Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de la Gestion
Spécialités : Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des Systèmes d'Information.
Nouvelle Calédonie - Session Novembre 2011

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Mercatique, comptabilité et finance d'entreprise
Durée de l'épreuve : 3 heures         Coefficient : 3

Gestion des systèmes d'information
Durée de l'épreuve : 3 heures         Coefficient : 4

Calculatrice autorisée, conformément à la circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999.

Le candidat doit traiter les quatre exercices.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.
4 points

exercice 1

L'entreprise REPROD fabrique et commercialise deux modèles de photocopieurs: un modèle relativement bon marché (appelé «modèle ALPHA») et un modèle plus perfectionné et un peu plus cher (appelé «BETA»).
Au début de l'année 2011, cette entreprise a réalisé une enquête auprès des personnes qui lui ont acheté un photocopieur en 2009. Le dépouillement des réponses a fait apparaître les résultats suivants :
    14% des clients ont fait appel au Service Après Vente durant l'année 2010.
    Parmi eux, 46% avaient acheté un modèle BETA.
    Parmi ceux qui n'ont pas fait appel au SAV, 87% avaient acheté un modèle BETA.
Pour un client pris au hasard, on note :
    S l'évènement: «Le client a dû faire appel au SAV» et \overline{\text{S}} son contraire.
    A l'évènement: «Le client a un modèle ALPHA» et B l'évènement: «Le client a un modèle BETA» (on a évidemment : B = \overline{\text{A}})

1. Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant en plaçant une probabilité sur chaque branche (aucune justification n'est attendue ici) :
Bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Nouvelle Calédonie Novembre 2011 - terminale : image 1

2. Définir à l'aide d'une phrase l'évènement S \cap B. Calculer sa probabilité.

3. Montrer que : p(\text{B}) = 0,8126. En déduire p(A).

4. Déterminer p_{\text{B}}(\text{S}) et p_{\text{A}}(\text{S}). On donnera ici des résultats arrondis à 0,01.

5. Lequel des deux modèles semble le plus fiable ? Expliquer.


5 points

exercice 2

Partie A

Sur la figure donnée ci-dessous (annexe à rendre avec la copie), on a tracé la droite d'équation
y= - \dfrac{3}{2}x + 13,5.
Bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Nouvelle Calédonie Novembre 2011 - terminale : image 2

Déterminer, en hachurant la partie du plan qui ne convient pas, l'ensemble des points M du plan dont les coordonnées (x ; y) vérifient le système suivant :
\left\lbrace \begin{array}{lcl} x&\ge& 0 \\ y&\ge&0 \\ y&\ge&- \dfrac{3}{2}x + 13,5 \\ y&\ge&- \dfrac{2}{3}x + 8 \\ \end{array}\right.


Partie B

Dans un lycée, un groupe d'élèves se charge de la distribution de pains au chocolat et de croissants lors de la récréation de dix heures. Pour pouvoir satisfaire la demande, ils doivent disposer au minimum de 108 pains au chocolat et de 96 croissants.
Deux boulangers proposent :
    l'un le lot A comprenant 12 pains au chocolat et 8 croissants ;
    l'autre le lot B composé de 8 pains au chocolat et 12 croissants.
Les lycéens décident d'acheter des lots chez les deux boulangers.
On note x le nombre de lots A achetés et y le nombre de lots B achetés.

1. Traduire les contraintes du problème sous forme d'un système d'inéquations.

2. Montrer que le nombre de lots A et le nombre de lots B vérifient le système d'inéquations de la partie A.

3. Un lot A coûte 12 € et un lot B coûte 10€.
    a) Calculer la dépense pour x lots A et y lots B achetés, en fonction de x et y.
    b) Les élèves souhaitent déterminer le couple (x ; y) qui permettra d'obtenir la dépense minimale. À l'aide d'un tableur, ils obtiennent la feuille de calcul donnée ci-dessous.
 ABCDEFGHIJKL
1x \ y012345678910
200102030405060708090100
31122232425262728292102112
422434445464748494104114124
5336465666768696106116126136
64485868788898108118128138148
7560708090100110120130140150160
86728292102112122132142152162172
978494104114124134144154164174184
10896106116126136146156166176186196
1191081181281381481581681178188198208
1210120130140150160170180190200210220
Exemple de lecture : la dépense pour l'achat de 3 lots A et 6 lots B est de 96 euros.

Parmi les formules suivantes, indiquer celle à saisir dans la cellule B2 afin de compléter le tableau par recopie.
    Formule 1: =12*$A$2+10*$B$1
    Formule 2: =12*$A2+10*B$1
    Formule 3: =12*A$2+10*$B1
    c) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Déterminer, à l'aide du tableau donné en annexe 1 et du graphique, le couple qui permet de satisfaire la demande au moindre coût. Calculer alors cette dépense.


5 points

exercice 3

Partie A

Les questions 1 à 4 constituent un Q.C.M. Trois réponses sont proposées dans chaque cas. Une seule des trois est correcte. Le candidat recopiera sur sa feuille de copie le numéro de la question et la réponse correcte, aucune justification n'est demandée.

Barème: une bonne réponse rapporte 0,75 point, une réponse fausse enlève 0,25 point, l'absence de réponse n'enlève ni ne rapporte de point. Un total négatif pour les quatre questions sera ramené à 0.

Dans le tableau ci-dessous, on donne la date de commercialisation de différentes puces de microprocesseur, et le nombre de transistors dans chacune.
Nom du processeur400480862863864-6PentiumPentium proPentium IIPentium III
Année de commercialisation197119781982198519891994199619971999
Nombre \left(n_{i}\right) de transistors par puce2 30029 000134 000275 0002 000 0003 100 0005 500 0007 500 0009 500 000
Source : Intel


1. Si on prend comme base 100 le nombre de transistors en 1989, l'indice en 1971, arrondi au millième, est :
a) 86,956b) 0,115c) 115


2. Le taux d'évolution, en pourcentage, du nombre de transistors dans une puce entre 1989 et 1999 est de :
a) 375%b) 3,75%c) 99,885%


3. Gordon Moore, co-créateur et actuel président de la société Intel, a énoncé le principe suivant : «le nombre de transistors par puce double tous les dix-huit mois».
En suivant ce principe, le nombre de transistors par puce aurait été multiplié en 6 ans par :
a) 8b) 16c) 18


4. Si le nombre de transistors par puce double tous les dix-huit mois, le taux moyen mensuel d'évolution, arrondi à 1%, est égal à :
a) 11,11%b) 60,10%c) 4%


Partie B

On construit grâce au tableur le tableau ci-dessous, qui donne pour chaque année de commercialisation d'un nouveau produit \left(x_{i}\right) le logarithme népérien \left(y_{i}\right) du nombre n_{i} de transistors dans la puce.
Année de commercialisation197119781982198519891994199619971999
Rang de l'année \left(x_{i}\right)1812151924262729
y_{i} = \ln \left(n_{i}\right)7,7410,2811,8112,5214,5114,9515,5215,8316,07

On obtient alors le nuage de points ci-dessous.
Bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Nouvelle Calédonie Novembre 2011 - terminale : image 3
L'allure du nuage permet d'envisager un ajustement affine.

1. À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite d'ajustement affine de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au centième.

2.Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
On choisit de modéliser l'évolution par la droite d'équation y = 0,3x + 8. Quel serait, arrondi au million, le nombre de transistors de la puce commercialisée en 2005, si ce modèle d'évolution était encore valable ?


6 points

exercice 4

Partie A

f est la fonction définie sur [0 ; 6] par :
f(x) = 0,5x + \text{e}^{-0,5x + 1}.
\mathcal{C} est la courbe représentative de f dans un repère orthogonal.

1. a) Résoudre l'équation 1 - \text{e}^{-0,5x + 1} = 0.
    b) Résoudre l'inéquation 1 - \text{e}^{-0,5x + 1} \ge 0.

2. a) Calculer f^{\prime}(x) et montrer que f^{\prime}(x) = 0,5\left(1 - \text{e}^{-0,5x + 1}\right).
    b) En déduire le tableau de variations de f.

3. Recopier et compléter le tableau suivant dans lequel les valeurs de f(x) seront données par leurs approximations décimales arrondies au centième.
x0123456
f(x) 2,15     

On ne demande pas de tracer \mathcal{C}, le tracé a été réalisé par un grapheur sur l'annexe ci-dessous.
Bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Nouvelle Calédonie Novembre 2011 - terminale : image 4


Partie B

Une entreprise fabrique des objets à l'aide de machines-outils. Le coût total de production pour x centaines d'objets produits est f(x) milliers d'euros où f est la fonction de la partie A.

1. Quel nombre d'objets faut-il produire pour que le coût total de production soit minimal ?

2. Un objet fabriqué est vendu 7 € pièce.
    a) On a représenté sur l'annexe, la courbe \mathcal{C} ainsi que la droite d' équation y = 0,7x.
Par lecture graphique, déterminer le nombre d'objets qu'il faut vendre pour que l'entreprise réalise un bénéfice.
    b) Calculer le bénéfice, arrondi à l'euro, pour 600 objets vendus.
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