Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de la Gestion
Spécialité : Communication et Gestion des Ressources Humaines
Métropole - Session Septembre 2011

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Durée de l'épreuve : 2 heures         Coefficient : 2

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
5 points

exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM)
Pour chaque question, parmi les trois réponses proposées, une seule est correcte.
Pour chaque question, indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point, une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point.

1. On place 250 euros au taux annuel de 3%. Le tableau suivant donne l'évolution du capital arrondi au dixième.
 ABC
1Année nCapitalTaux
202503
31257,5 
42265,2 
53273,2 
64281,4 
75289,8 

La formule entrée dans la cellule B3 et recopiée pour obtenir le contenu des cellules de la plage B3 : B7 est :
= B2*(1 + $C$2/100) = B$2*(1 +C2/100) = $B$2 *(1 + $C$2/100)


2. Au cours des trois dernières années, le prix d'un produit a successivement augmenté de 10% la première année, puis de 6% la deuxième année et de 5% la dernière année. Le taux d'évolution global sur ces trois ans est :
7% 21% 22,43%


3. Un prix a subi une baisse de 16% un mois puis une nouvelle baisse de 4% le mois suivant. Le taux de baisse mensuel moyen de ce prix sur ces deux mois, arrondi à 0,1%, est :
10% 21% 10,2%


4. On considère la suite géométrique \left(u_{n}\right) de terme initial u_{0} =  0,5 et de raison 2.
Le quinzième terme de la suite \left(u_{n}\right) est :
u_{14} = 28,5 u_{14}  = 8192 u_{15} = 16384



8 points

exercice 2

Un magasin offre un choix de téléviseurs ayant des écrans de deux types: LCD ou plasma.
30% des écrans proposés sont de type plasma. 60% des écrans plasma et 50% des écrans LCD sont soldés.
Un téléviseur est choisi au hasard dans le catalogue du magasin. On admet que tous les téléviseurs ont la même probabilité d'être choisis. On note :
    P l'évènement : «l'écran est de type plasma»,
    L l'évènement : «l'écran est de type LCD»,
    S l'évènement : «le téléviseur est soldé».

1. \overline{S} étant l'évènement contraire de l'évènement S, traduire par une phrase l'évènement \overline{S}.

2. Compléter l'arbre de probabilités donné dans l'annexe à rendre avec la copie.
bac STG Communication et Gestion des Ressources Humaines Métropole Septembre 2011 - terminale : image 1


3. a) Traduire par une phrase l'évènement P \cap S.
    b) Calculer p(P \cap S) et p(L \cap S).

4. Montrer que la probabilité qu'un téléviseur choisi au hasard soit soldé est égale à 0,53.

5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
On prélève au hasard un téléviseur parmi ceux qui sont soldés. Quelle est la probabilité pour que ce téléviseur ait un écran LCD ? On arrondira le résultat au centième.

6. Les évènements L et S sont-ils indépendants ? Justifier.


8 points

exercice 3

Une entreprise commercialise une boisson énergisante depuis 2002.
Le tableau ci-dessous donne le nombre, exprimé en millions, de boissons vendues chaque année entre 2002 et 2011.
Année2002200320042005200620072008200920102011
Rang x_{i}12345678910
Nombre y_{i} de boissons vendues (en millions)2,93,54,96,56,97,28,38,78,99,3


Partie A : modélisation par un ajustement affine

1. Représenter, sur une feuille de papier millimétré, le nuage de points \left(x_{i} ; y_{i}\right) dans un repère orthonormal. On prendra comme unités graphiques 1 cm sur chaque axe.

2. a) À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite \mathcal{D} qui réalise un ajustement affine du nuage de points de coordonnées \left(x_{i} ; y_{i}\right) obtenu par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au centième.
    b) Tracer la droite \mathcal{D} dans le repère défini à la question 1.
En supposant que l'ajustement affine réalisé reste valable jusqu'en 2015, déterminer le nombre de boissons qui seront vendues en 2013.

Partie B : modélisation par une fonction

On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; 20] par :
f(x) = 15 - 285 \times \dfrac{1}{ 3x + 20}
La courbe représentative de la fonction f est donnée dans l'annexe à rendre avec la copie.
bac STG Communication et Gestion des Ressources Humaines Métropole Septembre 2011 - terminale : image 2


1. a) Recopier et compléter à l'aide de la calculatrice le tableau suivant :
On arrondira les résultats au centième.
x012345678910
f(x)0,752,61         

    b) Quelle conjecture peut-on faire concernant le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 20] ?
    c) On rappelle que la dérivée de l'inverse d'une fonction u est donnée par la formule suivante : \left(\dfrac{1}{u} \right)^{\prime} = \dfrac{- u^{\prime}}{u^2}.
Vérifier par le calcul que f^{\prime}(x) = \dfrac{855}{(3x + 20)^2}.
    d) Utiliser la question précédente pour valider ou non la conjecture émise à la question 1. b).

2. On admettra dans la suite de l'exercice que la fonction f peut-être considérée comme une modélisation valable des ventes de boissons énergisantes jusqu'en 2020, l'année 2002 étant prise comme année de rang 0.
    a) À l'aide de la fonction f, faire une prévision des ventes pour l'année 2015.
    b) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

À partir de quelle année la quantité de boissons vendues est-elle supérieure à 10,8 millions ?
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