Fiche de mathématiques
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Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Arts Appliqués
Métropole - La Réunion - Session Septembre 2011

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Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2

L'usage d'une calculatrice réglementaire est autorisé durant l'ensemble de l'épreuve.
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
Une feuille de papier millimétré est fournie.


8 points

exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.


1. Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x) = x^2 + 2x - 3 et \Gamma sa courbe représentative dans un repère du plan. Alors, un des points d'intersection de \Gamma avec l'axe des abscisses a pour coordonnées :
a) (2 ; 0)b) (- 3 ; 0)c) (0 ; - 3)


2. Soit g la fonction définie sur \mathbb{R} par : g(x) = \dfrac{x^3}{6} + 3x^2 + x.
On note g^{\prime} la fonction dérivée de la fonction g. Alors g^{\prime} est définie sur \mathbb{R} par :
a) g^{\prime}(x) = 3x^2 + 2x + 1b) g^{\prime}(x) = \dfrac{3x^2}{2} +6x + 1c) g^{\prime}(x) = \dfrac{x^2}{2} + 6x + 1


3. Soit h la fonction définie sur l'intervalle I = [ 1 ; + \infty[ par : h(x) = \dfrac{7}{2x + 1}.
Une primitive sur I de la fonction h est la fonction H définie sur I par :
a) H(x) = \dfrac{7x}{x^2 + x}b) H(X) = \dfrac{- 14}{(2x + 1)^2}c) H(x)= \dfrac{7}{2}\ln (2x + 1) + 8


4. L'équation \text{e}^{x + 3} = 5 a pour solution réelle :
a) \ln 2b) \ln 5 - 3c) \dfrac{\text{e}^5}{3}


Dans les questions 5 et 6, on considère la conique C d'équation cartésienne 4x^2 + 9y^2 = 36 dans un plan rapporté à un repère orthonormal.

5. La conique C est une
a) paraboleb) ellipsec) hyperbole


6. Un des foyers de la conique est le point de coordonnées :
a) \left(\sqrt{5} ; 0\right)b) \left(0 ; \sqrt{5}\right)c) \left(\sqrt{13} ; 0\right)



7. Dans une classe de terminale de 30 élèves, 16 suivent une option cinéma-audio-visuel, 12 suivent une option arts plastiques et 8 suivent ces deux options. On choisit un élève au hasard dans cette classe.
La probabilité de l'évènement «l'élève suit au moins une de ces deux options» est :
a) \dfrac{4}{15}b) \dfrac{10}{15}c) \dfrac{14}{15}


8. On lance deux fois de suite un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On fait la somme des numéros apparaissant sur la face supérieure.
Sachant que cette somme est 6, la probabilité que les deux numéros soient égaux est égale à :
a) \dfrac{1}{5}b) \dfrac{1}{3}c) \dfrac{1}{2}



12 points

exercice 2

Partie A

Soit g la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 3] par
g(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - 2x + \dfrac{5}{2}
La courbe représentative de cette fonction est une partie P de la parabole représentée en annexe dans un repère orthogonal du plan. Unités graphiques : 2 cm en abscisses et 1 cm en ordonnées.
Sujet Maths Bac STI arts appliqués, Métropole Septembre 2011
 : image 1


1. Déterminer une primitive G de la fonction g sur l'intervalle [0, 3].

2. Calculer l'intégrale I = \displaystyle\int_{0}^3 g(x)\:\text{d}x.

Partie B

On considère la fonction h définie sur l'intervalle [3 ; 6] par
h(x) = 3 \ln x - 3\ln 3 + 1
et \Gamma sa courbe représentative dans le même repère que celui de la partie A.

1. a) On désigne par h^{\prime} la dérivée de la fonction h. Vérifier que :
Pour tout réel x de l'intervalle [3 ; 6], h^{\prime}(x) = \dfrac{3}{x}.
    b) Quel est le sens de variation de h sur l'intervalle [3, 6] ?
    c) Déterminer une équation de la tangente T à la courbe \Gamma au point d'abscisse 3.
On admettra que T est également tangente à la courbe P au même point.

2. Compléter le tableau de valeurs suivant. Les résultats seront arrondis au centième.
x33,544,555,56
h(x)       

Tracer la courbe \Gamma et la droite T dans le repère joint en annexe.

3. Soit H la fonction définie sur l'intervalle [3 ; 6] par
H (x) = 3x \ln x - (3\ln 3 + 2)x.

    a) Vérifier que H est une primitive de la fonction h sur l'intervalle [3 ; 6].
    b) On appelle J l'aire (en unités d'aires) de la partie du plan limitée par la courbe \Gamma, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives x = 3 et x = 6. Déterminer la valeur arrondie de J au centième.

Partie C

1. On appelle C la réunion des courbes P et \Gamma.
Construire sur le graphique la courbe C' symétrique de C par rapport à l'axe des abscisses.

2. On veut connaître l'aire d'un logo dont le contour est formé par C, C' et les droites d'équations respectives x = 0 et x = 6.
Justifier que l'aire de ce logo est égale, en cm2, à 4(I + J). En donner la valeur arrondie à l'unité.





Cette correction n'a pas suivi le processus de relecture habituel et est donc susceptible de contenir des erreurs

EXERCICE 1


Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.

1. Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=x^2+2x-3 et \Gamma sa courbe représentative dans un repère du plan. Alors, un des points d'intersection de \Gamma avec l'axe des abscisses a pour coordonnées :

Réponse

\boxed{\textcolor{blue}{\text{La bonne réponse est la  réponse }\textcolor{orange}{b}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}

Explications

Les intersections entre \Gamma et l'axe des abscisses correspondent aux points où f(x)=0

On a :

f(x)=x^2+2x-3=\underbrace{[(x+1)^2-1]}_{=x^2+2x}-3=(x+1)^2-4=\underbrace{(x+1)^2-2^2=[(x+1)-2][(x+1)+2]}_{\text{De la forme }a^2-b^2=(a-b)(a+b)}=(x-1)(x+3)

D'où :

f(x)=0\Longleftrightarrow (x-1)(x+3)=0\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{array}l x=1 \\ x=-3 \end{array}

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Les 2 points d'intersection ont donc pour coordonnées }(1,0)\text{ et }(-3,0).}}}


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 : image 2



2. Soit g la fonction définie sur \mathbb{R} par : g(x)=\frac{x^3}{6}+3x^2+x.
On note g' la fonction dérivée de la fonction g. Alors g' est définie sur \mathbb{R} par :

Réponse

\boxed{\textcolor{blue}{\text{La bonne réponse est la  réponse }\textcolor{orange}{c}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}

Explications

g'(x)=3\times \frac{x^2}{6}+3\times2 x+1=\frac{1}{2}x^2+6x+1

\boxed{\textcolor{blue}{g'\text{ est définie sur }\mathbb{R}\text{ par }g'(x)=\frac{1}{2}x^2+6x+1.}}}



3. Soit h la fonction définie sur I=[1,+\infty[ par : h(x)=\frac{7}{2x+1}.

Une primitive sur I de la fonction h est la fonction H définie sur I par :

Réponse

\boxed{\textcolor{blue}{\text{La bonne réponse est la  réponse }\textcolor{orange}{c}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}

Explications

h(x)=\frac{7}{2x+1}=\frac{\frac{7}{2}\times 2}{2x+1}=\frac{7}{2}\times \frac{ 2}{2x+1}=\frac{7}{2}\times \frac{U'(x)}{U(x)}\text{ avec }U(x)=2x+1\text{ et }U'(x)=2

On sait que :

\int\frac{U'(x)}{U(x)}dx=ln\mid U(x)\mid+k\text{ avec }k\in\mathbb{R}

donc :

H(x)=\int h(x)dx=\int \frac{7}{2}\times \frac{U'(x)}{U(x)}dx=\frac{7}{2}\int\frac{U'(x)}{U(x)}dx=\frac{7}{2}ln\mid U(x)\mid+k=\frac{7}{2}ln\mid\underset{\text{ sur }[1,+\infty[}{\underbrace{2x+1}_{>0}}\mid+k=\frac{7}{2}ln(2x+1)+k\text{ avec }k\in\mathbb{R}

Posons k=8, nous avons bien :



\boxed{\textcolor{blue}{H \text{ telle que }H(x)=\frac{7}{2}ln(2x+1)+8\text{ est donc une primitive de }h\text{ sur }I\text{ .}}}}


4. L'équation e^{x+3}=5 a pour solution réelle :

Réponse

\boxed{\textcolor{blue}{\text{La bonne réponse est la  réponse }\textcolor{orange}{b}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}

Explications

On sait que :

\forall k\in\mathbb{R}^*_+,e^y=k\Longleftrightarrow y=ln(k)

Donc :

e^{x+3}=5\Longleftrightarrow x+3=ln5\Longleftrightarrow x=ln5-3

Nous avons bien :

\boxed{\textcolor{blue}{x=ln5-3}}

Dans les questions 5 et 6, on considère la conique C d'équation cartésienne 4x^2+9y^2=36 dans un plan rapporté à un repère orthonormal.

5. La conique C est une :

Réponse

\boxed{\textcolor{blue}{\text{La bonne réponse est la  réponse }\textcolor{orange}{b}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}

Explications

4x^2+9y^2=36\Longleftrightarrow\frac{\cancel{4}x^2}{\cancel{4}\times 9}+\frac{\cancel{9}y^2}{4\times \cancel{9}}=\frac{36}{36}\Longleftrightarrow(\frac{x}{3})^2+(\frac{y}{2})^2=1

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Il s'agit bien de l'équation d'une ellipse  de demis axes }a=3\text{ et }b=2\text{ .}}}}

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 : image 3



6. Un des foyers de la conique est le point de coordonnées :

Réponse

\boxed{\textcolor{blue}{\text{La bonne réponse est la  réponse }\textcolor{orange}{a}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}

Explications

Nous avons l'ellipse de demis axes a=3 et b=2

Les foyers F et F' ont pour coordonnées F(c,0) et F'(-c,0) avec c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Les foyers sont donc }F:(\sqrt{5},0)\text{ et }F':(-\sqrt{5},0)\text{ .}}}}



7.Dans une classe de terminale de 30 élèves, 16 suivent une option cinéma-audio-visuel, 12 suivent une option arts plastiques et 8 suivent ces deux options. On choisit un élève au hasard dans cette classe.
La probabilité de l'évènement «l'élève suit au moins une de ces deux options» est :

Réponse

\boxed{\textcolor{blue}{\text{La bonne réponse est la  réponse }\textcolor{orange}{b}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}

Explications

Il y a 30 élèves. 16 suivent la première option, 12 la seconde, 8 étant inscrits aux 2 options. Nous avons donc le schéma suivant :

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 : image 4


\boxed{\textcolor{blue}{\text{On voit donc que 10 élèves dans la classe ne suivent aucune option, donc 20 élèves en suivent au moins une, soit }\frac{20}{30}=\frac{10}{15}\text{ .}}}}


8. On lance deux fois de suite un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On fait la somme des numéros apparaissant sur la face supérieure.
Sachant que cette somme est 6, la probabilité que les deux numéros soient égaux est égale à :

Réponse

\boxed{\textcolor{blue}{\text{La bonne réponse est la  réponse }\textcolor{orange}{a}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}

Explications

LPour faire une somme de 6 à l'issue des deux jets de dés, il faut avoir sorti au premier jet un chiffre entre 1 et 5 (un 6 au premier jet rend impossible d'avoir une somme égale à 6 à l'issue de deux jets de dé).

Cette remarque est aussi valable pour le second lancé, un 6 au second ne permettant pas de remplir la condition d'obtenir une somme égale à 6.

Les jets possibles sont donc de la forme (i,j) avec i la valeur obtenue au premier lancé et j obtenu au second, avec 1\leq i\leq 5 et 1\leq j\leq 5.

Donc seuls les jets suivants peuvent convenir pour obtenir une somme égale à 6 (1,5);(2,4);(3,3);(4,2)\text{ et }(5,1), jets qui sont donc au nombre de 5.

Sur ces 5 jets, seuls le lancé (3,3) peut convenir puisqu'il est demandé que la probabilité que les deux numéros sortis soient égaux : on a donc qu'une seule possibilité d'obtenir ce jet (3,3 sur les cinq possibles au départ.

\boxed{\textcolor{blue}{\text{La probabilité d'obtenir les deux mêmes numéros pour avoir une somme de 6 est donc de }\frac{1}{5}\text{ .}}}}



EXERCICE 2


Partie A


Soit g la fonction définie sur l'intervalle [0,3] par :
g(x)=\frac{1}{2}x^2-2x+\frac{5}{2}

La courbe représentative de cette fonction est une partie P de la parabole représentée en annexe dans un repère orthogonal du plan. Unités graphiques : 2 cm en abscisses et 1 cm en ordonnées.


1. Déterminer une primitive G de la fonction g sur l'intervalle [0,3].

g est continue sur l'intervalle [0,3], elle admet donc une primitive et nous avons :

G(x)=\frac{1}{2}\times\frac{x^3}{3}-2\frac{x^2}{2}+\frac{5}{2}x+k=\frac{x^3}{6}-x^2+\frac{5}{2}x+k avec k\in\mathbb{R}

En prenant par exemple k=0, on aura :

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Une primitive de la fonction }g\text{ sur }[0,3]\text{ est }G(x)=\frac{x^3}{6}-x^2+\frac{5}{2}x\text{ .}}}}


2. Calculer l'intégrale I=\int_0^3g(x)dx.

I=\int_0^3g(x)dx=[\frac{x^3}{6}-x^2+\frac{5}{2}x]_0^3=\frac{3^3}{6}-3^2+\frac{5}{2}3-(\frac{0^3}{6}-0^2+\frac{5}{2}0)=\frac{27}{6}-9+\frac{15}{2}=\frac{27}{6}-\frac{54}{6}+\frac{45}{6}=\frac{18}{6}=3

\boxed{\textcolor{blue}{\text{On a donc l'intégrale }I=\int_0^3g(x)dx=3\text{ unités d'aires.}}}}

Explication graphique (non demandé)

L'intégrale I correspond à l'aire en bleue dans le graphique ci-dessous.

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 : image 5



Partie B


On considère la fonction h définie sur l'intervalle [0,3] par :
h(x)=3lnx-3ln3+1

et \Gamma sa courbe représentative dans le même repère que la partie A .

1. a) On désigne par h' la dérivée de la fonction h. Vérifier que :

Pour tout réel x de l'intervalle [3,6],h'(x)=\frac{3}{x}

La fonction h est dérivable sur [3,6], nous avons donc :

h(x)=3lnx-\underbrace{3ln3+1}_{=\text{constante}}.

La dérivée d'une constante étant nulle et de plus, la dérivée de lnx étant \frac{1}{x}, nous avons :

h'(x)=3\times \frac{1}{x}=\frac{3}{x}

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Sur l'ensemble de l'intervalle }[3,6],h'(x)=\frac{3}{x}\text{.}}}}


b) Quel est le sens de variation de h sur l'intervalle [3,6].

Pour tout x\in[3,6], on a : \frac{3}{3}\leq\frac{3}{x}\leq\frac{6}{3}\Longleftrightarrow 1\leq\frac{3}{x}\leq 2

Donc pour tout x\in[3,6], on a : h'(x)\leq 0 donc la fonction h est croissante.


c) Déterminer une équation de la tangente T à la courbe \Gamma au point d'abscisse 3.

T est une droite, son équation est donc de la forme y=mx+p

Cette droite est tangente à la courbe \Gamma représentative de la fonction h au point d'abscisse x=3, donc :

- la droite aura pour coefficient directeur m la valeur du nombre dérivé de la fonction h en ce point, donc m=h'(3),

- puisque ce point de tangente appartient de facto à la droite d'équation y=mx+p, ses coordonnées vérifieront donc l'équation de la droite.

Nous avons donc : h(3)=3ln3-3ln3+1=1, le point de tangente a donc pour coordonnées (3,1)

Le nombre dérivé de la fonction h en ce point est donc h'(3)=\frac{3}{3}=1, la droite tangente aura donc un coefficient m=1, car y=mx+p=h'(3)x+p, donc y=x+p

Les coordonnées (3,1) du pint de tangente à la courbe vérifient l'équation de la droite tangente, donc y=mx+p\Longleftrightarrow 1=3+p\Longleftrightarrow p=2.

\boxed{\textcolor{blue}{\text{L'équation de la tangente à la courbe }\Gamma\text{ au point d'abscisse 3 est donc : }y=x-2\text{.}}}}


On admettra que T est également tangente à la courbe P au même point.
2. Compléter le tableau de valeurs suivant. Les résultats seront arrondis au centième.

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline  \cellcolor{cyan}\itshape{x&3&3,5&4&4,5&5&5,5&6\\ \hline \cellcolor{cyan}\itshape{h(x)}&1&1,46&1,86&2,16&2,53&2,82&3,08\\ \hline \end{tabular}


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 : image 6



3. Soit H la fonction définie sur l'intervalle [3,6] par :
H(x)=3xlnx-(3ln3+2)x


a) Vérifier que H est une primitive de la fonction h sur l'intervalle [3,6].

Si H est une primitive de h, alors H'(x)=h(x)

H'(x)=\underbrace{3lnx+3\cancel{x}\frac{1}{\cancel{x}}}_{=(3xlnx)'}-\underbrace{(3ln3+2)}_{[(3ln3+2)x]'}=3lnx+3-3ln3-3=3lnx-3ln3+1=h(x)

\boxed{\textcolor{blue}{H\text{ est dnc une primitive de la fonction }h\text{.}}}}


b) On appelle J l'aire (en unités d'aires) de la partie du plan limitée par la courbe \Gamma, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives x=3 et x=6. Déterminer la valeur arrondie de J au centième.

Calcul de J

J=\int_3^6h(x)dx=[H(x)]_3^6=H(6)-H(3)=18ln6-(3ln3+2)\times 6-(9ln3-(3ln3+2)\times 3)=18ln6-18ln3-12-\cancel{9ln3}++\cancel{9ln3}+6\\\\\text{         }=18\underbrace{ln(3\times 2)}_{=ln3+ln2}-18ln3-6=\cancel{18ln3}+18ln2-\cancel{18ln3}-6=18ln2-6\approx 6,48

\boxed{\textcolor{blue}{\text{On a donc l'intégrale }J=\int_3^6h(x)dx=18ln2-6\text{ unités d'aires.}}}}


Représentation graphique (non demandé)

L'aire J est celle en bleue dans la figure ci-dessous :
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 : image 7



Partie C


1. On appelle C la réunion des courbes P et \Gamma.
Construire sur le graphique la courbe C' symétrique de C par rapport à l'axe des abscisses.

La représentation graphique demandé de C en trait fort et de C' en pointillés est la suivante :

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 : image 8



2. On veut connaître l'aire d'un logo dont le contour est formé par C, C' et les droites d'équations respectives x=0 et x=6.
Justifier que l'aire de ce logo est égale, en cm2, à 4(I+J). En donner la valeur arrondie à l'unité.

Aire du logo

L'aire du logo est égale (voir sur la figure non demandée ci-dessous) à Aire=I+J+\mid -I\mid+\mid -J\mid=1+J+1+J=2I+2J=2(I+J)\text{ unités d'aire}

Or, l'échelle du graphique est telle que les unités graphiques sont : 2 cm en abscisses et 1 cm en ordonnées.

De ce fait, nous avons :

1\text{ unité d'aire}=2\text{ cm}^2\Longrightarrow Aire=2(I+J)\text{ unités d'aires}=4(I+J)\text{ cm}^2

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Donc }Aire=4(I+J)\text{ cm}^2\text{.}}}}

On a :

I+J=3+18ln2-6=18ln2-3

Donc:

Aire=4(I+J)=4(18ln2-3)=72ln2-12\approx37,91 \text{ cm}^2

\boxed{\textcolor{blue}{\text{L'aire du logo arrondie à l'unité est donc de }38\text{ cm}^2\text{.}}}}


Représentation graphique (non demandé)
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 : image 9


Merci à Jedoniezh pour cette correction










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