Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : Biochimie Génie Biologique
La Réunion- Session Juin 2011

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Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2


La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel, distribué par le centre d'examen, est autorisé.
10 points

exercice 1 - Questionnaire à choix multiples

pour chaque question une seule des propositions est exacte, aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse inexacte ou l'absence de réponse n'ajoute ni ne retire aucun point.

On inscrira sur la copie la référence de la question (exemple : A 1.) et la lettre de la réponse choisie.

A) Sur les 800 élèves d'un lycée, 450 pratiquent un sport et parmi ceux-ci \dfrac{1}{3} sont des externes.
De plus 21,25% des élèves du lycée sont des externes ne pratiquant aucun sport.
On interroge un élève au hasard parmi les 800 ; chaque élève a la même probabilité d'être interrogé.

1. La probabilité d'interroger un élève qui pratique un sport est :
a) \dfrac{1}{450}b) \dfrac{9}{16}c) 0,45


2. La probabilité d'interroger un élève externe est :
a) 0,32b) \dfrac{1}{3}c) 0,4


3. La probabilité d'interroger un élève qui est externe ou qui pratique un sport est :
a) \dfrac{77}{80}b) \dfrac{31}{40}c) 0,75


4. On interroge au hasard un élève parmi les externes, la probabilité d'interroger un élève qui pratique un sport est :
a) 0,46875b) \dfrac{3}{16}c) \dfrac{1}{3}



B) On considère la fonction f définie sur ]0 ; +\infty[ par f(x) = x \ln x - x.

1.
a) \displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0b) \displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = - \inftyc) \displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty


2. L'équation f(x) = 0 admet pour solution :
a) 0b) 1c) \text{e}


3. La fonction dérivée de f est définie sur ]0 ; +\infty[ par :
a) f'(x) = \ln xb) f'(x)= \dfrac{1}{x} - 1c) f'(x) = \ln x + x - 1



C) On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par : f(x) = 1 + \text{e}^{- x}.

1. En + \infty la courbe représentative de f admet une asymptote d'équation :
a) y = 0b) y = 1c) x = 0


2. Une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur \mathbb{R} par :
a) F(x) = -  \text{e}^{- x}b) F(x) = x +  \text{e}^{- x}c) F(x) = x -  \text{e}^{- x}



D) Soit l'équation différentielle y' + 2 y = 0 ; parmi les solutions de cette équation, on considère la solution particulière f telle que f(0) = 3. L'expression de f(x) sur \mathbb{R} est :
a) f(x) = 3\text{e}^{- 2x}b) f(x) = 3\text{e}^{2x}c) f(x) = -3\text{e}^{- 2x}



10 points

exercice 2

Partie A : étude graphique d'une courbe de titrage

Dans une solution d'acide chlorhydrique, on verse un volume v (en mL) d'une solution d'hydroxyde de sodium et on mesure à chaque étape de l'expérience le pH de la solution obtenue.
Un élève a fait les mesures suivantes (pH arrondi à 0,1 près) :
Volume v (ml) de NaOH versé02468101214
pH2,22,32,42,52,62,72,93,8

Volume v (ml) de NaOH versé1618202224262830
pH710,11111,311,411,511,611,7

1. Tracer la courbe (C) de titrage obtenue à partir du tableau ci-dessus.
Unités : en abscisses 1 cm pour 2 mL ; en ordonnées 1 cm pour unité de pH.

2. À l'équivalence le pH de la solution est 7. Quel volume de solution d'hydroxyde de sodium a été versé à l'équivalence ?

3. Quel est le pH initial de la solution d'acide chlorhydrique ?

4. Au point E(16 ; 7), la courbe (C) admet une tangente (T) de coefficient directeur égal à 2. Déterminer l'équation de la tangente (T) et tracer cette tangente sur la courbe du 1..

5. Pour un volume v de solution d'hydroxyde de sodium versé inférieur strictement à 12 ml, on cherche à décrire à l'aide d'une fonction l'évolution du pH en fonction du volume v. Quel type de fonction pourrait-on proposer ? Déterminer cette fonction.

Partie B : étude d'un modèle mathématique

On considère que la courbe (C), obtenue en partie A, est la représentation graphique de la fonction f définie sur [0 ; 30] par
f(x) = 0,05 x + 10,2 - \dfrac{8}{1 + \text{e}^{x - 16}}.

1. Justifier que la valeur exacte de f(16) est 7.

2. Déterminer la fonction dérivée f' de f et montrer qu'on peut écrire :
f'(x) = 0,05 + \dfrac{8\text{e}^{x - 16}}{\left(1 + \text{e}^{x - 16}\right)^2}

3. Justifier que, pour tout x réel de [0 ; 30], f'(x) > 0 et en déduire le sens de variation de f sur cet intervalle.

4. Soit \left(T_{\text{A}}\right) la tangente à (C) au point A(14 ; f(14)) et soit \left(T_{\text{B}}\right) la tangente à (C) en B(18 ; f(18)).
Montrer que \left(T_{\text{A}}\right) et \left(T_{\text{B}}\right) sont deux droites parallèles.

5. On donne f(14) = 3,85 et f(18) = 10,15 à 10-2 près. À quel point du graphique de la première partie de l'exercice correspond le milieu de [AB] ? (Justifier).
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