Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Arts Appliqués
Métropole - La Réunion - Session Septembre 2011
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Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2
L'usage d'une calculatrice réglementaire est autorisé durant l'ensemble de l'épreuve.
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
Une feuille de papier millimétré est fournie.
8 points
exercice 1
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.
1. Soit la fonction définie sur par et sa courbe représentative dans un repère du plan. Alors, un des points d'intersection de avec l'axe des abscisses a pour coordonnées :
a) (2 ; 0)
b) (- 3 ; 0)
c) (0 ; - 3)
2. Soit la fonction définie sur par : .
On note la fonction dérivée de la fonction . Alors est définie sur par :
a)
b)
c)
3. Soit la fonction définie sur l'intervalle I par : .
Une primitive sur I de la fonction est la fonction définie sur I par :
a)
b)
c)
4. L'équation a pour solution réelle :
a)
b)
c)
Dans les questions 5 et 6, on considère la conique C d'équation cartésienne dans un plan rapporté à un repère orthonormal.
5. La conique C est une
a) parabole
b) ellipse
c) hyperbole
6. Un des foyers de la conique est le point de coordonnées :
a)
b)
c)
7. Dans une classe de terminale de 30 élèves, 16 suivent une option cinéma-audio-visuel, 12 suivent une option arts plastiques et 8 suivent ces deux options. On choisit un élève au hasard dans cette classe.
La probabilité de l'évènement «l'élève suit au moins une de ces deux options» est :
a)
b)
c)
8. On lance deux fois de suite un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On fait la somme des numéros apparaissant sur la face supérieure.
Sachant que cette somme est 6, la probabilité que les deux numéros soient égaux est égale à :
a)
b)
c)
12 points
exercice 2
Partie A
Soit la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 3] par
La courbe représentative de cette fonction est une partie P de la parabole représentée en annexe dans un repère orthogonal du plan. Unités graphiques : 2 cm en abscisses et 1 cm en ordonnées.
1. Déterminer une primitive G de la fonction g sur l'intervalle [0, 3].
2. Calculer l'intégrale .
Partie B
On considère la fonction définie sur l'intervalle [3 ; 6] par
et sa courbe représentative dans le même repère que celui de la partie A.
1. a) On désigne par la dérivée de la fonction . Vérifier que :
Pour tout réel de l'intervalle [3 ; 6], .
b) Quel est le sens de variation de sur l'intervalle [3, 6] ?
c) Déterminer une équation de la tangente T à la courbe au point d'abscisse 3.
On admettra que T est également tangente à la courbe P au même point.
2. Compléter le tableau de valeurs suivant. Les résultats seront arrondis au centième.
3
3,5
4
4,5
5
5,5
6
Tracer la courbe et la droite T dans le repère joint en annexe.
3. Soit la fonction définie sur l'intervalle [3 ; 6] par
.
a) Vérifier que est une primitive de la fonction sur l'intervalle [3 ; 6].
b) On appelle l'aire (en unités d'aires) de la partie du plan limitée par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives et . Déterminer la valeur arrondie de au centième.
Partie C
1. On appelle C la réunion des courbes P et .
Construire sur le graphique la courbe C' symétrique de C par rapport à l'axe des abscisses.
2. On veut connaître l'aire d'un logo dont le contour est formé par C, C' et les droites d'équations respectives et .
Justifier que l'aire de ce logo est égale, en cm2, à . En donner la valeur arrondie à l'unité.
Cette correction n'a pas suivi le processus de relecture habituel et est donc susceptible de contenir des erreurs
EXERCICE 1
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.
1. Soit la fonction définie sur par et sa courbe représentative dans un repère du plan. Alors, un des points d'intersection de avec l'axe des abscisses a pour coordonnées :
Réponse
Explications
Les intersections entre et l'axe des abscisses correspondent aux points où
On a :
D'où :
2. Soit la fonction définie sur par : .
On note la fonction dérivée de la fonction . Alors est définie sur par :
Réponse
Explications
3. Soit la fonction définie sur par : .
Une primitive sur de la fonction est la fonction définie sur par :
Réponse
Explications
On sait que :
donc :
Posons , nous avons bien :
4. L'équation a pour solution réelle :
Réponse
Explications
On sait que :
Donc :
Nous avons bien :
Dans les questions 5 et 6, on considère la conique d'équation cartésienne dans un plan rapporté à un repère orthonormal.
5. La conique est une :
Réponse
Explications
6. Un des foyers de la conique est le point de coordonnées :
Réponse
Explications
Nous avons l'ellipse de demis axes et
Les foyers et ont pour coordonnées et avec
7.Dans une classe de terminale de 30 élèves, 16 suivent une option cinéma-audio-visuel, 12 suivent une option arts plastiques et 8 suivent ces deux options. On choisit un élève au hasard dans cette classe.
La probabilité de l'évènement «l'élève suit au moins une de ces deux options» est :
Réponse
Explications
Il y a 30 élèves. 16 suivent la première option, 12 la seconde, 8 étant inscrits aux 2 options. Nous avons donc le schéma suivant :
8. On lance deux fois de suite un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On fait la somme des numéros apparaissant sur la face supérieure.
Sachant que cette somme est 6, la probabilité que les deux numéros soient égaux est égale à :
Réponse
Explications
LPour faire une somme de 6 à l'issue des deux jets de dés, il faut avoir sorti au premier jet un chiffre entre 1 et 5 (un 6 au premier jet rend impossible d'avoir une somme égale à 6 à l'issue de deux jets de dé).
Cette remarque est aussi valable pour le second lancé, un 6 au second ne permettant pas de remplir la condition d'obtenir une somme égale à 6.
Les jets possibles sont donc de la forme avec la valeur obtenue au premier lancé et obtenu au second, avec et .
Donc seuls les jets suivants peuvent convenir pour obtenir une somme égale à 6 , jets qui sont donc au nombre de 5.
Sur ces 5 jets, seuls le lancé peut convenir puisqu'il est demandé que la probabilité que les deux numéros sortis soient égaux : on a donc qu'une seule possibilité d'obtenir ce jet sur les cinq possibles au départ.
EXERCICE 2
Partie A
Soit la fonction définie sur l'intervalle par :
La courbe représentative de cette fonction est une partie P de la parabole représentée en annexe dans un repère orthogonal du plan. Unités graphiques : 2 cm en abscisses et 1 cm en ordonnées.
1. Déterminer une primitive de la fonction sur l'intervalle .
est continue sur l'intervalle , elle admet donc une primitive et nous avons :
avec
En prenant par exemple , on aura :
2. Calculer l'intégrale .
Explication graphique (non demandé)
L'intégrale correspond à l'aire en bleue dans le graphique ci-dessous.
Partie B
On considère la fonction définie sur l'intervalle par :
et sa courbe représentative dans le même repère que la partie A .
1. a) On désigne par la dérivée de la fonction . Vérifier que :
Pour tout réel de l'intervalle
La fonction est dérivable sur , nous avons donc :
.
La dérivée d'une constante étant nulle et de plus, la dérivée de étant , nous avons :
b) Quel est le sens de variation de sur l'intervalle .
Pour tout , on a :
Donc pour tout , on a : donc la fonction est croissante.
c) Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 3.
est une droite, son équation est donc de la forme
Cette droite est tangente à la courbe représentative de la fonction au point d'abscisse , donc :
- la droite aura pour coefficient directeur la valeur du nombre dérivé de la fonction en ce point, donc ,
- puisque ce point de tangente appartient de facto à la droite d'équation , ses coordonnées vérifieront donc l'équation de la droite.
Nous avons donc : , le point de tangente a donc pour coordonnées
Le nombre dérivé de la fonction en ce point est donc , la droite tangente aura donc un coefficient , car , donc
Les coordonnées du pint de tangente à la courbe vérifient l'équation de la droite tangente, donc .
On admettra que T est également tangente à la courbe P au même point.
2. Compléter le tableau de valeurs suivant. Les résultats seront arrondis au centième.
3. Soit la fonction définie sur l'intervalle par :
a) Vérifier que est une primitive de la fonction sur l'intervalle .
Si est une primitive de , alors
b) On appelle l'aire (en unités d'aires) de la partie du plan limitée par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives et . Déterminer la valeur arrondie de au centième.
Calcul de
Représentation graphique (non demandé)
L'aire est celle en bleue dans la figure ci-dessous :
Partie C
1. On appelle la réunion des courbes et .
Construire sur le graphique la courbe symétrique de par rapport à l'axe des abscisses.
La représentation graphique demandé de en trait fort et de en pointillés est la suivante :
2. On veut connaître l'aire d'un logo dont le contour est formé par , et les droites d'équations respectives et .
Justifier que l'aire de ce logo est égale, en cm2, à . En donner la valeur arrondie à l'unité.
Aire du logo
L'aire du logo est égale (voir sur la figure non demandée ci-dessous) à
Or, l'échelle du graphique est telle que les unités graphiques sont : 2 cm en abscisses et 1 cm en ordonnées.
De ce fait, nous avons :
On a :
Donc:
Représentation graphique (non demandé)
Merci à Jedoniezh pour cette correction
Publié par TP/Jedoniezh
le
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Merci à Jedoniezh pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
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