Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Technologique

Série Sciences et Technologies Industrielles

Génie Électronique - Génie Électrotechnique - Génie Optique

Session Juin 2011 - Polynésie Française

Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient : 4

Le formulaire officiel est joint au sujet.
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. (Circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999)
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

Fiche relue en 2016 4,5 points

exercice 1

Dans un restaurant, chaque client peut composer son menu en choisissant une seule entrée, un seul plat et un seul dessert parmi ceux proposés dans la carte ci-dessous :

Entrées
Crudités (3 euros)
Salade du chef (7 euros)
- - -
Plats
Plat du jour (8 euros)
Rôti de boeuf (10 euros)
Filet de daurade (10 euros)
- - -
Desserts
Glace (2 euros)
Tartelette aux pommes (6 euros)

Dans la suite du problème, on suppose qu'un client compose son menu au hasard et on admet que tous les choix possibles sont équiprobables.

1. Combien de menus (entrée + plat + dessert) différents peut composer le client ? On représentera ces différentes possibilités à l'aide d'un arbre.

2. Quelle est la probabilité que le menu composé comporte les crudités en entrée et une glace en dessert ?

3. Quelle est la probabilité que ce client paye 19 euros?

4. On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque menu, associe son prix en euros.
    a) Quelles sont les six valeurs prises par la variable aléatoire $X$ ?
    b) Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ .
    c) Calculer l'espérance E( $X$ ) de la variable aléatoire $X$ (arrondir à 10^-2 près).

5,5 points

exercice 2

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $(O ; \vec{u},\vec{v})$ d'unité graphique 2 centimètres. On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$ .

1. Résoudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes l'équation :

$\left(z - \sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2}\right)\left(z^2 + 2z\sqrt{3} + 4\right) = 0$
2. On considère les points A et B d'affixes respectives : $z_{\text{A}} = 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$ et $z_{\text{B}} = - \sqrt{3} + \text{i}$ .
    a) Déterminer la forme algébrique de $z_{\text{A}}$ .
    b) Déterminer la forme exponentielle de $z_{\text{B}}$ .
    c) Placer les points A et B dans le repère $(O ; \vec{u},\vec{v})$ .
    d) Montrer que B est l'image de A par une rotation de centre O dont on déterminera l'angle.

3. Soit D le point d'affixe $z_{\text{D}} = \left(\sqrt{2} - \sqrt{3}\right) + \text{i}\left(1 + \sqrt{2}\right)$ .
    a) Placer le point D sur la figure et prouver que OADB est un losange.
    b) Prouver que OADB n'est pas un carré.

10 points

probleme

Les parties B et C sont indépendantes de la partie A

Partie A

On considère l'équation différentielle notée $\left(E_{1}\right)\:\: :\quad y' - 2y = \dfrac{9}{2}\text{e}^x - 4,$ où $y$ désigne une fonction de la variable $x$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ .

1. Résoudre l'équation différentielle notée ( $E$ ) : $y' - 2y = 0$ .

2. On pose, pour tout réel $x,\, f(x) = y(x) - \dfrac{9}{2}\text{e}^x + 2$ , où $y$ est solution de l'équation ( $E$ ).
a) Calculer, pour tout réel $x,\, f'(x) - 2f(x)$ . En déduire que la fonction $f$ est solution de l'équation $\left(E_{1}\right)$ .

b) Parmi les fonctions $f$ précédentes, déterminer celle qui vérifie $f\left[\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)\right] = 0$ .

Partie B

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \text{e}^{2x} - \dfrac{9}{2}\text{e}^x + 2$ Sur le graphique ci-dessous, on a tracé sa courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ dans un repère orthonormal d'unité graphique 2 centimètres.

bac STI génie électronique génie électrotechnique génie optique Polynésie Française juin 2011 - terminale : image 1

1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$ .

2. En déduire que la courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet une asymptote $\Delta$ dont on précisera une équation.
Tracer la droite $\Delta$ sur le graphique donné en annexe.

3. Justifier que, pour tout réel $x,\, f(x) = \left(\text{e}^x - 4\right)\left(\text{e}^x - \dfrac{1}{2}\right)$ .

4. En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$ .

Partie C

1. Montrer que, pour tout réel $x,\, f'(x) = 2\text{e}^x\left(\text{e}^x - \dfrac{9}{4}\right)$ .

2. Étudier le signe de $f'(x)$ , puis dresser le tableau complet des variations de la fonction $f$ (on calculera en particulier la valeur exacte de l'extremum).

3. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse 0, puis tracer cette tangente $T$ sur le graphique donné en annexe.

4. La courbe $\mathcal{C}_{f}$ et la droite $\Delta$ se coupent en un point A.
    a) Par simple lecture graphique, déterminer une valeur approchée de l'abscisse $x_{\text{A}}$ de ce point.
    b) Résoudre par le calcul l'équation $f(x) = 2$ . En déduire la valeur exacte de $x_{\text{A}}$ .
    c) Par lecture graphique, déterminer la position de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à la droite $\Delta$ .

Correction

EXERCICE 1

1. Le nombre $N$ de menus différents est tel que :

$N=\underbrace{2}_{Entrées}\times \underbrace{3}_{Plats}\times \underbrace{2}_{Désserts}=12$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{Il y a donc 12 menus différents possibles.}}}$

Dans l'arbre ci-dessous, les lettres suivantes sont choisies :
- C : Crudités
- S : Salade
- P : Plat du jour
- B : Boeuf
- D : Dorade
- G : Glace
- T : Tarte

bac STI génie électronique génie électrotechnique génie optique Polynésie Française juin 2011 - terminale : image 9

2. Sur les 12 menus possibles, l'entrée et le dessert étant imposés, on a 3 possibilités pour le plat, donc 3 menus répondant à la situation.
Puisqu'on est en situation d'équiprobabilité, La probabilité que le menu composé comporte des crudités en entrée et une glace en dessert est donc égale à $\dfrac{\text{ nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}=\dfrac{3}{12}= \dfrac{1}{4}$ .

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{La probabilité que le menu composé comporte des crudités en entrée et une glace en dessert est donc de }\dfrac{1}{4}.}}$

3. Sur les 12 menus possibles, seuls 4 menus (CBT, CDT, SBG, SDG ) peuvent donner une facture de 19 euros.
La probabilité que le prix du menu soit de 19 euros est donc de $\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}.}}$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{La probabilité que le prix du menu soit de 19 euros est donc de }\dfrac{1}{3}.}}$

Remarque : L'énoncé ayant demandé dès la première question les différentes possibilités de menus représentées à l'aide d'un arbre, il est possible de compléter cet arbre pour traiter les questions 2 et 3.
L'arbre sera alors complété avec les probabilités comme présenté ci-dessous dans la question 3.

2. (méthode en complétant l'arbre)
La probabilité que le menu soit composé de crudités en entrée est de $\dfrac{1}{2}$ .

La probabilité que le menu soit composé d'une glace en dessert est de $\dfrac{1}{2}$ .

Il y a 3 possibilités de plats différents, ayant chacun une probabilité de $\dfrac{1}{3}$ d'être choisi.

La probabilité recherchée est donc de :

$p(\text{Le menu comporte crudités et glace)}=\cancel {3}\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{\cancel {3}}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac {1}{4}$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{La probabilité que le menu composé comporte des crudités en entrée et une glace en dessert est donc de }\dfrac{1}{4}.}}$

3. (méthode en complétant l'arbre)
Les possibilités d'avoir un menu à 19 euros sont les suivantes : CBT, CDT, SBG, SDG, représentées en bleu dans l'arbre ci-dessous.

Nous avons donc :

$p(19\text{ euros})=p(CBT)+p(CDT)+p(SBG)+p(SDG)=4\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{La probabilité que le prix du menu soit de 19 euros est donc de }\dfrac{1}{3}.}}$

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4.a. $\boxed{\textcolor{blue}{\text{Les six valeurs prises par la variable aléatoire X sont donc 13, 15, 17, 19, 21 et 23.}}}$

b. La loi de probabilité de la variable $X$ est la suivante :

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \cellcolor{blue!25}x_i&\cellcolor{blue!25}13&\cellcolor{blue!25}15&\cellcolor{blue!25}17&\cellcolor{blue!25}19&\cellcolor{blue!25}21&\cellcolor{blue!25}23\\ \hline \cellcolor{blue!25}p(X=x_i)& \color{red} 1/12 & \color{red}1/6 & \color{red}1/6 & \color{red}1/3 & \color{red}1/12&\color{red}1/6 \\ \hline \end{tabular}$

c. L'espérance de la variable $X$ est définie de la manière suivante : $E(X)=\sum x_i\times p_i$

$E(X)=\sum x_i\times p_i=13\times\dfrac{1}{12}+15\times\dfrac{1}{6}+17\times\dfrac{1}{6}+19\times\dfrac{1}{3}+21\times\dfrac{1}{12}+23\times\dfrac{1}{6}=\dfrac{220}{12}=\dfrac{55}{3}\approx 18,33$

EXERCICE 2

1. Résolution dans $\mathbb{C}$ :

$(z-\sqrt{2}-i\sqrt{2})(z^2+2z\sqrt{3}+4)=0\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{array}l\text{(1) : } z-\sqrt{2}-i\sqrt{2}=0 \\ \text{ou } \\ \text{(2) : }z^2+2z\sqrt{3}+4=0 \end{array}$

$\text{(1) : } z-\sqrt{2}-i\sqrt{2}=0 \Longleftrightarrow z=\sqrt{2}+i\sqrt{2}=2(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2})=2(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4})=2e^{i\frac{\pi}{4}}$

$\text{(2) : }z^2+2z\sqrt{3}+4=0\\\\ \Delta=(2\sqrt{3})^2-4\times 1\times 4=12-4(1)(4)=-4=(2i)^2$

$z=\dfrac{-2\sqrt{3}\pm 2i}{2}\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{array}l z=-\sqrt{3}+i=2(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+i\dfrac{1}{2})=2(\cos\dfrac{5\pi}{6}+i\sin\dfrac{5\pi}{6})=2e^{i\frac{5\pi}{6}}\\ \text{ou } \\z=-\sqrt{3}-i=2(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}-i\dfrac{1}{2})=2(\cos\dfrac{7\pi}{6}+i\sin\dfrac{7\pi}{6})=2e^{i\frac{7\pi}{6}} \end{array}$

$\textcolor{blue} {\text{L'ensemble des solutions est donc : }}$
$\textcolor{blue} {\checkmark \text{ sous forme algébrique : } S=\lbrace \sqrt{2}+i\sqrt{2}\;;\; -\sqrt{3}+i\;;\;-\sqrt{3}-i\rbrace}$
$\textcolor{blue} {\checkmark \text{ sous forme exponentielle : }S=\lbrace 2e^{i\frac{\pi}{4}},2e^{i\frac{5\pi}{6}},2e^{i\frac{7\pi}{6}}\rbrace}$

2.a. $z_A=2e^{i\dfrac{\pi}{4}}$

$z_A=2e^{i\dfrac{\pi}{4}}=2(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4})=2(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2})=\sqrt{2}+i\sqrt{2}$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{La forme algébrique de }z_A\text{ est }z_A=\sqrt{2}+i\sqrt{2}.}}$

2.b. $z_B=-\sqrt{3}+i$

$z_B=-\sqrt{3}+i=2(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+i\dfrac{1}{2})=2(\cos\dfrac{5\pi}{6}+i\sin\dfrac{5\pi}{6})=2e^{i\frac{5\pi}{6}}$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{La forme exponentielle de }z_B\text{ est }z_B=2e^{i\frac{5\pi}{6}}.}}$

2.c. On place les points $A$ et $B$ dans le repère $(O,\vec{u},\vec{v}).$
Les points A et B appartiennent au cercle de centre O et de rayon 2, de plus (OA) est la bissectrice du premier quadrant et le point B a pour ordonnée 1.

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2.d. $B$ image de $A$ par une rotation de centre $O$ .

Posons $\theta$ l'angle de cette rotation de centre $O$ .

Nous avons :
$\dfrac{z_B}{z_A} = \dfrac{e^{2i\frac{5\pi}{6}}}{e^{2i\frac{\pi}{4}}}=e^{i{\left(\dfrac{5\pi}{6}-\dfrac{\pi}{4}}\right)}}=e^{i\dfrac{7\pi}{12}}$

$\boxed{\textcolor{blue}{B\text{ est donc l'image de }A\text { par la rotation de centre }O\text { et d'ange }\theta=\frac{7\pi}{12}.}}$

3.a. Placement du point $D$ .

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Montrons que $OADB$ est un losange.
D'après les questions précédentes $\mid z_A\mid=\mid z_B\mid=2$ donc $OA=OB=2$

Evaluons AD. Pour cela on calcule l'affixe de $\overrightarrow{AD}$
$z_D-z_A=\sqrt{2}-\sqrt{3}+i(1+\sqrt{2})-(\sqrt{2}+i\sqrt{2})=-\sqrt{3}+i$
$AD=\mid z_D-z_A\mid =\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2$

Evaluons BD. Pour cela on calcule l'affixe de $\overrightarrow{BD}$
$z_D-z_B=\sqrt{2}-\sqrt{3}+i(1+\sqrt{2})-(-\sqrt{3}+i)=\sqrt{2}+i\sqrt{2}$
$BD=\mid z_D-z_B \mid = \sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2$

Donc $OA=OB=AD=BD$

$\boxed{\textcolor{blue}{OADB\text{ est donc un losange.}}}$

b. Montrons que $OADB$ n'est pas un carré.

Nous avons vu précédemment que $B$ est l'image de $A$ par la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{7\pi}{12}$ , donc :

$(\widehat{\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}})=\dfrac{7\pi}{12} \text{ or }\dfrac{7\pi}{12}\ne\dfrac{\pi}{2} \text{ à } k\pi \text{ près}$ , $(\widehat{\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}})$ n'est donc pas un angle droit.

$\boxed{\textcolor{blue}{OADB\text{ n'est donc pas un carré.}}}$

PROBLÈME

Partie A

$(E_1):y'-2y=\dfrac{9}{2}e^x-4$

1. Résolution de $(E):y'-2y=0$

Cette équation est du type $(E):y'=2y$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{Les solutions de l'équation }(E)\text{ sont donc les fonctions de la forme }y=ke^{2x}\text{ avec }k\in\mathbb{\R}.}}$

2. On pose : $\forall x\in\mathbb{\R},f(x)=y(x)-\dfrac{9}{2}e^x+2\text{ où }y\text{ est solution de l'équation }(E)$

a. Calcul de $f'(x)-2f(x)$

$f'(x)-2f(x)=\underbrace{y'(x)-\dfrac{9}{2}e^x}_{=f'(x)}\underbrace{-2y(x)+9e^x-4}_{=-2f(x)}=\underbrace{y'(x)-2y(x)}_{=0\text{ car y solution de (E)}}+\dfrac{9}{2}e^x-4=\dfrac{9}{2}e^x-4$

Donc les fonctions $f$ vérifient bien $(E_1)$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{Les fonctions }f\text{ sont donc solution de l'équation }(E_1).}}$

b. $f$ est de la forme $f(x)=y(x)-\dfrac{9}{2}e^x+2=ke^{2x}-\dfrac{9}{2}e^x+2 \text{ avec }k\in\mathbb{\R}.}$

On résout :

$f\left(ln(\dfrac{1}{2})\right)=0\Longleftrightarrow k e^{2\times ln\dfrac{1}{2}}-\dfrac{9}{2}e^{ln\dfrac{1}{2}}+2=0\Longleftrightarrow (\dfrac{1}{2})^2k-\dfrac{9}{2}\times \dfrac{1}{2}+2=0\Longleftrightarrow \dfrac{1}{4}k-\dfrac{9}{4}+2=0\Longleftrightarrow k=1$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{La fonction recherchée est donc la fonction }f \text{ définie sur } \mathbb{R} \text{ par } f(x)=e^{2x}-\dfrac{9}{2}e^x+2}}$

Partie B

$f(x)=e^{2x}-\dfrac{9}{2}e^x+2}}$

1. Limite de la fonction $f$ en $-\infty$
$f(x)=e^{2x}-\dfrac{9}{2}e^x+2= (e^x)^2-\dfrac{9}{2}e^x+2$

$\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to -\infty}(e^x)^2-\dfrac{9}{2}e^x+2=2$

$\boxed{\textcolor{blue}{\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=2}}$

2. $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=2}$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{La courbe représentative de la fonction }f\text{, admet comme asymptote en }-\infty\text{ la droite }\Delta\text{ d'équation }y=2}.}$

3. Montrer que $f(x)=(e^x-4)(e^x-\dfrac{1}{2})$

Développons l'expression donnée :

$(e^x-4)(e^x-\dfrac{1}{2})=e^x\times e^x-e^x\times \dfrac{1}{2}-4e^x+4\times\dfrac{1}{2}=e^{2x}-e^x(4+\dfrac{1}{2})+2=e^{2x}-\dfrac{9}{2}e^x+2}}=f(x)$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{Donc }f(x)=(e^x-4)(e^x-\dfrac{1}{2})}}$

4. Limite de $f$ en $+\infty$

$\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to +\infty}\underbrace{(e^x-4)}_{\to +\infty}\underbrace{(e^x-\dfrac{1}{2})}_{\to +\infty}=+\infty$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{Donc }\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty}}$

Partie C

1. Montrer que : $\forall x\in \mathbb{\R},f'(x)=2e^x(e^x-\dfrac{9}{4})$

$f(x)=(e^x-4)(e^x-\dfrac{1}{2})$
$f \text{ est de la forme }u\times v \text{ avec } u(x)=2e^x \text{ et } v(x)=e^x-\dfrac{9}{4}$ donc $f'=u'v+uv'$

$\text{Par conséquent, }f'(x)=\underbrace{e^x(e^x-\dfrac{1}{2})}_{u'(x)v(x)}+\underbrace{(e^x-4)e^x}_{u(x)v'(x)}=e^{x}\left(e^x-\dfrac{1}{2}+e^{x}-4\right)=2e^x\left(e^x-\dfrac{9}{4}\right)$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{Donc : }\forall x\in \mathbb{\R},f'(x)=2e^x(e^x-\dfrac{9}{4})}}$

2. Etude du signe de $f'(x)$ et tableau de variations
Une exponentielle étant toujours strictement positive, on peut affirmer que $f'(x)$ a le même signe que $e^x-\dfrac{9}{4}$
$e^x-\dfrac{9}{4}=0\Longleftrightarrow e^x=\dfrac{9}{4}\Longleftrightarrow x=ln(\dfrac{9}{4})\approx 0,81$

$e^x-\dfrac{9}{4}>0\Longleftrightarrow e^x>\dfrac{9}{4}\Longleftrightarrow x>ln(\dfrac{9}{4})$

$f(ln\dfrac{9}{4})=e^{2ln(\dfrac{9}{4})}-\dfrac{9}{2}e^{ln\dfrac{9}{4}}+2=(\dfrac{9}{4})^2-\dfrac{9}{2}\times \dfrac{9}{4}+2=\dfrac{81}{16}-\dfrac{81}{8}+2=-\dfrac{49}{16}\approx -3,06$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{Donc }f'(x)=0\text{ au point de coordonnées }\left(ln\dfrac{9}{4},-\dfrac{49}{16}\right)}}$

$\begin{array}{|c|ccccccc||}\hline x&+\infty&&ln\dfrac{9}{4}&&+\infty&& \\\hline{f'(x)}& &-&0&+&&& \\\hline{f}&^{2}&\searrow&_{-\dfrac{49}{16}}&\nearrow&^{+\infty}&&&\hline\end{array}$

3. Détermination de la tangente $T$ à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 0

Une équation de la tangente $T$ , s'écrit sous la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$ avec :

$f(0)=e^{2\times 0}-\dfrac{9}{2}e^0+2=-\dfrac{3}{2}$ et $f'(0)=2e^0(e^0-\dfrac{9}{4})=-\dfrac{5}{2}$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{Une équation de la tangente }T\text{ est donc }y=-\dfrac{5}{2}x-\dfrac{3}{2}.}}$

4.a. $\boxed{\textcolor{blue}{\text{Par lecture graphique, on lit l'abscisse }x_A\approx 1,\!5 .}}$

b. Résoudre $f(x)=2$ et en déduire la valeur de $x_A$

$f(x)=2\Longleftrightarrow e^{2x}-\dfrac{9}{2}e^x+2=2\Longleftrightarrow e^{2x}-\dfrac{9}{2}e^x=0\Longleftrightarrow \underbrace{e^x}_{\ne 0}(e^x-\dfrac{9}{2})=0\Longleftrightarrow e^x-\dfrac{9}{2}=0\Longleftrightarrow x=ln\dfrac{9}{2}\approx 1,504$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{La valeur exacte de }x_A\text{ est donc }x_A=ln\dfrac{9}{2}.}}$

c. Position de $C_f$ par rapport à $\Delta$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{Si }x<x_A\text{ la courbe }C_f\text{ est en dessous de }\Delta.}}$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{Si }x>x_A\text{ la courbe }C_f\text{ est au-dessus de }\Delta.}}$

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Publié par TP/Jedoniezh le 03-02-2016

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