Fiche de mathématiques

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Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Arts Appliqués
Antilles Guyane - Session Juin 2011

Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2

L'usage d'une calculatrice réglementaire est autorisé durant l'ensemble de l'épreuve.
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
Une feuille de papier millimétré est fournie.

8 points

exercice 1

a) 0

b) 2

c) 1

2. Soit $f$ la fonction définie sur l'ensemble $R$ par $f(x) = x^2 + 3x- 2$ . Une équation de la tangente à la représentation graphique de la fonction $f$ en son point d'abscisse 0 est :

a) $y = 3x - 2$

b) $y = 2x+ 3$

c) $y = 3x$

3. Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle ]- 2 ; $+\infty$ [ par $f(x) = \ln (x + 2)$ .
Alors sa dérivée est la fonction $f'$ définie sur l'intervalle ]- 2 ; $+\infty$ [ par :

a) $f'(x) = \dfrac{1}{x + 2}$

b) $f'(x) = \dfrac{1}{x}$

c) $f'(x) =\dfrac{1}{x}+ 2$

4. Une solution dans l'intervalle ]0 ; $+\infty$ [ de l'équation $\ln (x) = 4$ est :

a) $\ln 4$

b) 4

c) $\text{e}^4$

5. Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle ]- 4 ; $+\infty$ [ par $f(x) = 2 + \dfrac{3}{x + 4}$ .
Alors la limite de la fonction $f$ en -4 est :

a) 2

b) $-\infty$

c) $+\infty$

6. Dans un plan rapporté à un repère orthonormal, on considère l'ellipse C d'équation $4x^2 + 9y^2 = 36$ .
Alors un de ses sommets a pour coordonnées :

a) (0 ; 3)

b) (3 ; 0)

c) (2 ; 0)

7. Une urne contient 2 boules rouges et 2 boules jaunes indiscernables au toucher. On en tire deux boules au hasard, l'une après l'autre, sans les remettre dans l'urne.
La probabilité d'obtenir les deux boules rouges est :

a) $\dfrac{1}{2}$

b) $\dfrac{1}{6}$

c) $\dfrac{1}{3}$

8. Parmi les 32 employés d'une entreprise, il y a 24 hommes dont 14 ont plus de 40 ans. Parmi les femmes, 3 ont plus de 40 ans. On interroge une femme.
La probabilité qu'elle ait moins de 40 ans est égale à :

a) $\dfrac{5}{8}$

b) $\dfrac{15}{32}$

c) $\dfrac{5}{32}$

12 points

exercice 2

Partie A

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 4] par $f(x) = - x^2 + 4x + 3$ . On a représenté en annexe (à joindre à la copie) la courbe $\mathcal{C}_{f}$ représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal d'unité graphique 2 centimètres.

bac STI arts appliqués, Antilles Guyane Juin 2011 - terminale : image 1

1. Dresser, par lecture graphique, le tableau des variations de $f$ .

2. Calculer la valeur exacte de l'intégrale $I = \displaystyle\int_{0}^4 f(x)\:\text{d}x$ .

Partie B

Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 4] par $g(x) = \text{e}^{0,5x} - 2x+ 2$ .

1. Recopier et compléter le tableau suivant (on arrondira éventuellement les résultats au centième) :

$x$	0	1	2	3	4
$g(x)$					1,39

2. On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ .
    a) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Le signe de $g'(x)$ est donné dans le tableau suivant :
$\begin{tabvar}{|c|CCCCC|} \hline x & 0 & & 2 \ln 4 & & 4 \\ \hline g'(x) & & - & 0 & + & \\ \hline \end{tabvar}$
Justifier les renseignements indiqués dans ce tableau.
    b) Construire le tableau des variations de la fonction $g$ .
On précisera la valeur exacte et la valeur arrondie au centième de l'extremum.
    c) Tracer la représentation graphique $\mathcal{C}_{g}$ de la fonction $g$ dans le même repère que $\mathcal{C}_{f}$ (unité graphique : 2 cm).
    d) On considère la fonction $G$ définie sur l'intervalle [0 ; 4] par $G(x) = 2\text{e}^{0,5x} - x^2 + 2x$ . Vérifier que $G$ est une primitive de la fonction $g$ sur l'intervalle [0 ; 4].
    e) On pose $J = \displaystyle\int_{0}^4 g(x)\:\text{d}x$ . Vérifier que $J = 2\text{e}^{2} - 10$ .

Partie C

1. a) Tracer en pointillés la droite $D$ d'équation $x = 4$ dans le même repère que $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ .
b) On admet que l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan délimitée par les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 4$ est égale à $I - J$ .
Calculer cette aire en cm², arrondie à l'unité.

2. Soit $C$ et $C'$ les courbes symétriques de $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ par rapport à la droite $D$ .
La partie du plan délimitée par les courbes $\mathcal{C}_{f}$ , $\mathcal{C}_{g}$ , $C$ et $C'$ représente la maquette d'un logo publicitaire.
Compléter cette maquette de logo en traçant $C$ et $C'$ et calculer son aire en centimètres carrés, arrondir à l'unité.

Voir la correction

EXERCICE 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.

Préambule : pour ce corrigé, des explications détaillées (non demandées à l'épreuve) sont présentées ci-dessous afin de faciliter la compréhension des cheminements qui permettent d’aboutir aux résultats.

1. Le nombre de solutions réelles distinctes de l'équation est $2x^2+4x=x+1$ est $2$ :

Explications

$2x^2+4x=x+1\Longleftrightarrow 2x^2+3x-1=0$

$\Delta=b^2-4ac=3^2-4\times 2 \times (-1)=9+8=17>0$

Il y a donc 2 solutions réelles distinctes pour cette équation.

La réponse est donc b.

2. Soit la fonction définie sur l'ensemble $\R$ par $f(x)=x^2+3x-2$ . Une équation de la tangente à la représentation graphique de la fonction $f$ en son point d'abscisse 0 est $y=3x-2$ :

Explications

La dérivée de la fonction $f$ est $f’(x)=2x+3$

La tangente à la courbe est une droite, et l’équation d’une droite s’écrit sous la forme $y=ax+b$ où $a,b\in\R$ avec $a$ le coefficient directeur de la droite.

Au point d’abscisse 0, le coefficient directeur $a$ de cette tangente est donné par $a=f’(0)=2\times 0+3=3$

Donc l’équation de la tangente peut s’écrire $y=ax+b\Longleftrightarrow y=3x+b$

Nommons $M$ de coordonnées $(x_M,y_M)$ le point de tangente à la courbe. Au point d’abscisse $x=0$ , $M$ aura pour abscisse $x_M=0$ et pour

ordonnée $f(x_M)=x_M^2+3x_M-2\Longleftrightarrow f(0)=0^2+3\times 0-2=-2$ .

Nous avons donc $M(0,-2)$ comme point de tangente à la courbe, ses coordonnées vérifient donc l’équation de la tangente, donc :

$y_M=3x_M+b\Longleftrightarrow -2=3\times 0+b\Longleftrightarrow b=-2$

Nous avons $\left\lbrace\begin{array}l a=3 \\ b=-2 \end{array}$ , l’équation de la tangente au point d’abscisse 0 est donc $y=3x-2$

La réponse est donc a.

3. Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]-2,+\infty[$ par $f(x)=ln(x+2)$ .

Alors sa dérivée est la fonction $f’$ définie sur l'intervalle $]-2,+\infty[$ par $f’(x)=\frac{1}{x+2}$

Explications

On sait que $ln’(u)=\frac{u’}{u}$ . Ici, $u=x+2$ et $u’=1$

Donc $f’(x)=\frac{1}{x+2}$

La réponse est donc a.

4. Une solution dans l'intervalle $0,+\infty$ de l'équation $ln(x)=4$ est $e^4$

Explications

Pour tout $x\in ]0,+\infty[$ , on a : $ln(x)=y\Longleftrightarrow x=e^y$

Donc : $ln(x)=4\Longleftrightarrow x=e^4$

La réponse est donc c.

5. Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]-4,+\infty[$ par $f(x)=2+\frac{3}{x+4}$ .

Alors la limite de la fonction $f$ en -4 est $+\infty$

Explications

Notons $-4^+$ la valeur $-4$ par valeur supérieure, c'est à dire que $-4^+>-4$ , comme par exemple $-3,9999>-4$

$\underset{x\to -4^+}{lim}f(x)= \underset{x\to -4^+}{lim}(2+\underbrace{2+\frac{3}{\underbrace{x+4}_{\to 0^+}}}_{\to +\infty}=+\infty$

La réponse est donc c.

6. Dans un plan rapporté à un repère orthonormal, on considère l'ellipse C d'équation $4x^2+9y^2=36$ .
Alors un de ses sommets a pour coordonnées $(3,0)$

Explications

L’équation d’une ellipse de demi-grand axe $a$ et de demi-petit axe $b$ s’écrit sous la forme $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

et dans ce cas ses sommets ont pour coordonnées $(a,0) ; (-a,0) ; (0,b) ; (0,-b)$

C a pour équation $4x^2+9y^2=36\Longleftrightarrow \frac{4x^2}{36}+\frac{9y^2}{36}=1\Longleftrightarrow \frac{\cancel{4}x^2}{\cancel{4}\times 9}+\frac{\cancel{9}y^2}{\cancel{9}\times 4}=1\Longleftrightarrow \frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{2^2}=1$

Nous avons $\left\lbrace\begin{array}l a=3 \\ b=2 \end{array}$ , les sommets de C ont donc pour coordonnées $(3,0) ; (-3,0) ; (0,2) ; (0,-2)$

La réponse est donc b.

7. Une urne contient 2 boules rouges et 2 boules jaunes indiscernables au touché. On en tire deux boules au hasard, l'une après l'autre, sans les remettre dans l'urne.
La probabilité d'obtenir les deux boules rouges est $\frac{1}{6}$

Explications

Soit $R$ l’évènement « obtenir 1 boule rouge au premier tirage ».

Soit $2R$ l’évènement « obtenir 2 boules rouges à la fin du second tirage ».

On tire deux boules l'une après l'autre sans les remettre dans l'urne, donc au premier tirage, il y a 4 boules dans l’urne.

On aura donc « 2 chances sur 4 » de tirer une boule rouge, soit :

$p(R)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

Pour le second tirage, il ne reste plus que 3 boules dans l’urne.

Si on a tiré une boule noire au premier tirage, il reste encore 2 boules rouges dans l’urne, on aura donc « 2 chances sur 3 » de tirer à nouveau une boule rouge, soit :

$p(R)=\frac{2}{3}$

La probabilité d’avoir 2 boules rouges à la fin du second tirage est donc :

$p(2R)=\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}=\frac{1}{6}$

La réponse est donc b.

8. Parmi les 32 employés d'une entreprise, il y a 24 hommes dont 14 ont plus de 40 ans. Parmi les femmes, 3 ont plus de 40 ans. On interroge une femme.
La probabilité qu'elle ait moins de 40 ans est égale à $\frac{5}{8}$

Explications

Il y a 32 employés dont 24 hommes, il y a donc $32-24=8$ femmes.

On sait que 3 ont plus de 40 ans, donc $8-3=5$ femmes ont moins de 40 ans.

La probabilité qu’une femme interrogée ait moins de 40 ans est donc de $\frac{5}{8}$ .

La réponse est donc a.

EXERCICE 2

Partie A

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0,4]$ par $f(x)=-x^2+4x+3$
On a représenté en annexe (à joindre à la copie) la courbe $C_f$ représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal d'unité graphique 2 centimètres.

1. Dresser, par lecture graphique, le tableau des variations de $f$ .

$\begin{array}{|c|ccccccc||}x&0&&2&&4 \\f’& &+&0&-& \\f(x)&&\searrow&&\nearrow&&\end{array}$
2. Calculer la valeur exacte de l'intégrale $I=\int_0^4f(x)dx$

Calcul de l'intégrale $I$

$I=\int_0^4f(x)dx=\int_0^4(-x^2+4x+3)dx=[-\frac{x^3}{3}+4\frac{x^2}{2}+3x]_0^4=[-\frac{x^3}{3}+2x^2+3x]_0^4=-\frac{4^3}{3}+2\times 4^2+3\times 4-0=-\frac{64}{3}+32+12$

$=-\frac{64}{3}+\frac{132}{3}=\frac{68}{3}\approx 22,67\text{ unités d'aire}$

Représentation graphique (non demandé)

La valeur de l'intégrale $I$ correspond à la valeur de l'aire colorée sous la courbe ci-dessous :

bac STI arts appliqués, Antilles Guyane Juin 2011 - terminale : image 3

Partie B

Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0,4]$ par

$g(x)=e^{0,5x}-2x+2$

1. Recopier et compléter le tableau suivant (on arrondira éventuellement les résultats au centième) :

Calcul des valeurs

. $g(0)=e^{0}-2\times 0+2=1-2+2=1$

. $g(1)=e^{\frac{1}{2}}-2\times 1+2=e^{\frac{1}{2}}\approx 1,65$

. $g(2)=e^{\frac{2}{2}}-2\times 2+2=e-4+2=e-2\approx 0,72$

. $g(3)=e^{\frac{3}{2}}-2\times 3+2=e^{\frac{3}{2}}-6+2=e^{\frac{3}{2}}-4\approx 0,48$

Tableau

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}\hline \cellcolor{blue!25}x&0&1&2&3&4\\ \hline \cellcolor{blue!25}g(x)& \color{red} 3 & \color{red}1,65 & \color{red}0,72 & \color{red}0,48 & 1,39 \\ \hline \end{tabular}$

2. On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$

a) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Le signe de $g'$ est donné dans le tableau suivant :
$\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline x & 0 & & 2ln4 & & 4\\ \hline g'(x)& &- & 0 & + & \\ \hline \end{tabular}$
Justifier les renseignements indiqués dans ce tableau.

Calcul de la dérivée de $g$

La fonction $g$ est dérivable sur $[0,4]$ comme somme de foncions dérivables, et on a :

$g'(x)=0,5e^{0,5x}-2$

Résolution de $g'(x)=0$

$g'(x)=0\Longleftrightarrow 0,5e^{0,5x}-2=0\Longleftrightarrow e^{0,5x}=\frac{2}{0,5}\Longleftrightarrow e^{0,5x}=4\Longleftrightarrow 0,5x=ln4\Longleftrightarrow x=\frac{ln4}{0,5}=2ln4\approx 2,77$

Signe de $g'(x)$

Si $x<2ln4$ , alors $g'(x)<0$ . Par exemple, pour $x=1<2ln4$ , on a $g'(1)=0,5e^{0,5}-2\approx -1,18<0$

Si $x>2ln4$ , alors $g'(x)>0$ . Par exemple, pour $x=3>2ln4$ , on a $g'(3)=0,5e^{0,5\times 3}-2=0,5e^{1,5}-2\approx 0,24>0$

b) Construire le tableau des variations de la fonction $g$ .
On précisera la valeur exacte et la valeur arrondie au centième de l'extremum.

Tableau de variations de la fonction $g$
$\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline x & 0 & & 2ln4 & & 4\\ \hline g'(x)& &- & 0 & + & \\ \hline g & ^3 & \searrow & _{0,46} & \nearrow & ^{1,39} \\ \hline \end{tabular}$
. $g(0)=e^{0,5\times 0}-2\times 0+2=1-0+2=3$

. $g(2ln4)=e^{0,5\times 2ln4}-2\times 2ln4+2=e^{ln4}-4ln4+2=4-4ln2^2+2=6-8ln2\approx 0,46$

. $g(4)\approx 1,39$ (valeur donnée dans le tableau de la question 1 partie B)

Extremum de la fonction $g$

L'abscisse de l'extremum de la fonction $g$ est la valeur pour laquelle la dérivée $g'(x)$ s'annule, donc pour $x=2ln4$

L'ordonnée de l'extremum sera donnée par $g(2ln4)=6-8ln2\approx 0,46$ calculée ci-dessus.

Notons E l'extremum de cette fonction, qui en l'occurrence est ici un minimum puisque la fonction décroît jusqu'à cette valeur, puis croît ensuite, E aura donc pour coordonnées : $(2ln4,6-8ln2)$

c) Tracer la représentation graphique $C_g$ de la fonction $g$ dans le même repère que $C_f$ (unité graphique : 2 cm).

bac STI arts appliqués, Antilles Guyane Juin 2011 - terminale : image 7

d) On considère la fonction $G$ définie sur l'intervalle $[0,4]$ par :
$G(x)=2e^{0,5x}-x^2+2x$
Vérifier que $G$ est une primitive de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0,4]$ .

Si $G$ est une primitive de la fonction $g$ , alors on a : $G'(x)=g(x)$

$G'(x)=0,5\times 2e^{0,5x}-2x+2=e^{0,5x}-2x+2=g(x)$

Donc $G$ est bien une primitive de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0,4]$

e) On pose $J=\int_0^4g(x)dx$ . Vérifier que $J=2e^2-10$ .

Calcul de l'intégrale $J$

$G(x)$ est une primitive de $g$ , donc :

$J=\int_0^4g(x)dx=[G(x)]_0^4=G(4)-G(0)=2e^{0,5\times 4}-4^2+2\times 4-(2e^{0,5\times 0}-0^2+2\times 0)=2e^2-16+8-2=2e^2-10\text{ unités d'aire}$

Représentation graphique (non demandé)

La valeur de l'intégrale $J$ correspond à la valeur de l'aire colorée ci-dessous.

bac STI arts appliqués, Antilles Guyane Juin 2011 - terminale : image 4

Partie C

1. a) Tracer en pointillés la droite $D$ d'équation $x=4$ dans le même repère que $C_f$ et $C_g$ .

bac STI arts appliqués, Antilles Guyane Juin 2011 - terminale : image 8

b) On admet que l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan délimitée par les courbes $C_f$ et $C_g$ et les droites d'équations $x=0$ et $x=4$ est égale à $I-J$ .
Calculer cette aire en $cm^2$ , arrondie à l'unité.

Calcul de l'aire

On a vu précédemment que :

. $I=\frac{68}{3}$ à la question 2 de la partie A

. $J=2e^2-10$ à la question 2.e) de la partie B

Donc $I-J=\frac{68}{3}-(2e^2-10)=\frac{68}{3}+\frac{30}{3}-2e^2=\frac{98}{3}-2e^2\approx 17,89\text{ unités d'aire}$

L'unité graphique est de $2 cm$ , l'unité d'aire est donc de $\text{4 }cm^2$ .

On a donc : $I-J=(\frac{98}{3}-2e^2)\times 4\text{ cm}^2\approx 71,55\text{ cm}^2$

Explication graphique (non demandé)

La valeur de l'aire demandée est la différence entre les 2 des aires calculées précédemment :

bac STI arts appliqués, Antilles Guyane Juin 2011 - terminale : image 9

$\Huge\bf{-}$

bac STI arts appliqués, Antilles Guyane Juin 2011 - terminale : image 2

$\Huge\bf{=}$

bac STI arts appliqués, Antilles Guyane Juin 2011 - terminale : image 5

2. Soit $C$ et $C'$ les courbes symétriques de $C_f$ et $C_g$ par rapport à la droite $D$ .
La partie du plan délimitée par les courbes $C_f$ , $C_g$ , $C$ et $C'$ représente la maquette d'un logo publicitaire.
Compléter cette maquette de logo en traçant $C$ et $C'$ et calculer son aire en centimètres carrés, arrondir à l'unité.

Calcul de l'aire

L'aire sera 2 fois celle trouvée ci-dessus, soit $2\times(I-J)=2\times 71,55\approx 143\text{ cm}^2$

Représentation graphique

bac STI arts appliqués, Antilles Guyane Juin 2011 - terminale : image 6

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