Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : Chimie de Laboratoire et de Procédés Industriels
Métropole - Session Septembre 2011
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 4
L'usage de la calculatrice est autorisé.
Une feuille de papier millimétré sera distribuée aux candidats. Elle sera réservée pour le problème.
Un formulaire de mathématiques sera distribué aux candidats.
5 points exercice 1
1. Pour tout nombre complexe z, on pose
 = z^3 - 64)
.
Déterminer des nombres réels

et

tels que, pour tout complexe

:
.
2. Résoudre dans l'ensemble

des nombres complexes l'équation
 = 0)
.
3. On munit le plan complexe d'un repère orthonormal
)
. On prendra pour unité graphique 1 cm.
On considère les points A, B et C d'affixes respectives
,
et
.
a) Placer les points A, B et C dans le repère
)
.
b) Démontrer que les points A, B et C appartiennent à un même cercle de centre O.
4 points exercice 2
1. Résoudre l'équation différentielle

où

est une fonction de la variable

, définie et deux fois dérivable sur l'ensemble

des nombres réels.
2. Déterminer la solution

de l'équation différentielle précédente qui vérifie les conditions suivantes :
et
.
3. a) Vérifier que, pour tout nombre réel

,
 = 2 \cos \left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right))
.
b) Résoudre sur l'intervalle
![[0 ; 2\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[0 ; 2\pi])
l'équation
 = \sqrt{3})
.
11 points probleme
On considère la fonction

définie sur

par
.
On munit le plan d'un repère orthonormal
)
. L'unité graphique est 1 cm. On appelle

la courbe représentative de la fonction

.
1. Déterminer les coordonnées des points d'intersection A et B de la courbe

respectivement avec l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.
2. Déterminer la limite de la fonction

en

puis sa limite en

.
3. La fonction

est dérivable. On désigne par

sa fonction dérivée.
a) Montrer que, pour tout réel

,
 = (2x - 3)\text{e}^x)
.
b) Étudier le signe de
)
selon les valeurs de

.
c) Dresser le tableau de variation de la fonction

. On fera figurer les limites trouvées précédemment et la valeur de l'extremum de la fonction.
4. Déterminer une équation de la tangente

à la courbe

au point B.
5. Représenter la courbe

, les points A et B et la droite

.
6. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
a) Déterminer des réels

et

de sorte que la fonction

définie sur

par
 = (ax + b)\text{e}^x)
soit une primitive de la fonction

sur

.
b) Calculer l'aire de la partie du plan limitée par la courbe

, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation

.