Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : Chimie de Laboratoire et de Procédés Industriels
Métropole - Session Septembre 2011

Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 4

L'usage de la calculatrice est autorisé.
Une feuille de papier millimétré sera distribuée aux candidats. Elle sera réservée pour le problème.
Un formulaire de mathématiques sera distribué aux candidats.

5 points

exercice 1

1. Pour tout nombre complexe z, on pose $P(z) = z^3 - 64$ .
Déterminer des nombres réels $a$ et $b$ tels que, pour tout complexe $z$ : $P(z) = (z - 4)\left(z^2 + az + b\right)$ .

2. Résoudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes l'équation $P(z) = 0$ .

3. On munit le plan complexe d'un repère orthonormal $(O ; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ . On prendra pour unité graphique 1 cm.
On considère les points A, B et C d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 4$ ,    $z_{\text{B}} = - 2 + 2\text{i}\sqrt{3}$ et $z_{\text{C}} = - 2 - 2\text{i}\sqrt{3}$ .
    a) Placer les points A, B et C dans le repère $(O ; \overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ .
    b) Démontrer que les points A, B et C appartiennent à un même cercle de centre O.

4 points

exercice 2

1. Résoudre l'équation différentielle $y^{\prime\prime} + 4 y = 0,$ où $y$ est une fonction de la variable $x$ , définie et deux fois dérivable sur l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels.

2. Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle précédente qui vérifie les conditions suivantes : $f(0) = 1$ et $f^{\prime}( 0) = 2\sqrt{3}$ .

3. a) Vérifier que, pour tout nombre réel $x$ , $f(x) = 2 \cos \left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right)$ .
b) Résoudre sur l'intervalle $[0 ; 2\pi]$ l'équation $f(x) = \sqrt{3}$ .

11 points

probleme

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (2x - 5)\text{e}^x$ . On munit le plan d'un repère orthonormal $(O ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ . L'unité graphique est 1 cm. On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ .

1. Déterminer les coordonnées des points d'intersection A et B de la courbe $\mathcal{C}$ respectivement avec l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.

2. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ puis sa limite en $-\infty$ .

3. La fonction $f$ est dérivable. On désigne par $f^{\prime}$ sa fonction dérivée.
    a) Montrer que, pour tout réel $x$ , $f^{\prime}(x) = (2x - 3)\text{e}^x$ .
    b) Étudier le signe de $f'(x)$ selon les valeurs de $x$ .
    c) Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ . On fera figurer les limites trouvées précédemment et la valeur de l'extremum de la fonction.

4. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point B.

5. Représenter la courbe $\mathcal{C}$ , les points A et B et la droite $T$ .

6. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
    a) Déterminer des réels $a$ et $b$ de sorte que la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x) = (ax + b)\text{e}^x$ soit une primitive de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ .
    b) Calculer l'aire de la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$ , l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = \dfrac{5}{2}$ .

Publié par TP/ le 30-11--0001

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