Fiche de mathématiques
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Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Arts Appliqués
Métropole - La Réunion - Session Juin 2011

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Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2

L'usage d'une calculatrice réglementaire est autorisé durant l'ensemble de l'épreuve.
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
Une feuille de papier millimétré est fournie.
8 points

exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.




1. Les 32 employés d'une entreprise se répartissent de la façon suivante: 18 ouvriers, 6 cadres et 8 techniciens.
14 employés ont plus de 40 ans. Parmi les techniciens, 3 ont plus de 40 ans.
On interroge au hasard un technicien. La probabilité qu'il ait moins de 40 ans est égale à :
a) \dfrac{5}{8}b) \dfrac{1}{3}c) \dfrac{5}{32}

2. On interroge au hasard un employé de l'entreprise considérée à la question 1. La probabilité que ce ne soit ni un technicien, ni une personne de plus de quarante ans est égale à :
a) \dfrac{3}{8}b) \dfrac{22}{32}c) \dfrac{13}{32}

Dans les questions 3. et 4., on considère l'ellipse (E) représentée ci-contre dans le plan rapporté au repère orthonormal (O ; \vec{i},\vec{j}).
Sujet Bac STI arts appliqués, Métropole 2011 - terminale : image 1


3. 3. L'ellipse (E) a pour équation:
a) 25x^2 +9y^2 = 1b) \dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1c) \dfrac{x^2}{5} + \dfrac{y^2}{3} = 1

4. Un des foyers de l'ellipse (E) a pour coordonnées:
a) (4 ; 0)b) (2 ; 0)c) (0 ; 4)

5. Soit S l'ensemble des solutions dans l'intervalle ]0 ; + \infty[ de l'équation \ln x = - 2, alors:
a) S = 0b) S = \lbrace- 2\rbracec) S = \left\lbrace\dfrac{1}{\text{e}^2}\right\rbrace

6. L'équation 0,5 \text{e}^x = 4 a pour solution :
a) \ln 8b) 2\ln 4c) \text{e}^8

7. Une primitive de la fonction h :\quad  x \longmapsto x^2 + 2 définie sur \mathbb{R} est la fonction H définie sur \mathbb{R} par :
a) H(x) = 2x b) \dfrac{x^3}{3} + 2x + 1c) x^3 + 2x

8. Soit f la fonction définie sur ]0 ; + \infty[ par f(x) = 2x + 1 + \dfrac{1}{x}. Sa courbe représentative dans un repère du plan admet pour asymptote en + \infty, la droite d'équation :
a) x = 1b) y = 0c) y = 2x + 1



12 points

exercice 2

Partie 1

La courbe (\mathcal{C}) donnée en annexe (à rendre avec la copie) est la représentation graphique d'une fonction f définie sur l'intervalle [1 ; 3] dans le plan muni d'un repère orthonormé d'origine O et d'unité graphique 5 cm.
Sujet Bac STI arts appliqués, Métropole 2011 - terminale : image 2
On suppose que la fonction f est dérivable sur l'intervalle [1 ; 3] et on désigne par f' sa fonction dérivée.
Les données sont les suivantes :
   (1) : La courbe (\mathcal{C}) passe par les points A, B et D d'abscisses respectives 1, 2 et 3. Les points A, A', B' et D' ont des coordonnées entières.
   (2) : La droite (BE), parallèle à l'axe des abscisses, est tangente en B à la courbe (\mathcal{C}).
   (3) : La droite (AB') est tangente en A à la courbe (\mathcal{C}).

On répondra aux questions ci-dessous par une lecture graphique. De ce fait, certains résultats seront arrondis au dixième.

1. Déterminer f(1), f(2) et f(3).

2. a) Déterminer une équation de la droite (AB').
    b) Déterminer f'(1) et f'(2).

3. Dresser le tableau des variations de la fonction f et préciser le signe de sa dérivée f'.

4. Déterminer l'aire du triangle AA'B' en unités d'aires.

Partie 2

1. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Vérifier que la fonction f définie sur l'intervalle [1 ; 3] par f(x) = x - 2 \ln x (\ln désigne la fonction logarithme népérien) satisfait aux données (2) et (3) de la partie 1.

On suppose désormais que la fonction f représentée en annexe est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle [1 ; 3] par : f(x) = x - 2\ln x.

2. Soit F la fonction définie sur [1 ; 3] par : F(x) = \dfrac{x^2}{2} + 2x -2x\ln x. Vérifier que F est une primitive de f sur l'intervalle [1 ; 3].

3. On pose I = \displaystyle\int_{1}^3 f(x)\:\text{d}x. Calculer la valeur exacte de I et en donner une interprétation graphique.

4. Soit (\mathcal{P}) la partie du plan limitée par la courbe (\mathcal{C}), l'axe des abscisses, la droite (AB') et la droite (DD').
    a) Hachurer (\mathcal{P}) et calculer son aire en unités d'aire.
    b) Le domaine (\mathcal{P}) représente la maquette à l'échelle \dfrac{1}{3} du logo d'une société. Calculer l'aire en cm2 de ce logo, arrondie à l'unité.




EXERCICE 1



1. \boxed{\textcolor{blue}{\text{La bonne réponse est la réponse a}.}}}

Explications :

La personne interrogée est un Technicien, il figure donc parmi les 8 Techniciens de l'entreprise.

Sachant que seulement 3 des Techniciens ont plus de 40 ans, cela implique donc que 5 des Techniciens sur les 8 ont moins de 40 ans.

La probabilité recherchée est donc bien égale à \dfrac{5}{8}.


2. \boxed{\textcolor{blue}{\text{La bonne réponse est la réponse c}.}}}

Explications :

L'entreprise possède 32 employés et parmi ceux-ci 14 ont plus de 40 ans, donc 18 employés ont moins de 40 ans.

Parmi ces moins de 40 ans, on a vu à la question 1 qu'il y avait 5 Techniciens (de moins de 40 ans), il reste donc 13 personnes concernées par les critères définis.

La probabilité recherchée est donc bien égale à \dfrac{13}{32}.

Une organisation possible de cet énoncé pouvait être un tableau à double entrée.


3. \boxed{\textcolor{blue}{\text{La bonne réponse est la réponse b}.}}}

Explications :

L'axe focal de cette ellipse est l'axe des abscisses.

Une équation de cette ellipse s'écrit sous la forme : \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 avec pour demi-grand axe a et pour demi-petit axe b

Par lecture graphique, le demi-grand axe est de valeur a=5 et le demi-petit axe est de valeur b=3

ce qui donne \dfrac{x^2}{5^2}+\dfrac{y^2}{3^2}=1\text{ ou encore }\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1


4. \boxed{\textcolor{blue}{\text{La bonne réponse est la réponse a}.}}}

Explications :

Une ellipse d'axe focal (O;\vec{i}) , de demi-grand axe a et de demi-petit axe b a pour foyers les points F et F' dont les coordonnées sont données par :

F(c,0) et F'(-c,0) avec c=\sqrt{a^2-b^2}

On a :

c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4

Les foyers ont donc pour coordonnées F(4,0)\text{ et }F'(-4,0)


5. \boxed{\textcolor{blue}{\text{La bonne réponse est la réponse c}.}}}

Explications :

\ln x=-2\Leftrightarrow x=\text{e}^{-2}=\dfrac{1}{\text{e}^2}


6. \boxed{\textcolor{blue}{\text{La bonne réponse est la réponse a}.}}}

Explications :

0,5\text{e}^x=4\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\text{e}^x=4\Leftrightarrow \text{e}^x=8\Leftrightarrow x=\ln 8


7. \boxed{\textcolor{blue}{\text{La bonne réponse est la réponse b}.}}}

Explications :

\text{Soit la fonction }H \text{ définie sur }\textbf{R }\text{ par } H(x)=\dfrac{x^3}{3}+2x+1\text{ alors }H'(x)=x^2 + 2=h(x)


8. \boxed{\textcolor{blue}{\text{La bonne réponse est la réponse c}.}}}

Explications :

f(x)-(2x+1)=\cancel{2x}+\cancel{1}+\dfrac{1}{x}-\cancel{2x}-\cancel{1}]\\ \text{ donc } \underset{x\to +\infty}{\lim}{f(x)-(2x+1)}=\underset{x\to +\infty}{\lim}\dfrac{1}{x}=0

La droite d'équation y=2x+1 est bien asymptote à la courbe de la fonction f en +\infty.


EXERCICE 2


Partie 1



1. Détermination de f(1)\text{, }f(2)\text{ et }f(3)

Par lecture graphique, on obtient :

\boxed{\textcolor{blue}{f(1)=1\text{, }f(2)=\dfrac{3}{5}\text{ et }f(3)=\dfrac{4}{5}}}}


2-a. Equation de la droite (AB')

Une équation de droite non parallèle à l'axe des ordonnées s'écrit sous la forme y=mx+p avec m et p réels.

Graphiquement, on lit que le coefficient directeur de la droite (AB') est égal à -1, donc m=-1. En conséquence, l'équation est de la forme y=-x+p.

En écrivant ensuite que B (2 ; 0 ) appartient à cette droite, on obtient :
y_B=-x_B+p\text{ soit } 0=-2+p\text{ ou encore } p=2

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Une équation de la droite }(AB')\text{ peut s'écrire :  }y=-x+2}}}


b. Détermination de f'(1)\text{ et }f'(2)

Si une fonction f est dérivable en un point d'abscisse x_0, alors la valeur du nombre dérivé f'(x_0) correspond au coefficient directeur de la droite tangente à la courbe de f au point d'abscisse x_0.

Comme vu à la question 2-a, le coefficient directeur de la droite (AB'), tangente à la courbe de f en A(1,1), est égal à -1, donc f'(1)=-1.

Au point B d'abscisse x_0=2, la tangente à la courbe de f est horizontale, son coefficient directeur est donc nul, donc f'(2)=0.

\boxed{\textcolor{blue}{f'(1)=-1\text{ et }f'(2)=0}}}


3. Tableau des variations de la fonction f et signe de sa dérivée f'.

 \begin{tabvar}{|C|CCCCCC|}  \hline  x                       & 1   &&  2  &&    3  & \\ \hline  f'(x)                & &   -      &  0  &   +    & &           \\ \hline \niveau{2}{3} f       & 1   &  \decroit  &  \frac{3}{5}   &\croit     &   \frac{4}{5}  & \\ \hline \end{tabvar}


4. Aire du triangle (AA'B')

\text{Aire}_{(AA'B')}=\dfrac{1}{2}\times AA' \times A'B'=\dfrac{1}{2}\times 1 \times 1=\dfrac{1}{2}\text{ unité d'aire}

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Aire}_{(AA'B')}=\dfrac{1}{2}\text{ unité d'aire}}}}



Partie 2



1. Vérification des critères 2 et 3 de la partie 1

Critère 2 :

La fonction f est dérivable sur [1,3] comme somme de fonctions dérivables sur [1,3], et on a :

f'(x)=1-2\times\dfrac{1}{x}=1-\dfrac{2}{x}=\dfrac{x-2}{x}

L'abscisse x_B du point B est égale à 2, on a donc :

f'(x_B)=\dfrac{x_B-2}{x_B}\Rightarrow f'(2)=\dfrac{2-2}{2}=0

Le nombre dérivé de la fonction f au point de la courbe d'abscisse x_B=2 est nul, donc :

\boxed{\textcolor{blue}{\text{La tangente en }B \text{ est parallèle à l'axe des abscisses, le critère 2 est donc vérifié.}}}}

Une remarque qui s'impose : f(2)=2-\ln 2\approx 0.61 \text{ et le point }B\text{ n'a pas ses coordonnées entières en réalité.}


Critère 3 :

f'(x)=1-\dfrac{2}{x}\text{ donc } f'(1)=-1

Une équation de la tangente à la courbe (\mathcal{C}) au point A(1,1) a pour équation :

y=f'(1)(x-1)+f(1)\text{ soit } y=(-1)(x-1)+1\text{ soit } y=-x+2

\boxed{\textcolor{blue}{\text{La tangente en }A \text{ a bien pour équation }y=-x+2\text{, le critère 3 est donc vérifié.}}}}


2. Primitive de f sur [1,3]

\text{Les fonctions } F \text{ et }f \text{ sont toutes deux définies sur }[1\;;\;3]

Dérivons la fonction F :

F'(x)=\dfrac{1}{\cancel{2}}\times \cancel{2}x+2-\left(2\ln x+2\cancel{x}\times\dfrac{1}{\cancel{x}} \right)=x+\cancel{2}-2\ln x-\cancel{2}=x-2\ln x

\boxed{\textcolor{blue}{F\text{ est donc une primitive de }f \text{ sur }[1,3].}}}


3. Valeur de I et interprétation graphique

I=\displaystyle {\int_{1}^{3}f(x)\text{d}x=\left[F(x) \right]_{1}^{3}=F(3)-F(1)=\dfrac{3^2}{2}+2\times 3-2\times 3\ln 3-\left(\dfrac{1^2}{2}+2\times 1-2\times 1\underbrace{\ln 1}_{=0} \right)= \dfrac{9}{2}+6-6\ln 3-\dfrac{1}{2}-2=8-6\ln 3\text{ unités d'aire}

\boxed{\textcolor{blue}{I=8-6\ln 3\text{ unités d'aire}}}}

Pour \text{ tout }x\text{ de }[1\;;\;3],\;f ne prend que des valeurs positives.

Cette intégrale correspond donc à l'aire du domaine compris entre la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=1 et x=3.

Représentation graphique : (non demandée)

Sujet Bac STI arts appliqués, Métropole 2011 - terminale : image 4



4-a. Représentation graphique de (\mathcal{P})

Sujet Bac STI arts appliqués, Métropole 2011 - terminale : image 3


(\mathcal{P}) correspond à l'aire calculée à la question précédente (par le biais de l'intégrale I), à laquelle on soustrait la valeur de l'aire du triangle (AA'B') calculée à la question 4 de la partie A.

Nous avons donc :

\text{Aire}_{(\mathcal{P})}=I-\text{Aire}_{(AA'B')}=8-6\ln 3-\dfrac{1}{2}=\left(\dfrac{15}{2}-6\ln 3 \right)\text{ unités d'aire}

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Aire}_{(\mathcal{P})}=\left(\dfrac{15}{2}-6\ln 3 \right)\text{ unités d'aire}}}}


b. Aire en cm2 du logo

L'unité graphique est de 5 cm, donc 1 unité d'aire représente 25 cm2.

La maquette est à l'échelle \dfrac{1}{3}, les dimensions en grandeur réelle du logo seront donc 3 fois plus grandes en largeur comme en longeur, l'aire du logo sera donc 3\times 3=9 fois plus grande que la surface du domaine (\mathcal{P}), donc :

\text{Aire}_{\text{ logo}}=9\times 25\times \left( \dfrac{15}{2}-6\ln 3\right)= 204,37 \text{ cm}^2

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Aire}_{\text{ logo}}= 204 \text{ cm}^2}}}

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