Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Arts Appliqués
Antilles Guyane - Session Juin 2011
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Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2
L'usage d'une calculatrice réglementaire est autorisé durant l'ensemble de l'épreuve.
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
Une feuille de papier millimétré est fournie.
8 points
exercice 1
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.
1. Le nombre de solutions réelles distinctes de l'équation est :
a) 0
b) 2
c) 1
2. Soit la fonction définie sur l'ensemble par . Une équation de la tangente à la représentation graphique de la fonction en son point d'abscisse 0 est :
a)
b)
c)
3. Soit la fonction définie sur l'intervalle ]- 2 ; [ par .
Alors sa dérivée est la fonction définie sur l'intervalle ]- 2 ; [ par :
a)
b)
c)
4. Une solution dans l'intervalle ]0 ; [ de l'équation est :
a)
b) 4
c)
5. Soit la fonction définie sur l'intervalle ]- 4 ; [ par .
Alors la limite de la fonction en -4 est :
a) 2
b)
c)
6. Dans un plan rapporté à un repère orthonormal, on considère l'ellipse C d'équation .
Alors un de ses sommets a pour coordonnées :
a) (0 ; 3)
b) (3 ; 0)
c) (2 ; 0)
7. Une urne contient 2 boules rouges et 2 boules jaunes indiscernables au toucher. On en tire deux boules au hasard, l'une après l'autre, sans les remettre dans l'urne.
La probabilité d'obtenir les deux boules rouges est :
a)
b)
c)
8. Parmi les 32 employés d'une entreprise, il y a 24 hommes dont 14 ont plus de 40 ans. Parmi les femmes, 3 ont plus de 40 ans. On interroge une femme.
La probabilité qu'elle ait moins de 40 ans est égale à :
a)
b)
c)
12 points
exercice 2
Partie A
Soit la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 4] par
.
On a représenté en annexe (à joindre à la copie) la courbe représentative de la fonction dans un repère orthonormal d'unité graphique 2 centimètres.
1. Dresser, par lecture graphique, le tableau des variations de .
2. Calculer la valeur exacte de l'intégrale .
Partie B
Soit la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 4] par
.
1. Recopier et compléter le tableau suivant (on arrondira éventuellement les résultats au centième) :
0
1
2
3
4
1,39
2. On note la fonction dérivée de la fonction .
a)Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. Le signe de est donné dans le tableau suivant :
Justifier les renseignements indiqués dans ce tableau.
b) Construire le tableau des variations de la fonction .
On précisera la valeur exacte et la valeur arrondie au centième de l'extremum.
c) Tracer la représentation graphique de la fonction dans le même repère que (unité graphique : 2 cm).
d) On considère la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 4] par
.
Vérifier que est une primitive de la fonction sur l'intervalle [0 ; 4].
e) On pose . Vérifier que .
Partie C
1. a) Tracer en pointillés la droite d'équation dans le même repère que et .
b) On admet que l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan délimitée par les courbes et et les droites d'équations et est égale à .
Calculer cette aire en cm2, arrondie à l'unité.
2. Soit et les courbes symétriques de et par rapport à la droite .
La partie du plan délimitée par les courbes , , et représente la maquette d'un logo publicitaire.
Compléter cette maquette de logo en traçant et et calculer son aire en centimètres carrés, arrondir à l'unité.
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.
Préambule : pour ce corrigé, des explications détaillées (non demandées à l'épreuve) sont présentées ci-dessous afin de faciliter la compréhension des cheminements qui permettent d’aboutir aux résultats.
1. Le nombre de solutions réelles distinctes de l'équation est est :
Explications
Il y a donc 2 solutions réelles distinctes pour cette équation.
La réponse est donc b.
2. Soit la fonction définie sur l'ensemble par . Une équation de la tangente à la représentation graphique de la fonction en
son point d'abscisse 0 est :
Explications
La dérivée de la fonction est
La tangente à la courbe est une droite, et l’équation d’une droite s’écrit sous la forme où avec le coefficient directeur de la droite.
Au point d’abscisse 0, le coefficient directeur de cette tangente est donné par
Donc l’équation de la tangente peut s’écrire
Nommons de coordonnées le point de tangente à la courbe. Au point d’abscisse , aura pour abscisse et pour
ordonnée .
Nous avons donc comme point de tangente à la courbe, ses coordonnées vérifient donc l’équation de la tangente, donc :
Nous avons , l’équation de la tangente au point d’abscisse 0 est donc
La réponse est donc a.
3. Soit la fonction définie sur l'intervalle par .
Alors sa dérivée est la fonction définie sur l'intervalle par
Explications
On sait que . Ici, et
Donc
La réponse est donc a.
4. Une solution dans l'intervalle de l'équation est
Explications
Pour tout , on a :
Donc :
La réponse est donc c.
5. Soit la fonction définie sur l'intervalle par .
Alors la limite de la fonction en -4 est
Explications
Notons la valeur par valeur supérieure, c'est à dire que , comme par exemple
La réponse est donc c.
6. Dans un plan rapporté à un repère orthonormal, on considère l'ellipse C d'équation .
Alors un de ses sommets a pour coordonnées
Explications
L’équation d’une ellipse de demi-grand axe et de demi-petit axe s’écrit sous la forme
et dans ce cas ses sommets ont pour coordonnées
C a pour équation
Nous avons , les sommets de C ont donc pour coordonnées
La réponse est donc b.
7. Une urne contient 2 boules rouges et 2 boules jaunes indiscernables au touché. On en tire deux boules au hasard, l'une après l'autre, sans les
remettre dans l'urne.
La probabilité d'obtenir les deux boules rouges est
Explications
Soit l’évènement « obtenir 1 boule rouge au premier tirage ».
Soit l’évènement « obtenir 2 boules rouges à la fin du second tirage ».
On tire deux boules l'une après l'autre sans les remettre dans l'urne, donc au premier tirage, il y a 4 boules dans l’urne.
On aura donc « 2 chances sur 4 » de tirer une boule rouge, soit :
Pour le second tirage, il ne reste plus que 3 boules dans l’urne.
Si on a tiré une boule noire au premier tirage, il reste encore 2 boules rouges dans l’urne, on aura donc « 2 chances sur 3 » de tirer à nouveau une boule rouge, soit :
La probabilité d’avoir 2 boules rouges à la fin du second tirage est donc :
La réponse est donc b.
8. Parmi les 32 employés d'une entreprise, il y a 24 hommes dont 14 ont plus de 40 ans. Parmi les femmes, 3 ont plus de 40 ans. On interroge une
femme.
La probabilité qu'elle ait moins de 40 ans est égale à
Explications
Il y a 32 employés dont 24 hommes, il y a donc femmes.
On sait que 3 ont plus de 40 ans, donc femmes ont moins de 40 ans.
La probabilité qu’une femme interrogée ait moins de 40 ans est donc de .
La réponse est donc a.
EXERCICE 2
Partie A
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Soit la fonction définie sur l'intervalle par On a représenté en annexe (à joindre à la copie) la courbe représentative de la fonction dans un repère orthonormal d'unité graphique 2 centimètres.
1. Dresser, par lecture graphique, le tableau des variations de .
2. Calculer la valeur exacte de l'intégrale
Calcul de l'intégrale
Représentation graphique (non demandé)
La valeur de l'intégrale correspond à la valeur de l'aire colorée sous la courbe ci-dessous :
Partie B
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Soit la fonction définie sur l'intervalle par
1. Recopier et compléter le tableau suivant (on arrondira éventuellement les résultats au centième) :
Calcul des valeurs
.
.
.
.
Tableau
2. On note la fonction dérivée de la fonction
a) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Le signe de est donné dans le tableau suivant :
Justifier les renseignements indiqués dans ce tableau.
Calcul de la dérivée de
La fonction est dérivable sur comme somme de foncions dérivables, et on a :
Résolution de
Signe de
Si , alors . Par exemple, pour , on a
Si , alors . Par exemple, pour , on a
b) Construire le tableau des variations de la fonction .
On précisera la valeur exacte et la valeur arrondie au centième de l'extremum.
Tableau de variations de la fonction
.
.
. (valeur donnée dans le tableau de la question 1 partie B)
Extremum de la fonction
L'abscisse de l'extremum de la fonction est la valeur pour laquelle la dérivée s'annule, donc pour
L'ordonnée de l'extremum sera donnée par calculée ci-dessus.
Notons E l'extremum de cette fonction, qui en l'occurrence est ici un minimum puisque la fonction décroît jusqu'à cette valeur, puis croît ensuite, E aura donc pour coordonnées :
c) Tracer la représentation graphique de la fonction dans le même repère que (unité graphique : 2 cm).
d) On considère la fonction définie sur l'intervalle par :
Vérifier que est une primitive de la fonction sur l'intervalle .
Si est une primitive de la fonction , alors on a :
Donc est bien une primitive de la fonction sur l'intervalle
e) On pose . Vérifier que .
Calcul de l'intégrale
est une primitive de , donc :
Représentation graphique (non demandé)
La valeur de l'intégrale correspond à la valeur de l'aire colorée ci-dessous.
Partie C
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1. a) Tracer en pointillés la droite d'équation dans le même repère que et .
b) On admet que l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan délimitée par les courbes et et les droites d'équations et est égale à .
Calculer cette aire en , arrondie à l'unité.
Calcul de l'aire
On a vu précédemment que :
. à la question 2 de la partie A
. à la question 2.e) de la partie B
Donc
L'unité graphique est de , l'unité d'aire est donc de .
On a donc :
Explication graphique (non demandé)
La valeur de l'aire demandée est la différence entre les 2 des aires calculées précédemment :
2. Soit et les courbes symétriques de et par rapport à la droite .
La partie du plan délimitée par les courbes , , et représente la maquette d'un logo publicitaire.
Compléter cette maquette de logo en traçant et et calculer son aire en centimètres carrés, arrondir à l'unité.
Calcul de l'aire
L'aire sera 2 fois celle trouvée ci-dessus, soit
Représentation graphique
Publié par TP/
le
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