Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : Chimie de Laboratoire et de Procédés Industriels
Métropole - Session Septembre 2011
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 4
L'usage de la calculatrice est autorisé.
Une feuille de papier millimétré sera distribuée aux candidats. Elle sera réservée pour le problème.
Un formulaire de mathématiques sera distribué aux candidats.
5 points exercice 1
1. Pour tout nombre complexe z, on pose
.
Déterminer des nombres réels
et
tels que, pour tout complexe
:
.
2. Résoudre dans l'ensemble
des nombres complexes l'équation
.
3. On munit le plan complexe d'un repère orthonormal
. On prendra pour unité graphique 1 cm.
On considère les points A, B et C d'affixes respectives
, et .
a) Placer les points A, B et C dans le repère
.
b) Démontrer que les points A, B et C appartiennent à un même cercle de centre O.
4 points exercice 2
1. Résoudre l'équation différentielle
où
est une fonction de la variable
, définie et deux fois dérivable sur l'ensemble
des nombres réels.
2. Déterminer la solution
de l'équation différentielle précédente qui vérifie les conditions suivantes :
et .
3. a) Vérifier que, pour tout nombre réel
,
.
b) Résoudre sur l'intervalle
l'équation
.
11 points probleme
On considère la fonction
définie sur
par
.
On munit le plan d'un repère orthonormal
. L'unité graphique est 1 cm. On appelle
la courbe représentative de la fonction
.
1. Déterminer les coordonnées des points d'intersection A et B de la courbe
respectivement avec l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.
2. Déterminer la limite de la fonction
en
puis sa limite en
.
3. La fonction
est dérivable. On désigne par
sa fonction dérivée.
a) Montrer que, pour tout réel
,
.
b) Étudier le signe de
selon les valeurs de
.
c) Dresser le tableau de variation de la fonction
. On fera figurer les limites trouvées précédemment et la valeur de l'extremum de la fonction.
4. Déterminer une équation de la tangente
à la courbe
au point B.
5. Représenter la courbe
, les points A et B et la droite
.
6. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
a) Déterminer des réels
et
de sorte que la fonction
définie sur
par
soit une primitive de la fonction
sur
.
b) Calculer l'aire de la partie du plan limitée par la courbe
, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation
.