%, ce qui signifie que chaque année, la mensualité est multipliée par $\left( 1 + \dfrac{2}{100} \right),$ c'est-à-dire par 1,02.

1. b) Chaque année, la mensualité est multipliée par 1,02. La suite $(v_n)$ est donc une suite géométrique de premier terme $v_0 = 18 000$ et de raison 1,02.

2. La formule entré dans la cellule C3 est $\fbox{=1,02*C2}$

Partie C : comparaison des deux offres

1. La formule à écrire dans la cellule B8 est $\fbox{=SOMME(B2:B7)}$ . La formule à écrire dans la cellule C8 est $\fbox{=SOMME(C2:C7)}$ .

2. Valeur affichée dans la cellule B8 :
Les mensualités sont les premiers termes d'une suite arithmétique de premier terme 15 000 et de raison 1 800. La somme des mensualités est donc égale à :
$(5+1)\times \dfrac{15000 + 24000}{2} = 117 000$
La valeur affichée dans la cellule B8 est 117000.

Valeur affichée dans la cellule C8 :
Les mensualités sont les premiers termes d'une suite géométrique de premier terme 18 000 et de raison 1,02. La somme des mensualités est donc égale à :
$18 000 \times \dfrac{1 - 1,02^{5+1}}{1 - 1,02} \approx 113 546$
La valeur affichée dans la cellule C8, arrondie à l'unité, est 113546.

3. On a 113546 < 117000, donc l'établissement PRODI offre au chef d'entreprise la solution la plus avantageuse.

exercice 3

Partie A : premier modèle

1. A l'aide de la calculatrice, on obtient : $y = - 3174,29 x + 35 352,38$

2. L'année 2003 correspond à $x = 6,$ donc : $y = - 3174 \times 6 + 35 352 = 16 308$
La cote argus de cette voiture mise en circulation en 2003 est de 16 308 euros.

3. La cote argus en fonction de l'âge de la voiture $x$ est donnée par $- 3174 x + 35 352$ . Pour déterminer l'âge à partir duquel la cote argus de la voiture sera inférieure à 7000 euros, il faut résoudre l'inéquation suivante :
$- 3174 x + 35 352 < 7 000\\ -3 174 x < -28 352\\ x > \dfrac{28 352}{3 174}$
Or $\dfrac{28 352}{3 174} \approx 8,9$ , donc à partir de la neuvième année, soit en 2008, la cote argus de la voiture sera inférieure à 7 000 euros.

Partie B : deuxième modèle

L'année 2003 correspond à $x = 6,$ donc : $y = e^{-0,12 \times 6 + 10,5} = e^{9,78} \approx 17 677$
La cote argus de cette voiture mise en circulation en 2003 est d'environ 17 677 euros.

Partie C : exploitation des modèles

1. L'ajustement exponentiel se rapproche le plus de la réalité.

2. On a : $\dfrac{18000-17677}{18 000} \times 100 \approx 1,79$
Le pourcentage d'erreur commise avec cet ajustement par rapport à la cote réelle est d'environ 1,8%.

exercice 4

1. $f$ est dérivable sur l'intervalle [1 ; 8]. On a :
$f'(x) = 30 \times \dfrac{1}{x} - 10\\ f'(x) = \dfrac{30}{x} - 10 \\ f'(x) = \dfrac{30 - 10x}{x}$

2. Sur l'intervalle [1 ; 8], $x > 0.$ Le signe de $f'(x)$ est donc celui du numérateur $30 - 10 x.$
On a $30 - 10 x > 0$ qui équivaut à $- 10 x > - 30$ qui équivaut à $x < 3.$ Donc :
Si $1 \leq x < 3, f'(x) > 0.$ La fonction $f$ est donc croissante sur l'intervalle [1 ; 3[.
Si $x = 3, f'(x) = 0$
Si $3 < x \leq 8, f'(x) < 0.$ La fonction $f$ est donc décroissante sur l'intervalle ]3 ; 8].
D'où le tableau de variations :
$\begin{tabvar}{|C|LCCCR|} \hline x & 1 & & 3 & & 8\\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & \\ \hline f(x) & \niveau{1}{3} 0 & \croit & f(3) & \decroit & f(8) \\ \hline \end{tabvar}$

3.

$x$	1	2	3	4	5	6	7	8
$f(x)$	0	10,8	13,0	11,6	8,3	3,8	-1,6	-7,6

Bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Pondichéry Avril 2011 - terminale : image 4

5. La fonction $f$ admet un maximum sur l'intervalle [1 ; 8] pour $x = 3.$ Le bénéfice est donc maximal pour 3 objets. Ce bénéfice maximal vaut alors $f(3),$ c'est-à-dire environ 130 euros.

6. A partir de 7 objets, l'artisan travaille à perte.

Publié par Cel/Cel le 30-11--0001

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