Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de la Gestion
Spécialités : Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des Systèmes d'Information.
Session Juin 2011 - Polynésie Française

Mercatique, comptabilité et finance d'entreprise
Durée de l'épreuve : 3 heures Coefficient : 3

Gestion des systèmes d'information
Durée de l'épreuve : 3 heures Coefficient : 4

Calculatrice autorisée, conformément à la circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999.

Le candidat doit traiter les quatre exercices.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.

4 points

exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chaque question, quatre réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Chaque bonne réponse rapporte un point. Aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse

I. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x\text{e}^x$ . Sa dérivée $f'$ est définie par :

a) $f'(x) = 2\text{e}^x$	b) $f'(x) = 2 + \text{e}^x$
c) $f'(x) = (2x + 2 )\text{e}^x$	d) $f'(x) = 2x\text{e}^x$

II. La courbe ci-dessous représente une fonction $g$ définie sur l'intervalle $[- 2 ; 6]$ .

Bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Polynésie Française Juin 2011 - terminale : image 1

1. La fonction $g$ est dérivable sur $[- 2 ; 6]$ et l'on note $g'$ sa fonction dérivée.
Parmi les quatre courbes données ci-dessous, indiquer laquelle représente $g'$ .

Bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Polynésie Française Juin 2011 - terminale : image 2

2. Le nombre de solutions de l'équation $g(x)=0$ sur l'intervalle $[- 2 ; 6]$ est :

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

3. Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ au point d'abscisse 4 est :

a) $y = x - 2$

b) $x = - 2$

c) $y = - 2$

d) $x = 2$

5 points

exercice 2

Un concessionnaire de voitures possède un parc de véhicules d'occasion et de véhicules neufs, de deux marques différentes : la marque A et la marque B.
En faisant le bilan de l'année passée, il constate que 20% de ses ventes concernent des voitures neuves. Parmi ces voitures neuves vendues, 3 véhicules sur 10 sont de la marque A.
On tire au hasard une fiche client et on note :
    $N$ l'évènement : «la fiche est celle d'un client ayant acheté une voiture neuve»,
    $O$ l'évènement : «la fiche est celle d'un client ayant acheté une voiture d'occasion»,
    $A$ l'évènement : «la fiche est celle d'un client ayant acheté une voiture de marque A»,
    $B$ l'évènement : «la fiche est celle d'un client ayant acheté une voiture de marque B».
Toutes les probabilités demandées seront données sous forme décimale.

1. Donner, à partir des informations de l'énoncé :
    a) La probabilité $p(N)$ de l'évènement $N$ ,
    b) La probabilité $p_{N}(A)$ de l'évènement A sachant $N$ .

2. Recopier et compléter au fur et à mesure l'arbre pondéré suivant avec les probabilités correspondant à chaque branche.

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3. En déduire la probabilité $p(O)$ de l'évènement $O$ et la probabilité $p_{N}(B)$ de l'évènement $B$ sachant $N$ .
    a) Calculer la probabilité que la fiche concerne un client ayant acheté une voiture neuve de marque B.
    b) Le concessionnaire constate que 62% des clients ont acheté une voiture de marque B.
Démontrer que, la probabilité que la fiche concerne un client ayant acheté un véhicule d'occasion de marque B est : $p(O \cap B) = 0,48$ .
    c) En déduire la probabilité que le véhicule soit de la marque B sachant qu'il a été acheté d'occasion.

4. Les évènements $B$ et $O$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.

6 points

exercice 3

On s'intéresse au tarif d'affranchissement postal en France depuis l'année 2002. Le tableau suivant donne l'évolution du prix du timbre poste au cours de ces huit dernières années.

Année	2002	2003	2005	2006	2008	2009	2010
Prix du timbre (en euros)	0,46	0,50	0,53	0,54	0,55	0,56	0,58

Source : ARCEP (Autorité de régulation des communications électroniques et des postes)

Partie A

Les prix demandés seront arrondis au centime. Les taux seront donnés en pourcentages arrondis à 0,1%

1. Déterminer le taux d'évolution du prix du timbre entre 2002 et 2010.

2. Déterminer le taux d'évolution annuel moyen du prix du timbre durant ces huit années.

3. L'ARCEP a décidé qu'entre 2009 et 2011 le taux d'évolution annuel moyen du prix du timbre poste ne pourrait dépasser 2,3%.
Si le prix du timbre augmentait de 1 centime en 2011, la décision de l'ARCEP serait-elle respectée ?

Partie B

On désire réaliser une étude de l'évolution du prix du timbre, à l'aide d'une feuille de calcul, en partant d'un prix de 0,59 € en 2012 et en appliquant une augmentation annuelle de 2,3% à partir de cette date.
On définit la suite $\left(v_{n}\right)$ où $v_{n}$ représente la valeur estimée, selon ce modèle, du prix du timbre l'année $(2012 + n)$ .
On a ainsi $v_{0} = 0,59$ correspondant au prix du timbre en 2012.
On obtient la feuille de calcul suivante :
Les cellules de la plage B2 : B10 sont au format nombre à deux décimales.

	A	B	C
1	$n$	$v_{n}$
2	0	0,59
3	1	0,60
4	2	0,62
5	3
7	5
8	6
9	7
10	8

1. Quelle est la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ ? Donner la raison de cette suite.

2. Donner une formule qui, écrite dans la cellule B3, permet d'obtenir, par recopie vers le bas, la plage de cellules B4 : B10 ?

3. Quel serait alors le prix du timbre en 2017 ?

4. Selon ce modèle, en quelle année le prix du timbre poste dépasserait-il 75 centimes d'euro ?

5 points

exercice 4

Un propriétaire de camping désire aménager son terrain avec des bungalows et des mobil-homes.
La taille de son terrain lui impose un maximum de 50 installations. Il peut loger 6 personnes par bungalow et 4 personnes par mobil-home. L'infrastructure du camping ne l'autorise pas à dépasser le nombre de 240 clients par semaine.
On notera $x$ le nombre de bungalows et $y$ le nombre de mobil-homes que le propriétaire désire installer.

1. Décrire par un système d'inéquations les contraintes du problème en justifiant vos affirmations.

2. Justifier que le système demandé est équivalent au système (S) suivant : $(\text{S})\quad\left\lbrace\begin{array}{l c l} x&\ge&0 \\ y&\ge&0 \\ y&\le& - x + 50 \\ y&\le& - 1,5x + 60 \end{array}\right.$ où $x$ et $y$ sont des nombres entiers.

3. Sur le graphique donné ci-dessous, on a tracé dans un repère orthogonal, les droites $\left(d_{1}\right)$ et $\left(d_{2}\right)$ d'équations respectives $y = - x + 50$ et $y = -1,5x + 60$ .

Bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Polynésie Française Juin 2011 - terminale : image 4

Déterminer graphiquement, en hachurant la partie du plan qui ne convient pas, l'ensemble des points $M$ du plan dont les coordonnées $(x ; y)$ vérifient le système (S).

4. Préciser en justifiant si le propriétaire peut installer sur son terrain et louer :
    a) 10 bungalows et 35 mobil-homes ?
    b) 30 bungalows et 20 mobil-homes ?

5. Un bungalow se loue 500 € la semaine et un mobil-home 400 € la semaine. Soit $R$ le revenu hebdomadaire que recevra le propriétaire.
    a) Exprimer $R$ en fonction de $x$ et $y$ .
    b) Déterminer une équation de la droite $(d)$ correspondant à un revenu hebdomadaire de 12 000 €, puis tracer cette droite sur le graphique.
    c) En justifiant la démarche, déterminer graphiquement le couple $(x ; y)$ qui permet d'obtenir un revenu hebdomadaire maximum.
    d) Préciser combien d'installations de chaque type doit acquérir le propriétaire pour obtenir le revenu maximum. Calculer alors ce revenu.

Correction

exercice 1

I. Réponse c)
$f$ est une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ . $f$ est de la forme $uv$ , donc $f' = u'v + u v'$ .
Donc, pour tout $x$ réel, on a : $f'(x) = 2e^x + 2xe^x = (2x + 2)e^x$

II. 1. Réponse b)
A l'aide de la représentation graphique de $g$ , on sait que $g$ est croissante sur [-2 ; 0] et sur [4 ; 6] et que $g$ est décroissante sur [0 ; 4].
On en déduit que $g'$ est positive sur [-2 ; 0] et sur [4 ; 6] et est négative sur [0 ; 4].
La seule courbe satisfaisant ces conditions est la b).

2. Réponse d)
Sur [-2 ; 6], la courbe représentative de la fonction $g$ coupe l'axe des abscisses trois fois.
Donc l'équation $g(x) = 0$ admet trois solutions sur l'intervalle [-2 ; 6].

3. Réponse c)
La tangente au point d'abscisse 4 est parallèle à l'axe des abscisses, donc l'équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ est de la forme $y = b$ (et $g(4) = -2$ ).

5 points

exercice 2

1. a) 20% des ventes concernent des voitures neuves, donc : $\boxed{p(N) = \frac{20}{100} = 0,2}$

1. b) $p_{N}(A)$ est la probabilité qu'un client achète une voiture de marque A sachant qu'elle est neuve.
Parmi les voitures neuves, 3 véhicules sur 10 sont de la marque A.
Donc : $\boxed{p_{N}(A) = \frac{3}{10} = 0,3}$

2. Arbre pondéré complété :

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3.
L'événement O (le client achète une voiture d'occasion) est l'événement contraire de N (le client achète une voiture neuve).
Donc p(O) = 1 - p(N) = 1 - 0,2
D'où : $\boxed{p(O) = 0,8}$
L'événement B sachant N et l'événement A sachant N sont incompatibles, donc : p_N(B) + p_N(A) = 1.
Donc : p_N(B) = 1 - p_N(A) = 1 - 0,3
D'où : $\boxed{p_N(B) = 0,7}$

3. a) La fiche concerne un client ayant acheté une voiture neuve de marque B correspond à l'événement : $N \cap B$ .
$p(N \cap B) = p(N) \times p_N(B) = 0,2 \times 0,7 = 0,14$
D'où : $\boxed{p(N \cap B) = 0,14}$

3. b) Le concessionnaire constate que 62% des clients ont acheté une voiture de marque B, donc : $\boxed{p(B) = 0,62}$
On a : $B = (B \cap N) \cup (B \cap O)$
Les événements $B \cap N$ et $B \cap O$ étant incompatibles, on a : $p(B) = p(B \cap N) + p(B \cap O)$ .
Donc $p(B \cap O) = p(B) - p (B \cap N) = 0,62 - 0,14$
$\boxed{p(B \cap O) = 0,48}$

3. c) $p_O(B) = \dfrac{p(B \cap O)}{p(O)} = \dfrac{0,48}{0,8} = 0,6$
La probabilité que le véhicule soit de la marque B sachant qu'il a été acheté d'occasion est 0,6.

4. On a : p(B) × p(O) = 0,62 × 0,8 = 0,496
Or, $p(B \cap O) = 0,48 \neq 0,496$
Donc les événements $B$ et $O$ ne sont pas indépendants.

exercice 3

Partie A

1. En 2002, le timbre coûtait 0,46 €. En 2010, il coûte 0,58 €.
On a : $\dfrac{0,58 - 0,46}{0,46} \times 100 \approx 26,1$
Donc le taux d'évolution du prix du timbre entre 2002 et 2010 est d'environ 26,1 %.

2. Déterminer le taux d'évolution annuel moyen du prix du timbre durant ces huit années.

3. Calculons le coefficient multiplicateur pour passer de 0,56 à 0,59 : $\dfrac{0,59}{0,56} \approx 1,054$
Le taux moyen vaut alors après augmentation :

1. Le prix du timbre l'année [tex](2010 + n)" alt="1,054^{\frac{1}{2}} - 1 \approx 0,027[tex] soit environ 2,7%.
D'où : si le prix du timbre augmente de 1 centime en 2011, la décision de l'ARCEP ne serait pas respectée.

Partie B

1. Le prix du timbre l'année [tex](2010 + n)" class="tex" /> est donné par $v_n$ .
L'année $(2010 + n + 1)$ , le prix du timbre aura augmenté de 2,3 %, donc : $v_{n+1} = v_n + \dfrac{2,3}{100} v_n = 1,023 v_n.$
$(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison 1,023.

2. La formule est : $\boxed{=B2*1,023}$

3. On : 2017 = 2012 + 5 ( $n = 5$ )
On cherche $v_5$ .
$(v_n)$ est une suite géométrique de raison 1,023. On a donc : $v_n = 1,023^n \times v_0 = 1,023^n \times 0,59$
Donc : $v_5 = 1,023^5 \times 0,59 \approx 0,66$
Le prix du timbre en 2017 serait alors de 0,66 €.

4. On cherche $n$ tel que $v_n \geq 0,75$ , ce qui équivaut à :
$1,023^n \times 0,59 \geq 0,75\\ 1,023^n \geq \dfrac{0,75}{0,59}\\ \ln(1,023^n) \geq \ln \left( \dfrac{0,75}{0,59} \right) \; \text{ car la fonction } \ln \text{ est croissante sur } ]0 ; +\infty [ \\ n \ln(1,023) \geq \ln \left( \dfrac{0,75}{0,59} \right) \\ n \geq \dfrac{ \ln \left( \dfrac{0,75}{0,59} \right) }{ \ln(1,023) }$
Or, $\dfrac{ \ln \left( \dfrac{0,75}{0,59} \right) }{ \ln(1,023) } \approx 10,55$
Donc : selon ce modèle, le prix du timbre poste dépasserait 75 centimes d'euro en 2012 + 11, c'est-à-dire en 2023.

exercice 4

1. Soit $x$ le nombre de bungalows ( $x \geq 0$ et $x$ est un nombre entier) et soit $y$ le nombre de mobil-homes ( $y \geq 0$ et $y$ est un nombre entier) que le propriétaire désire installer.
La taille du terrain impose un maximum de 50 installations, donc : $x + y \leq 50$ .
Il peut loger 6 personnes par bungalow. Il y a $x$ bungalows. Il pourra donc loger $6x$ personnes au total dans les bungalows.
Il peut loger 4 personnes par mobil-home. Il y a $y$ mobil-homes. Il pourra donc loger $4y$ personnes au total dans les mobil-homes.
Le nombre total de personnes ne doit pas dépasser 240, donc : $6 x + 4 y \leq 240$ .
D'où le système :
$\left \lbrace \begin{array}{l} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + y \leq 50 \\ 6x + 4y \leq 240 \end{array} \text{ où } x \text{ et } y \text{ sont des nombres entiers} \right.$

2. $x + y \leq 50$ équivaut à $y \leq - x + 50$
$6 x + 4y \leq 240$ équivaut successivement à :
$\dfrac{6x + 4y}{4} \leq \dfrac{240}{4}\\ 1,5 x + y \leq 60 \\ y \leq - 1,5 x + 60$
D'où : le système de la question précédente est équivalent au système (S).

3. Déterminons graphiquement, en hachurant la partie du plan qui ne convient pas, l'ensemble des points $M$ du plan dont les coordonnées $(x ; y)$ vérifient le système (S) :

Bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Polynésie Française Juin 2011 - terminale : image 6

4. a) Pour $x = 10$ et $y = 35$ , on a :
$-x + 50 = -10 + 50 = 40$ et $35 \leq 40$
$-1,5x + 60 = -1,5 \times 10 + 60 = 45$ et $35 \leq 45$
Les conditions du système (S) sont donc vérifiées. Le propriétaire peut installer sur son terrain et louer 10 bungalows et 35 mobil-homes.

4. b) Pour $x = 30$ et $y = 20$ , on a :
$-x + 50 = - 30 + 50 = 20$ et $20 \leq 20$
$-1,5 x + 60 = -1,5 \times 30 + 60 = 15$ et 20 > 15.
Les conditions du système (S) ne sont donc pas vérifiées. Le propriétaire ne peut pas installer sur son terrain et louer 30 bungalows et 20 mobil-homes.

5. a) Un bungalow se loue 500 € la semaine, donc la location de $x$ bungalows lui rapportent $500 x$ € par semaine.
Un mobil-home 400 € la semaine, donc la location de $x$ mobil-homes lui rapportent $400 x$ € par semaine.
Le revenu hebdomadaire que recevra le propriétaire est donc : $R = 500 x + 400 y.$

5. b) Une équation de la droite $(d)$ correspondant à un revenu hebdomadaire de 12 000 € est : $500x + 400y = 12 000$ , soit :
$400 y = 12 000 - 500 x \\ y = -\dfrac{500}{400} x + \dfrac{12000}{400} \\ y = - 1,25 x + 30$
L'équation réduite de (d) est $y = -1,25 x + 30$
On a :
pour $x = 0, \, y = 30$
pour $x = 20, \, y = -1,25 \times 20 + 30 = 5$
La droite (d) passe par les points de coordonnées (0 ; 30) et (20 ; 5).

5. c) Toutes les droites de recette ont le même coefficient directeur. Elles sont donc parallèles à la droite (d).
On cherche parmi ces droites, celle qui a une ordonnée à l’origine la plus grande possible et dont l'intersection avec le polygone solution est non vide. En traçant des parallèles, on trouve le point marqué en rouge. Ses coordonnées sont (20 ; 30). C’est le point d'intersection de (d₁) et de (d₂). Les contraintes sont alors maximales.

5. d) Pour obtenir le revenu maximum, le propriétaire doit acquérir $x = 20$ bungalows et $y = 30$ mobil-homes.
On a alors : R = 500 × 20 + 400 × 30 = 22 000
Le revenu est de 22 000 euros.

Publié par TP/Cel le 07-02-2012

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