Le formulaire officiel est joint au sujet.
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. (Circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999)
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Fiche relue en 2016
4,5 points
exercice 1
Dans un restaurant, chaque client peut composer son menu en choisissant une seule entrée, un seul plat et un seul dessert parmi ceux proposés dans la carte ci-dessous :
Entrées Crudités (3 euros)
Salade du chef (7 euros)
- - -
Plats Plat du jour (8 euros)
Rôti de boeuf (10 euros)
Filet de daurade (10 euros)
- - -
Desserts Glace (2 euros)
Tartelette aux pommes (6 euros)
Dans la suite du problème, on suppose qu'un client compose son menu au hasard et on admet que tous les choix possibles sont équiprobables.
1. Combien de menus (entrée + plat + dessert) différents peut composer le client ? On représentera ces différentes possibilités à l'aide d'un arbre.
2. Quelle est la probabilité que le menu composé comporte les crudités en entrée et une glace en dessert ?
3. Quelle est la probabilité que ce client paye 19 euros?
4. On appelle la variable aléatoire qui, à chaque menu, associe son prix en euros.
a) Quelles sont les six valeurs prises par la variable aléatoire ?
b) Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire .
c) Calculer l'espérance E() de la variable aléatoire (arrondir à 10-2 près).
5,5 points
exercice 2
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct d'unité graphique 2 centimètres. On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument .
1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation :
2. On considère les points A et B d'affixes respectives : et .
a) Déterminer la forme algébrique de .
b) Déterminer la forme exponentielle de .
c) Placer les points A et B dans le repère .
d) Montrer que B est l'image de A par une rotation de centre O dont on déterminera l'angle.
3. Soit D le point d'affixe .
a) Placer le point D sur la figure et prouver que OADB est un losange.
b) Prouver que OADB n'est pas un carré.
10 points
probleme
Les parties B et C sont indépendantes de la partie A
Partie A
On considère l'équation différentielle notée
où désigne une fonction de la variable définie et dérivable sur .
2. On pose, pour tout réel , où est solution de l'équation ().
a) Calculer, pour tout réel . En déduire que la fonction est solution de l'équation .
b) Parmi les fonctions précédentes, déterminer celle qui vérifie
.
Partie B
Soit la fonction définie sur par :
Sur le graphique ci-dessous, on a tracé sa courbe représentative dans un repère orthonormal d'unité graphique 2 centimètres.
1. Déterminer la limite de la fonction en .
2. En déduire que la courbe admet une asymptote dont on précisera une équation.
Tracer la droite sur le graphique donné en annexe.
3. Justifier que, pour tout réel .
4. En déduire la limite de en .
Partie C
1. Montrer que, pour tout réel .
2. Étudier le signe de , puis dresser le tableau complet des variations de la fonction (on calculera en particulier la valeur exacte de l'extremum).
3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0, puis tracer cette tangente sur le graphique donné en annexe.
4. La courbe et la droite se coupent en un point A.
a) Par simple lecture graphique, déterminer une valeur approchée de l'abscisse de ce point.
b) Résoudre par le calcul l'équation . En déduire la valeur exacte de .
c) Par lecture graphique, déterminer la position de la courbe par rapport à la droite .
Dans l'arbre ci-dessous, les lettres suivantes sont choisies :
- C : Crudités
- S : Salade
- P : Plat du jour
- B : Boeuf
- D : Dorade
- G : Glace
- T : Tarte
2. Sur les 12 menus possibles, l'entrée et le dessert étant imposés, on a 3 possibilités pour le plat, donc 3 menus répondant à la situation.
Puisqu'on est en situation d'équiprobabilité, La probabilité que le menu composé comporte des crudités en entrée et une glace en dessert est donc égale à .
3. Sur les 12 menus possibles, seuls 4 menus (CBT, CDT, SBG, SDG ) peuvent donner une facture de 19 euros.
La probabilité que le prix du menu soit de 19 euros est donc de
Remarque : L'énoncé ayant demandé dès la première question les différentes possibilités de menus représentées à l'aide d'un arbre, il est possible de compléter cet arbre pour traiter les questions 2 et 3.
L'arbre sera alors complété avec les probabilités comme présenté ci-dessous dans la question 3.
2. (méthode en complétant l'arbre)
La probabilité que le menu soit composé de crudités en entrée est de .
La probabilité que le menu soit composé d'une glace en dessert est de .
Il y a 3 possibilités de plats différents, ayant chacun une probabilité de d'être choisi.
La probabilité recherchée est donc de :
3. (méthode en complétant l'arbre)
Les possibilités d'avoir un menu à 19 euros sont les suivantes : CBT, CDT, SBG, SDG, représentées en bleu dans l'arbre ci-dessous.
Nous avons donc :
4.a.
b. La loi de probabilité de la variable est la suivante :
c. L'espérance de la variable est définie de la manière suivante :
EXERCICE 2
1. Résolution dans :
2.a.
2.b.
2.c. On place les points et dans le repère Les points A et B appartiennent au cercle de centre O et de rayon 2, de plus (OA) est la bissectrice du premier quadrant et le point B a pour ordonnée 1.
2.d. image de par une rotation de centre .
Posons l'angle de cette rotation de centre .
Nous avons :
3.a. Placement du point .
Montrons que est un losange.
D'après les questions précédentes donc
Evaluons AD. Pour cela on calcule l'affixe de
Evaluons BD. Pour cela on calcule l'affixe de
Donc
b. Montrons que n'est pas un carré.
Nous avons vu précédemment que est l'image de par la rotation de centre et d'angle , donc :
, n'est donc pas un angle droit.
PROBLÈME
Partie A
Partager :
1. Résolution de
Cette équation est du type
2. On pose :
a. Calcul de
Donc les fonctions vérifient bien
b. est de la forme
On résout :
Partie B
Partager :
1. Limite de la fonction en
2.
3. Montrer que
Développons l'expression donnée :
4. Limite de en
Partie C
Partager :
1. Montrer que :
donc
2. Etude du signe de et tableau de variations
Une exponentielle étant toujours strictement positive, on peut affirmer que a le même signe que
3. Détermination de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0
Une équation de la tangente , s'écrit sous la forme avec :
et
4.a.
b. Résoudre et en déduire la valeur de
c. Position de par rapport à
Publié par TP/Jedoniezh
le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT) Inscription Gratuitese connecter
Merci à Jedoniezh pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !