Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies Industrielles
Spécialités : Mécanique, Énergétique, Civil
Métropole - Session Juin 2011
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Spécialités : Génie Mécanique :
Option A : Productique Mécanique
Option F : Microtechniques
Génie Energétique
Génie Civil
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4
Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.
Des feuilles de papier millimétré seront mises à la disposition des candidats.
5 points
exercice 1
Au libre-service d'un restaurant d'entreprise, un repas est composé obligatoirement d'une entrée, d'un plat et d'un dessert. Pour chaque repas, un employé choisit au hasard :
une entrée parmi trois : Crudités (C), Salade (S) ou Quiche (Q),
un plat parmi deux : Poisson (P) ou Viande (V)
un dessert parmi trois : Glace (G), Fruits (F) ou Laitage (L).
1. Sur l'annexe fournie ci-dessous (à rendre avec la copie), compléter l'arbre des repas.
2. En déduire le nombre de repas que peut composer un employé.
3. On appelle :
A l'évènement : «le repas composé contient le plat de poisson»,
B l'évènement : «le repas composé contient des fruits au dessert».
On note (A) la probabilité de l'évènement A.
Calculer (A), (B), et en déduire .
4. Le tableau suivant donne en kcal le bilan calorique des mets proposés :
Entrées
Crudités (C) : 300
Salade composée (S) : 300
Quiche (Q) : 400
Plats
Viande (V) : 900
Poisson (P) : 600
Desserts
Glace (G) : 300
Laitage (L) : 100
Fruits (F) : 100
Compléter, sur l'annexe, le bilan calorique de chaque repas.
5. On appelle la variable aléatoire qui à chaque repas associe son bilan calorique.
a) Donner l'ensemble des valeurs que peut prendre la variable aléatoire .
b) Établir la loi de probabilité de la variable aléatoire .
c) Montrer que le bilan calorique moyen d'un repas est 1 250 kcal.
5 points
exercice 2
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Les questions sont indépendantes les unes des autres. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une seule réponse par question est acceptée et aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point.
Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève de point. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie correspondante.
1. Soit la fonction définie pour tout nombre réel par . On note sa courbe représentative dans un repère donné.
Une équation de la tangente à la courbe au point de la courbe d'abscisse 0 est :
a) b) c) d)
2. Pour tout nombre réel , on définit le nombre . La valeur de est :
a) b) c) d)
3. Soit l'équation différentielle où désigne une fonction dérivable de la variable réelle .
Trouver parmi ces fonctions dérivables sur l'ensemble des nombres réels , une solution de l'équation proposée.
a) b) c) d)
4. Une écriture sous forme exponentielle du nombre complexe est :
a) b) c) d)
5. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé. On considère le point d'affixe et le cercle de centre et de rayon . Trouver parmi les points proposés un point du cercle .
a) M d'affixe b) N d'affixe c) P d'affixe d) Q d'affixe 0
10 points
probleme
Objectif :Le but de ce problème est de comparer, sur un exemple, deux méthodes de calcul de volumes.
On considère la fonction définie pour tout nombre réel de l'intervalle [1 ; 10] par
.
1. Montrer que la fonction dérivée de la fonction est définie pour tout nombre réel de l'intervalle [1 ; 10] par : .
2. a) Étudier le signe de en fonction des valeurs du nombre réel de l'intervalle [1 ; 10].
b) En déduire le tableau de variations de la fonction sur l'intervalle [1 ; 10].
3. On appelle la représentation graphique de la fonction dans un repère orthonormé du plan (unités : 1 cm en abscisses, 1 cm en ordonnées).
Représenter graphiquement dans ce repère.
4. On considère l'équation (E) : sur l'intervalle [1 ; 10].
a) Déterminer le nombre de solutions de l'équation (E).
b) Pour chacune des solutions trouvées, donner une valeur approchée à 10-2 près, en explicitant votre méthode.
5. On considère la fonction , définie pour tout nombre réel appartenant à l'intervalle [1 ; 10], par
.
a) Montrer que la fonction est une primitive de la fonction sur l'intervalle [1 ; 10].
b) Sur la représentation graphique réalisée précédemment, hachurer la portion du plan comprise entre , l'axe des abscisses et les droites d'équations et .
c) À l'aide de la représentation graphique, évaluer (en unités d'aire) l'aire de la portion .
Justifier la méthode utilisée.
d) Calculer la valeur exacte de cette aire en unités d'aire.
6. On veut déterminer le volume du solide engendré par la rotation de la partie hachurée autour de l'axe des abscisses.
a) Méthode par calcul formel :
À l'aide d'un logiciel de calcul formel on obtient :
unités de volume.
En déduire une valeur approchée de à 10-2 près.
b) Méthode des trois niveaux :
La méthode, dite des trois niveaux, permet d'estimer le volume d'un solide.
Par cette méthode, le volume estimé d'un solide de révolution de hauteur est égale à
où est l'aire de la section gauche, l'aire de la section intermédiaire et l'aire de la section droite.
Compléter, par des valeurs approchées au centième, le tableau des surfaces figurant en annexe.
Surface
Section gauche
Section intermédiaire
Section droite
Rayons
Aires
12,57
En déduire une valeur approchée à 10-2 près de .
c) On considère que la méthode des trois niveaux est acceptable si le rapport est compris entre 0,95 et 1,05. Peut-on affirmer que cette méthode des trois niveaux est acceptable pour cet exemple ?
Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.
Des feuilles de papier millimétré seront mises à la disposition des candidats.
EXERCICE 1
Au libre-service d'un restaurant d'entreprise, un repas est composé obligatoirement d'une entrée, d'un plat et d'un dessert. Pour chaque repas, un employé choisit au hasard :
une entrée parmi trois : Crudités (C), Salade (S) ou Quiche (Q),
un plat parmi deux : Poisson (P) ou Viande (V)
un dessert parmi trois : Glace (G), Fruits (F) ou Laitage (L).
1. Sur l'annexe fournie ci-dessous (à rendre avec la copie), compléter l'arbre des repas.
2. En déduire le nombre de repas que peut composer un employé.
Il y a donc la possibilité de composer 18 repas différents.
3. On appelle :
A l'évènement : «le repas composé contient le plat de poisson»,
B l'évènement : «le repas composé contient des fruits au dessert».
On note la probabilité de l'évènement A.
Calculer , , et en déduire .
Evénement A
Prenons un repas qui contient du poisson, par exemple un repas constitué d'une salade, suivie de poisson puis d'une glace.
Notons la probabilité de ce repas, nous aurons donc (voir figure ci-dessous) :
Or, il y a 3 possibilités de desserts avec le poisson, ainsi que 3 possibilités d'entrées (voir figure ci-dessous), nous avons donc :
La probabilité de l'événement A est donc
Evénement B
Nous avons possibilités de repas différents, parmi lesquels peuvent contenir un dessert composé de fruits, ainsi :
La probabilité de l'événement B est donc
Evénement A et B
La probabilité de l'événement A et B est donc
Evénement A ou B
La probabilité de l'événement A ou B est donc
4. Le tableau suivant donne en kcal le bilan calorique des mets proposés.
Compléter, sur l'annexe, le bilan calorique de chaque repas.
5. On appelle la variable aléatoire qui à chaque repas associe son bilan calorique.
a) Donner l'ensemble des valeurs que peut prendre la variable aléatoire .
A la lecture de l'arbre de la question 4, on voit que :
b) Établir la loi de probabilité de la variable aléatoire .
On remarquera que :
c) Montrer que le bilan calorique moyen d'un repas est 1 250 kcal.
Il suffit de calculer l'espérance de la variable aléatoire
Sur l'ensemble des repas prix dans ce restaurant, le bilan calorique moyen d'un repas est donc de 1 250 kcal.
EXERCICE 2
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Les questions sont indépendantes les unes des autres. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une seule réponse par question est acceptée et aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point.
Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève de point. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie correspondante.
Préambule : pour ce corrigé, des explications détaillées (non demandées à l'épreuve) sont présentées ci-dessous afin de faciliter la compréhension des cheminements qui permettent d’aboutir aux résultats.
1. Soit la fonction définie pour tout nombre réel par . On note sa courbe représentative dans un repère donné.
Une équation de la tangente à la courbe au point de la courbe d'abscisse 0 est :
Explications
La dérivée de la fonction est
La tangente à la courbe est une droite, et l’équation d’une droite s’écrit sous la forme où avec le coefficient directeur de la droite.
Au point d’abscisse 0, le coefficient directeur de cette tangente est donné par
Donc l’équation de la tangente peut s’écrire
Nommons de coordonnées le point de tangente à la courbe. Au point d’abscisse , le point aura pour abscisse et pour
ordonnée
Nous avons donc comme point de tangente à la courbe, ses coordonnées vérifient donc l’équation de la tangente, donc :
Nous avons , l’équation de la tangente au point d’abscisse 0 est donc
La réponse est donc d.
2. Pour tout nombre réel , on définit le nombre . La valeur de est :
Explications
La réponse est donc a.
L'intégrale correspond à la surface colorée sous la courbe et au-dessus de l'axe des abscisses, comprise entre l'axe des ordonnées et la droite d'équation (voir figure ci-dessous) :
3. Soit l'équation différentielle où désigne une fonction dérivable de la variable réelle .
Trouver parmi ces fonctions dérivables sur l'ensemble des nombres réels , une solution de l'équation proposée.
Explications
Les solutions d'une équation différentielle du type sont de la forme .
Dans le cas présent, une solution de l'équation différentielle sera donc de la forme
convient.
La réponse est donc c.
4. Une écriture sous forme exponentielle du nombre complexe est :
Explications
On recherche le module de :
Donc :
La réponse est donc c.
Soit le point d'affixe , à noter que celui-ci sera donc sur le cercle de centre et de rayon (voir figure ci-dessous) :
5. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé. On considère le point d'affixe et le cercle de centre et de rayon . Trouver parmi les points proposés un point du cercle .
Explications
Le centre du cercle est
Le rayon du cercle est égal à
L'équation du cercle est donc :
Seule le point d'affixe convient, en effet :
PROBLEME
Objectif : Le but de ce problème est de comparer, sur un exemple, deux méthodes de calcul de volumes.
On considère la fonction définie pour tout nombre réel de l'intervalle [1 ; 10] par :
1. Montrer que la fonction dérivée de la fonction et définie pour tout nombre réel de l'intervalle par :
La fonction est dérivable sur l'intervalle comme produit et somme de fonctions dérivables sur l'intervalle , donc :
2. a) Étudier le signe de en fonction des valeurs du nombre réel de l'intervalle .
Résolution de l'équation
On a :
La dérivée s'annule en , la courbe admettra donc un extremum au point de coordonnées
Signe de
b) En déduire le tableau de variations de la fonction sur l'intervalle
Valeurs aux limites du domaine
Tableau de variations
La fonction est croissante sur , puis décroissante sur : l'extremum de la courbe évoqué ci-dessus en est donc un maximum atteint par la fonction sur l'intervalle .
3. On appelle la représentation graphique de la fonction dans un repère orthonormé du plan (unités : 1 cm en abscisses, 1 cm en ordonnées).
Représenter graphiquement dans ce repère.
4. On considère l'équation (E) : sur l'intervalle .
a) Déterminer le nombre de solutions de l'équation (E).
Les solutions de l''équation (E) correspondent aux intersections, si elles existent, de la courbe de la fonction avec l'axe des abscisses.
On a vu ci-dessus que :
- sur , la fonction est croissante et on a , donc pour tout : ne peut donc couper l'axe des abscisses, il n'y a pas de solution à l'équation (E) sur l'intervalle
- sur , la fonction est strictement décroissante et on a , il existe donc une valeur telle que . étant strictement décroissante sur , cette valeur est donc unique.
L'équation (E) n'a donc qu'une seule solution.
b. Pour chacune des solutions trouvées, donner une valeur approchée à près, en explicitant votre méthode.
La solution à près de l'équation est donc
5. On considère la fonction , définie pour tout nombre réel appartenant à l'intervalle par :
a) Montrer que la fonction est une primitive de la fonction sur l'intervalle .
Si la fonction est une primitive de la fonction sur l'intervalle , alors
La fonction est dérivable sur comme somme et produit de fonctions dérivables sur , donc :
On a , la fonction est donc bien une primitive de la fonction sur l'intervalle .
b) Sur la représentation graphique réalisée précédemment, hachurer la portion du plan comprise entre , l'axe des abscisses et les droites d'équations et .
c) A l'aide de la représentation graphique, évaluer (en unités d'aire) l'aire de la portion .
Justifier la méthode utilisée.
En découpant l'aire sous la courbe de la figure ci-dessous, on obtient :
d) Calculer la valeur exacte de cette aire en unités d'aire.
La valeur exacte de cette aire sera donnée par l'intégrale suivante :
6. On veut déterminer le volume du solide engendré par la rotation de la partie hachurée autour de l'axe des abscisses.
a) Méthode par calcul formel :
À l'aide d'un logiciel de calcul formel on obtient :
En déduire une valeur approchée de à près.
A la calculatrice, on trouve :
b) Méthode des trois niveaux :
La méthode, dite des trois niveaux, permet d'estimer le volume d'un solide.
Par cette méthode, le volume estimé d'un solide de révolution de hauteur est égale à
où est l'aire de la section gauche, l'aire de la section intermédiaire et l'aire de la section droite.
Compléter, par des valeurs approchées au centième, le tableau des surfaces figurant en annexe.
En déduire une valeur approchée à près de .
Tableau
Valeur approchée de
c) On considère que la méthode des trois niveaux est acceptable si le rapport est compris entre 0,95 et 1,05. Peut-on affirmer que cette méthode des trois niveaux est acceptable pour cet exemple ?
On a :
On a donc :
On peut donc considérer la méthode des trois niveaux comme acceptable pour le présent exemple.
Publié par TP/
le
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