8 points

exercice 1 - Questionnaire à choix multiples

Pour chaque question une seule des propositions est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse inexacte ou l'absence de réponse n'ajoute ni ne retire aucun point.

On inscrira sur la copie la référence de la question (exemple : A 1.) et la lettre de la réponse choisie.

A) Dans les laboratoires de recherche d'une université, on compte 130 personnes dont 100 techniciens. Ces 130 personnes se répartissent de la façon suivante : 45 hommes, 85 femmes dont 60 femmes techniciennes.
On choisit au hasard une personne de ces laboratoires (chaque personne ayant la même probabilité d'être choisie).

1. La probabilité que ce soit une femme est :

a)

b)

c) 0,85

2. La probabilité que ce soit une femme ou un technicien est :

a)

b)

c)

3. On choisit maintenant un homme. La probabilité qu'il soit technicien est :

a)

b)

c) 0,4

B) Soit le nombre de bactéries présentes dans un milieu donné à l'instant (exprimé en heures). On admet que la fonction est solution sur de l'équation différentielle (E) : .

1. L'ensemble des solutions de (E) est l'ensemble des fonctions définies sur [0 ; +[ par :

a)

b)

c)

2. Sachant qu'à l'instant , il y a 10⁴ bactéries, on admet que la solution de l'équation (E) peut s'écrire : . À combien d'individus peut-on estimer la population de bactéries, arrondie à la centaine, au bout de 2 heures 30 minutes ?

a) 56 600

b) 23 000

c) 49 200

C) Soit la fonction dérivable définie sur ] ; +[ par .
Soit la courbe représentative de dans le plan rapporté à un repère orthonormal.

1. La dérivée de est définie par :

a)

b)

c)

2. Une primitive de sur ] ; + est définie par :

a)

b)

c)

3. Laquelle de ces trois propositions est exacte ?

a)

b)

c) La droite d'équation est asymptote à la courbe .

12 points

exercice 2

Partie A

On observe l'évolution d'une culture microbienne.
On note le nombre de microbes à l'instant , où est exprimé en heures. Les mesures obtenues sont consignées dans le tableau ci-dessous :

Nombre d'heures :	2	3	4	5	6	8
Nombre de microbes exprimé en milliers :	0,9	1,5	2,5	4	6,7	18

Le nuage de points obtenu ne permet pas d'effectuer un ajustement affine satisfaisant. On pose alors .

1. Recopier et compléter le tableau ci-dessous (on arrondira les résultats à 10^-2 près) :

Nombre d'heures :	2	3	4	5	6	8
			0,92		1,90

2. Construire le nuage de points de coordonnées dans un repère orthonormal en prenant comme unité graphique : 2 cm.

3. Calculer les coordonnées du point moyen de ce nuage (on arrondira les coordonnées de G à 10^-2 près) et placer ce point sur le graphique précédent.

4. On admet que la droite d'ajustement affine (D) a pour équation : .
Calculer la valeur du réel (valeur arrondie à 10^-1 près) pour que la droite (D) passe par le point , puis tracer la droite (D).

5. En utilisant le graphique, déterminer le temps nécessaire pour que la population atteigne 11 milliers d'individus (on expliquera la démarche utilisée et on laissera les traits de construction apparents).

6. Déterminer par le calcul le nombre de microbes présents dans le milieu de culture au bout de 10 heures (on arrondira au millier).

Partie B

On considère la fonction définie sur [0 ; +[ par : .
1. Calculer la limite de lorsque tend vers .

2. Calculer , où désigne la fonction dérivée de , et étudier son signe sur [0 ; +[.

3. En déduire le tableau de variations de .

4. On admet que la fonction décrit l'évolution de la population bactérienne de la partie A de cet exercice.
Résoudre l'équation et interpréter le résultat.