Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies Industrielles
Spécialités : Mécanique, Énergétique, Civil
Métropole - Session Juin 2011

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Spécialités :
Génie Mécanique :
Option A : Productique Mécanique
Option F : Microtechniques
Génie Energétique
Génie Civil


Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4

Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.
Des feuilles de papier millimétré seront mises à la disposition des candidats.
5 points

exercice 1

Au libre-service d'un restaurant d'entreprise, un repas est composé obligatoirement d'une entrée, d'un plat et d'un dessert. Pour chaque repas, un employé choisit au hasard :
    une entrée parmi trois : Crudités (C), Salade (S) ou Quiche (Q),
    un plat parmi deux : Poisson (P) ou Viande (V)
    un dessert parmi trois : Glace (G), Fruits (F) ou Laitage (L).

1. Sur l'annexe fournie ci-dessous (à rendre avec la copie), compléter l'arbre des repas.
bac STI génie mécanique (A et F) génie énergétique génie civil, Métropole juin 2011 - terminale : image 1


2. En déduire le nombre de repas que peut composer un employé.

3. On appelle :
    A l'évènement : «le repas composé contient le plat de poisson»,
    B l'évènement : «le repas composé contient des fruits au dessert».
On note p(A) la probabilité de l'évènement A.
Calculer p(A), p(B), p(\text{A} \cap \text{B}) et en déduire p(\text{A} \cup \text{B}).

4. Le tableau suivant donne en kcal le bilan calorique des mets proposés :
EntréesCrudités (C) : 300Salade composée (S) : 300Quiche (Q) : 400
PlatsViande (V) : 900Poisson (P) : 600
DessertsGlace (G) : 300Laitage (L) : 100Fruits (F) : 100

Compléter, sur l'annexe, le bilan calorique de chaque repas.

5. On appelle R la variable aléatoire qui à chaque repas associe son bilan calorique.
    a) Donner l'ensemble des valeurs que peut prendre la variable aléatoire R.
    b) Établir la loi de probabilité de la variable aléatoire R.
    c) Montrer que le bilan calorique moyen d'un repas est 1 250 kcal.


5 points

exercice 2

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Les questions sont indépendantes les unes des autres. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une seule réponse par question est acceptée et aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point.
Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève de point. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie correspondante.


1. Soit f la fonction définie pour tout nombre réel x par f(x) = 3\text{e}^{2x}. On note \mathcal{C}_{f} sa courbe représentative dans un repère donné.
Une équation de la tangente à la courbe \mathcal{C}_{f} au point de la courbe d'abscisse 0 est :
a) y = 3x+3
b) y = 6x+6
c) y = 3x+6
d) y = 6x+3

2. Pour tout nombre réel a, on définit le nombre I = \displaystyle\int_{0}^a  \text{e}^{2x}\:\text{d}x. La valeur de I est :
a) I = 0,5\text{e}^{2a} - 0,5
b) I = 0,5\text{e}^{2a - 0,5}
c) I = 0,5 - \text{e}^{2a}
d) I = 0,5 - 0,5\text{e}^{2a}

3. Soit l'équation différentielle y' + \dfrac{1}{2}y = 0y désigne une fonction dérivable de la variable réelle x.
Trouver parmi ces fonctions dérivables sur l'ensemble des nombres réels \mathbb{R}, une solution de l'équation proposée.
a) f(x) = 40\text{e}^{0,5x}
b) g(x) = - 10\cos (0,5x) + 12\sin (0,5x)
c) h(x) = 120\text{e}^{- 0,5x}
d) i(x) = - 0,5x

4. Une écriture sous forme exponentielle du nombre complexe z = - \dfrac{3}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} est :
a) z = 3\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}
b) z = 3\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}
c) z = \sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}
d) z = \sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}

5. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé. On considère le point \Omega d'affixe 3 - \text{i} et le cercle \mathcal{C} de centre \Omega et de rayon 2\sqrt{2}. Trouver parmi les points proposés un point du cercle \mathcal{C}.
a) M d'affixe 1 - 3\text{i}
b) N d'affixe 2 + \text{i}\sqrt{3}
c) P d'affixe 2 - 2\text{i}\sqrt{3}
d) Q d'affixe 0


10 points

probleme

Objectif : Le but de ce problème est de comparer, sur un exemple, deux méthodes de calcul de volumes.

On considère la fonction f définie pour tout nombre réel x de l'intervalle [1 ; 10] par
f(x) = - x\ln x + 2x.

1. Montrer que la fonction dérivée f' de la fonction f est définie pour tout nombre réel x de l'intervalle [1 ; 10] par : f'(x) = - \ln x + 1.

2. a) Étudier le signe de f'(x) en fonction des valeurs du nombre réel x de l'intervalle [1 ; 10].
    b) En déduire le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle [1 ; 10].

3. On appelle \mathcal{C} la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthonormé du plan (unités : 1 cm en abscisses, 1 cm en ordonnées).
Représenter graphiquement \mathcal{C} dans ce repère.

4. On considère l'équation (E) : f(x) = 0 sur l'intervalle [1 ; 10].
    a) Déterminer le nombre de solutions de l'équation (E).
    b) Pour chacune des solutions trouvées, donner une valeur approchée à 10-2 près, en explicitant votre méthode.

5. On considère la fonction F, définie pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle [1 ; 10], par
F(x) = x^2\left(\dfrac{5}{4} - \dfrac{1}{2}\ln x\right).

    a) Montrer que la fonction F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle [1 ; 10].
    b) Sur la représentation graphique réalisée précédemment, hachurer la portion S du plan comprise entre \mathcal{C}, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 1 et x = 7.
    c) À l'aide de la représentation graphique, évaluer (en unités d'aire) l'aire de la portion S.
Justifier la méthode utilisée.
    d) Calculer la valeur exacte de cette aire en unités d'aire.

6. On veut déterminer le volume V_{s} du solide engendré par la rotation de la partie hachurée autour de l'axe des abscisses.
    a) Méthode par calcul formel :
À l'aide d'un logiciel de calcul formel on obtient :
V_{s} = \pi\left(\dfrac{343(\ln 7)^2}{3} - \dfrac{4 802\ln 7}{9} + \dfrac{1 900}{3}\right) unités de volume.
En déduire une valeur approchée de V_{s} à 10-2 près.
    b) Méthode des trois niveaux :
La méthode, dite des trois niveaux, permet d'estimer le volume d'un solide.
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Par cette méthode, le volume estimé d'un solide de révolution de hauteur h est égale à
V_{e} = \dfrac{1}{6}h\left(\text{A}_{0} + 4\text{A}_{1} +\text{A}_{2}\right)A_{0} est l'aire de la section gauche, A_{1} l'aire de la section intermédiaire et A_{2} l'aire de la section droite.
Compléter, par des valeurs approchées au centième, le tableau des surfaces figurant en annexe.
SurfaceSection gaucheSection intermédiaireSection droite
Rayons f(4) = - 4\ln (4) + 8 \approx 2,45 
Aires12,57  

En déduire une valeur approchée à 10-2 près de V_{e}.
    c) On considère que la méthode des trois niveaux est acceptable si le rapport \dfrac{V_{e}}{V_{s}} est compris entre 0,95 et 1,05. Peut-on affirmer que cette méthode des trois niveaux est acceptable pour cet exemple ?





Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet. Des feuilles de papier millimétré seront mises à la disposition des candidats.

EXERCICE 1

Au libre-service d'un restaurant d'entreprise, un repas est composé obligatoirement d'une entrée, d'un plat et d'un dessert. Pour chaque repas, un employé choisit au hasard :
une entrée parmi trois : Crudités (C), Salade (S) ou Quiche (Q),
un plat parmi deux : Poisson (P) ou Viande (V)
un dessert parmi trois : Glace (G), Fruits (F) ou Laitage (L).

1. Sur l'annexe fournie ci-dessous (à rendre avec la copie), compléter l'arbre des repas.

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2. En déduire le nombre de repas que peut composer un employé.

\text{Nombre de repas}=\underbrace{3}_{Entrées}\times\underbrace{2}_{Plats}\times\underbrace{3}_{Desserts}=18

Il y a donc la possibilité de composer 18 repas différents.



3. On appelle :
A l'évènement : «le repas composé contient le plat de poisson»,
B l'évènement : «le repas composé contient des fruits au dessert».
On note p(A) la probabilité de l'évènement A.
Calculer pA), p(B), p(A\cap B) et en déduire p(A\cup B).


Evénement A
Prenons un repas qui contient du poisson, par exemple un repas constitué d'une salade, suivie de poisson puis d'une glace.
Notons p(S+P+G) la probabilité de ce repas, nous aurons donc (voir figure ci-dessous) :
p(S+P+G)=\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}
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Or, il y a 3 possibilités de desserts avec le poisson, ainsi que 3 possibilités d'entrées (voir figure ci-dessous), nous avons donc :

p(A)=\underbrace{3\times\frac{1}{3}}_{Entrées}\times\underbrace{\frac{1}{2}}_{Poissons}\times \underbrace{3\times\frac{1}{3}}_{Desserts}=\frac{1}{2}=0,5
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La probabilité de l'événement A est donc p(A)=\frac{1}{2}


Evénement B
Nous avons 18 possibilités de repas différents, parmi lesquels 6 peuvent contenir un dessert composé de fruits, ainsi :

p(B)=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}\approx 0,33

La probabilité de l'événement B est donc p(B)=\frac{1}{3}


Evénement A et B

p(A\cap B)=p(A)\times p(B)=\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\approx 0,17

La probabilité de l'événement A et B est donc p(A\cap B)=\frac{1}{6}


Evénement A ou B

p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\approx 0,67

La probabilité de l'événement A ou B est donc p(A\cup B)=\frac{2}{3}


4. Le tableau suivant donne en kcal le bilan calorique des mets proposés.
Compléter, sur l'annexe, le bilan calorique de chaque repas.
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5. On appelle R la variable aléatoire qui à chaque repas associe son bilan calorique.

a) Donner l'ensemble des valeurs que peut prendre la variable aléatoire R.

A la lecture de l'arbre de la question 4, on voit que :

R=\lbrace 1000,1100,1200,1300,1400,1500,1600\rbrace


b) Établir la loi de probabilité de la variable aléatoire R.

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & \cellcolor{gray} \\ \hline x_i & 1000 & 1100 & 1200 & 1300 & 1400 & 1500 & 1600 & Total \\ \hline p(R=x_i) & 4/18 & 2/18 & 2/18 & 5/18 & 2/18 & 2/18 & 1/18 & 1 \\ \hline \end{tabular}

On remarquera que :

\sum_{i=1}^7 p(R=x_i)=\frac{4}{18}+\frac{2}{18}+\frac{2}{18}+\frac{5}{18}+\frac{2}{18}+\frac{2}{18}+\frac{1}{18}=\frac{18}{18}=1


c) Montrer que le bilan calorique moyen d'un repas est 1 250 kcal.

Il suffit de calculer l'espérance \mathbb{E}(R) de la variable aléatoire R

\mathbb{E}(R)=\sum_{i=1}^7x_i\times p(R=x_i)=\frac{4}{18}\times 1000+\frac{2}{18}\times 1100+\frac{2}{18}\times 1200+\frac{5}{18}\times 1300+\frac{2}{18}\times 1400+\frac{2}{18}\times 1500+\frac{1}{18}\times 1600=\frac{22500}{18}=1250

Sur l'ensemble des repas prix dans ce restaurant, le bilan calorique moyen d'un repas est donc de 1 250 kcal.


EXERCICE 2


Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Les questions sont indépendantes les unes des autres. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une seule réponse par question est acceptée et aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point.
Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève de point. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie correspondante.


Préambule : pour ce corrigé, des explications détaillées (non demandées à l'épreuve) sont présentées ci-dessous afin de faciliter la compréhension des cheminements qui permettent d’aboutir aux résultats.

1. Soit f la fonction définie pour tout nombre réel x par f(x)=3e^{2x}. On note C_f sa courbe représentative dans un repère donné. Une équation de la tangente à la courbe C_f au point de la courbe d'abscisse 0 est : y=6x+3

Explications

La dérivée de la fonction f est f'(x)=6e^{2x}

La tangente à la courbe est une droite, et l’équation d’une droite s’écrit sous la forme y=ax+ba,b\in\R avec a le coefficient directeur de la droite.

Au point d’abscisse 0, le coefficient directeur a de cette tangente est donné par a=f'(0)=6e^{2\times 0}=6

Donc l’équation de la tangente peut s’écrire y=ax+b\Longleftrightarrow y=6x+b

Nommons M de coordonnées (x_M,y_M) le point de tangente à la courbe. Au point d’abscisse x=0, le point M aura pour abscisse x_M=0 et pour

ordonnée f(x_M)=3e^{x_M}\Longleftrightarrow f(0)=3e^0=3

Nous avons donc M(0,3) comme point de tangente à la courbe, ses coordonnées vérifient donc l’équation de la tangente, donc :

y_M=6x_M+b\Longleftrightarrow 3=6\times 0+b\Longleftrightarrow b=3

Nous avons  \left\lbrace\begin{array}l a=6 \\ b=3 \end{array} , l’équation de la tangente au point d’abscisse 0 est donc y=6x+3

La réponse est donc d.
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2. Pour tout nombre réel a, on définit le nombre I=\int_0^a e^{2x}dx. La valeur de I est : 0,5e^{2a}-0,5

Explications

I=\int_0^a e^{2x}dx=[\frac{1}{2}e^{2x}]_0^a=\frac{1}{2}e^{2a}-\frac{1}{2}e^{0}=\frac{1}{2}e^{2a}-\frac{1}{2}

La réponse est donc a.

L'intégrale correspond à la surface colorée sous la courbe et au-dessus de l'axe des abscisses, comprise entre l'axe des ordonnées et la droite d'équation x=a (voir figure ci-dessous) :

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3. Soit l'équation différentielle y'+\frac{1}{2}y=0y désigne une fonction dérivable de la variable réelle x.
Trouver parmi ces fonctions dérivables sur l'ensemble des nombres réels \mathbb\R, une solution de l'équation proposée.

Explications

Les solutions d'une équation différentielle du type y'+ay=0 sont de la forme y=ke^{-ax}\text{ avec }k\in\matbb\R.

Dans le cas présent, une solution de l'équation différentielle sera donc de la forme y=ke^{-\frac{1}{2}x}\text{ avec }k\in\matbb\R

y=120e^{-0,5x} convient.

La réponse est donc c.


4. Une écriture sous forme exponentielle du nombre complexe z=-\frac{3}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} est : z=\sqrt{3}e^{i\frac{5\pi}{6}}

Explications

On recherche le module de z :

\mid z\mid=\sqrt{(-\frac{3}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{3}{4}}=\sqrt{3}

Donc :

z=-\frac{3}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}(-\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2})=\sqrt{3}(cos\frac{5\pi}{6}+isin\frac{5\pi}{6})=\sqrt{3}e^{i\frac{5\pi}{6}}

La réponse est donc c.

Soit M le point d'affixe z=-\frac{3}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}, à noter que celui-ci sera donc sur le cercle de centre O=(0,0) et de rayon R=\sqrt{3} (voir figure ci-dessous) :

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5. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé. On considère le point \Omega d'affixe 3-i et le cercle C de centre \Omega et de rayon 2\sqrt{2}. Trouver parmi les points proposés un point du cercle C.

Explications

Le centre du cercle est \Omega(3,-1)

Le rayon du cercle est égal à 2\sqrt{2}

L'équation du cercle C est donc :

(x-x_\Omega)^2+(y-y_\Omega)^2=R^2\Longleftrightarrow (x-3)^2+(y-(-1))^2=(2\sqrt{2})^2\Longleftrightarrow (x-3)^2+(y+1)^2=8

Seule le point M d'affixe 1-3i convient, en effet :

(x_M-3)^2+(y_M+1)^2= (1-3)^2+(-3+1)^2=(-2)^2+(-2)^2=4+4=8

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PROBLEME



Objectif : Le but de ce problème est de comparer, sur un exemple, deux méthodes de calcul de volumes.
On considère la fonction f définie pour tout nombre réel x de l'intervalle [1 ; 10] par :

f(x)=-xln x+2x



1. Montrer que la fonction dérivée f' de la fonction f et définie pour tout nombre réel x de l'intervalle [1,10] par :

f'(x)=-lnx+1


La fonction f est dérivable sur l'intervalle [1,10] comme produit et somme de fonctions dérivables sur l'intervalle [1,10], donc :

f'(x)=\underbrace{-1\times ln x+(-x)\times \frac{1}{x}}_{(-xlnx)'}+\underbrace{2}_{(2x)'}=-lnx-1+2=-lnx+1


2. a) Étudier le signe de f'(x) en fonction des valeurs du nombre réel x de l'intervalle [1 , 10].

Résolution de l'équation f(x)=0

f'(x)=0\Longleftrightarrow -ln x+1=0\Longleftrightarrow ln x=1\Longleftrightarrow x=e^1=e\in [1,10]

On a :

f(e)=-e\times\underbrace{ln(e)}_{=1}+2e=-e+2e=e

La dérivée f' s'annule en x=e, la courbe admettra donc un extremum au point de coordonnées (e,f(e))=(e,e)


Signe de f'(x)

\text{\bf{. }}\forall x\in[1,e[,lnx<1\Longrightarrow -ln x>1\Longrightarrow 1-lnx>0\Longrightarrow f'(x)>0

\text{\bf{. }}x=e\Longrightarrow f'(x)=0

\text{\bf{. }}\forall x\in]e,10],lnx>1\Longrightarrow -ln x<1\Longrightarrow 1-lnx<0\Longrightarrow f'(x)<0


b) En déduire le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle [1 , 10]

Valeurs aux limites du domaine

\text{\bf{. }}f(1)=-1\times ln1+2\times 1=2

\text{\bf{. }}f(10)=-10\times ln10+2\times 10=20-10ln10\approx -3,03

Tableau de variations
\begin{array}{|c|ccccccc||}x&1&&e&&10 \\f'(x)& &+&0&-& & \\f&_2&\nearrow& \overset{^e}{\text{ }}&\searrow&_{-3,03}&\end{array}

La fonction est croissante sur [1,e], puis décroissante sur [e,10] : l'extremum de la courbe évoqué ci-dessus en x=e est donc un maximum atteint par la fonction f sur l'intervalle [1,10].


3. On appelle C la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthonormé du plan (unités : 1 cm en abscisses, 1 cm en ordonnées).
Représenter graphiquement C dans ce repère.

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4. On considère l'équation (E) : f(x)=0 sur l'intervalle [1 , 10].

a) Déterminer le nombre de solutions de l'équation (E).

Les solutions de l''équation (E) correspondent aux intersections, si elles existent, de la courbe C de la fonction f avec l'axe des abscisses.

On a vu ci-dessus que :

- sur [1,e], la fonction f est croissante et on a 2\leq f(x)\leq e , donc pour tout  x\in[1,e],f(x)>0 : C ne peut donc couper l'axe des abscisses, il n'y a pas de solution à l'équation (E) sur l'intervalle [1,e]

- sur ]e,10], la fonction f est strictement décroissante et on a e\leq f(x)\leq -3,03 , il existe donc une valeur \alpha telle que f(\alpha)=0. f étant strictement décroissante sur ]e,10], cette valeur est donc unique.

L'équation (E) n'a donc qu'une seule solution.


b. Pour chacune des solutions trouvées, donner une valeur approchée à 10^{-2} près, en explicitant votre méthode.

f(x)=0\Longleftrightarrow-xlnx+2x=0\Longleftrightarrowx(2-lnx)=0\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l x=0\notin [1,10] \\ lnx=2\Longleftrightarrow x=e^2\approx 7,389 \in [1,10] \end{array}

La solution à 10^{-2} près de l'équation f(x)=0 est donc \alpha\approx 7,39


5. On considère la fonction F, définie pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle [1 , 10] par :

F(x)=x^2(\frac{5}{4}-\frac{1}{2}lnx)


a) Montrer que la fonction F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle [1 , 10].

Si la fonction F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle [1 , 10], alors F'(x)=f(x)

La fonction F est dérivable sur [1 , 10] comme somme et produit de fonctions dérivables sur [1 , 10], donc :

F'(x)=2x(\frac{5}{4}-\frac{1}{2}lnx)+x^2(-\frac{1}{2}\times\frac{1}{x})=\frac{5}{2}x-xlnx-\frac{1}{2}x=2x-xlnx=f(x)

On a F'(x)=f(x), la fonction F est donc bien une primitive de la fonction f sur l'intervalle [1 , 10].


b) Sur la représentation graphique réalisée précédemment, hachurer la portion S du plan comprise entre C, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=1 et x=7.

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c) A l'aide de la représentation graphique, évaluer (en unités d'aire) l'aire de la portion S.
Justifier la méthode utilisée.

En découpant l'aire sous la courbe de la figure ci-dessous, on obtient :

Aire\approx \underbrace{9\times 1}_{bleu}+\underbrace{2\times \frac{1}{2}}_{vert}+\underbrace{4\times \frac{1}{4}}_{orange}+\underbrace{2\times \frac{1}{4}}_{rose}+\underbrace{3\times \frac{1}{8}}_{rouge}+\underbrace{2\times \frac{1}{16}}_{marron}\approx 9+1+1+\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=11+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\approx 12\text{ unités d'aire}

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d) Calculer la valeur exacte de cette aire en unités d'aire.

La valeur exacte de cette aire sera donnée par l'intégrale suivante :

Aire=\int_1^7f(x)dx=[F(x)]_1^7=F(7)-F(1)=7^2(\frac{5}{4}-\frac{1}{2}\times ln7)-[1^2(\frac{5}{4}-\frac{1}{2}\times\underbrace{ln1}_{=0})]=\frac{245}{4}-\frac{49}{2}ln7-\frac{5}{4}=60-\frac{49}{2}ln7\approx 12,33\text{ unités d'aire}


6. On veut déterminer le volume V_S du solide engendré par la rotation de la partie hachurée autour de l'axe des abscisses.
a) Méthode par calcul formel :
À l'aide d'un logiciel de calcul formel on obtient :
V_S=\pi(\frac{343(ln7)^2}{3}-\frac{4802ln7}{9}+\frac{1900}{3})\text{ unités de volume}

En déduire une valeur approchée de V_S à 10^{-2} près.

A la calculatrice, on trouve :

V_S\approx 88,005\approx 88,01\text{ unités de volume}


b) Méthode des trois niveaux :
La méthode, dite des trois niveaux, permet d'estimer le volume d'un solide.
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Par cette méthode, le volume estimé d'un solide de révolution de hauteur h est égale à
V_e=\frac{1}{6}h(A_0+4A_1+A_2)A_0 est l'aire de la section gauche, A_1 l'aire de la section intermédiaire et A_2 l'aire de la section droite.
Compléter, par des valeurs approchées au centième, le tableau des surfaces figurant en annexe.
En déduire une valeur approchée à 10^{-2} près de V_e.

Tableau
\begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline Surface & \text{Section gauche} & \text{Section intermédiaire} & \text{Section droite}   \\ \hline Rayons & \color{blue}f(1)=1ln(1)+2=2 & f(4)=-4ln(4)+8\approx 2,45 & \color{blue}f(7)=-7ln(7)+14\approx 0,38 \\ \hline Aires & 12,57 & \color{blue}18,93 & \color{blue}0,45  \\ \hline \end{tabular}



Valeur approchée de V_e

V_e=\frac{1}{6}h(A_0+4A_1+A_2)=\frac{1}{\cancel{6}}\underbrace{(\overbrace{7-1}^{=\cancel{6}})}_{h}(\underbrace{2\pi f^2(1)}_{=A_0}+4\times\underbrace{2\pi f^2(4)}_{=A_1}+\underbrace{2\pi f^2(7)}_{=A_2})=A_0+4A_1+A_2=12,57+4\times 18,93+0,45=88,74\text{ unités de volume}


c) On considère que la méthode des trois niveaux est acceptable si le rapport \frac{V_e}{V_S} est compris entre 0,95 et 1,05. Peut-on affirmer que cette méthode des trois niveaux est acceptable pour cet exemple ?

On a :

\frac{V_e}{V_S}=\frac{88,74}{88,01}\approx 1,0439\approx 1,04

On a donc :

0,95\leq\frac{V_e}{V_S}\leq 1,05

On peut donc considérer la méthode des trois niveaux comme acceptable pour le présent exemple.
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