Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : Biochimie Génie Biologique
Métropole - Session Septembre 2011

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Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2


La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel, distribué par le centre d'examen, est autorisé.
8 points

exercice 1 - Questionnaire à choix multiples

Pour chaque question une seule des propositions est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse inexacte ou l'absence de réponse n'ajoute ni ne retire aucun point.

On inscrira sur la copie la référence de la question (exemple : A 1.) et la lettre de la réponse choisie.

A) Dans les laboratoires de recherche d'une université, on compte 130 personnes dont 100 techniciens. Ces 130 personnes se répartissent de la façon suivante : 45 hommes, 85 femmes dont 60 femmes techniciennes.
On choisit au hasard une personne de ces laboratoires (chaque personne ayant la même probabilité d'être choisie).

1. La probabilité que ce soit une femme est :
a) \dfrac{6}{13}b) \dfrac{17}{26}c) 0,85


2. La probabilité que ce soit une femme ou un technicien est :
a) \dfrac{21}{26}b) \dfrac{23}{26}c) \dfrac{25}{26}


3. On choisit maintenant un homme. La probabilité qu'il soit technicien est :
a) \dfrac{4}{13}b) \dfrac{8}{9}c) 0,4



B) Soit X(t) le nombre de bactéries présentes dans un milieu donné à l'instant t (exprimé en heures). On admet que la fonction X est solution sur [0 ; + \infty[ de l'équation différentielle (E) : y^{\prime} = (\ln 2)y.

1. L'ensemble des solutions de (E) est l'ensemble des fonctions définies sur [0 ; +\infty[ par :
a) y = C\text{e}^{(\ln 2)t}b) y = (\ln 2)t + Cc) y = C \ln t + 2


2. Sachant qu'à l'instant t = 0, il y a 104 bactéries, on admet que la solution de l'équation (E) peut s'écrire : y = 10^4 \times 2^t. À combien d'individus peut-on estimer la population de bactéries, arrondie à la centaine, au bout de 2 heures 30 minutes ?
a) 56 600b) 23 000c) 49 200



C) Soit f la fonction dérivable définie sur ]-\infty ; +\infty[ par f(x) = x\text{e}^x.
Soit (\mathcal{C}) la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormal.

1. La dérivée f^{\prime} de f est définie par :
a) f^{\prime}(x) = \text{e}^xb) f^{\prime}(x) = ( x + 1)\text{e}^xc) f^{\prime}(x) = (x - 1)\text{e}^x


2. Une primitive F de f sur ]-\infty ; +\infty[ est définie par :
a) F(x) = \text{e}^xb) F(x) = ( x + 1)\text{e}^xc) F(x) = (x - 1)\text{e}^x


3. Laquelle de ces trois propositions est exacte ?
a) \displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0b) \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0c) La droite d'équation x = 0 est asymptote à la courbe (\mathcal{C}).



12 points

exercice 2

Partie A

On observe l'évolution d'une culture microbienne.
On note x le nombre de microbes à l'instant t, où t est exprimé en heures. Les mesures obtenues sont consignées dans le tableau ci-dessous :
Nombre d'heures : t_{i}234568
Nombre de microbes exprimé en milliers : x_{i}0,91,52,546,718

Le nuage de points M_{i}\left(t_{i} ; x_{i}\right) obtenu ne permet pas d'effectuer un ajustement affine satisfaisant. On pose alors y = \ln(x).

1. Recopier et compléter le tableau ci-dessous (on arrondira les résultats à 10-2 près) :
Nombre d'heures : t_{i}234568
y_{i} = \ln \left(x_{i}\right)  0,92 1,90 

2. Construire le nuage de points N_{i} de coordonnées \left(t_{i} ; y_{i}\right) dans un repère orthonormal en prenant comme unité graphique : 2 cm.

3. Calculer les coordonnées du point moyen G de ce nuage (on arrondira les coordonnées de G à 10-2 près) et placer ce point G sur le graphique précédent.

4. On admet que la droite d'ajustement affine (D) a pour équation : y = 0,5t + b.
Calculer la valeur du réel b (valeur arrondie à 10-1 près) pour que la droite (D) passe par le point G, puis tracer la droite (D).

5. En utilisant le graphique, déterminer le temps nécessaire pour que la population atteigne 11 milliers d'individus (on expliquera la démarche utilisée et on laissera les traits de construction apparents).

6. Déterminer par le calcul le nombre x de microbes présents dans le milieu de culture au bout de 10 heures (on arrondira au millier).

Partie B

On considère la fonction f définie sur [0 ; +\infty[ par :
f(t) = \dfrac{1}{3}\text{e}^{0,5t}.

1. Calculer la limite de f lorsque t tend vers +\infty.

2. Calculer f^{\prime}(t), où f^{\prime} désigne la fonction dérivée de f, et étudier son signe sur [0 ; +\infty[.

3. En déduire le tableau de variations de f.

4. On admet que la fonction f décrit l'évolution de la population bactérienne de la partie A de cet exercice.
Résoudre l'équation f(t) = 11 et interpréter le résultat.
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