Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : Chimie de Laboratoire et de Procédés Industriels
Métropole - Session Septembre 2011

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Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 4

L'usage de la calculatrice est autorisé.
Une feuille de papier millimétré sera distribuée aux candidats. Elle sera réservée pour le problème.
Un formulaire de mathématiques sera distribué aux candidats.


5 points

exercice 1

1. Pour tout nombre complexe z, on pose P(z) = z^3 - 64.
Déterminer des nombres réels a et b tels que, pour tout complexe z :
P(z) = (z - 4)\left(z^2 + az + b\right).


2. Résoudre dans l'ensemble \mathbb{C} des nombres complexes l'équation P(z) = 0.

3. On munit le plan complexe d'un repère orthonormal (O ; \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}). On prendra pour unité graphique 1 cm.
On considère les points A, B et C d'affixes respectives
z_{\text{A}} = 4   ,    z_{\text{B}} = - 2 + 2\text{i}\sqrt{3}   et   z_{\text{C}} = - 2 - 2\text{i}\sqrt{3}.

    a) Placer les points A, B et C dans le repère (O ; \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}).
    b) Démontrer que les points A, B et C appartiennent à un même cercle de centre O.


4 points

exercice 2

1. Résoudre l'équation différentielle
y^{\prime\prime} + 4 y = 0,
y est une fonction de la variable x, définie et deux fois dérivable sur l'ensemble \mathbb{R} des nombres réels.

2. Déterminer la solution f de l'équation différentielle précédente qui vérifie les conditions suivantes :
f(0) = 1    et    f^{\prime}( 0) = 2\sqrt{3}.


3. a) Vérifier que, pour tout nombre réel x, f(x) = 2 \cos \left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right).
    b) Résoudre sur l'intervalle [0 ; 2\pi] l'équation f(x) = \sqrt{3}.


11 points

probleme

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par
f(x) = (2x - 5)\text{e}^x.
On munit le plan d'un repère orthonormal (O ; \overrightarrow{i},\overrightarrow{j}). L'unité graphique est 1 cm. On appelle \mathcal{C} la courbe représentative de la fonction f.

1. Déterminer les coordonnées des points d'intersection A et B de la courbe \mathcal{C} respectivement avec l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.

2. Déterminer la limite de la fonction f en +\infty puis sa limite en -\infty.

3. La fonction f est dérivable. On désigne par f^{\prime} sa fonction dérivée.
    a) Montrer que, pour tout réel x, f^{\prime}(x) = (2x - 3)\text{e}^x.
    b) Étudier le signe de f'(x) selon les valeurs de x.
    c) Dresser le tableau de variation de la fonction f. On fera figurer les limites trouvées précédemment et la valeur de l'extremum de la fonction.

4. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe \mathcal{C} au point B.

5. Représenter la courbe \mathcal{C}, les points A et B et la droite T.

6. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
    a) Déterminer des réels a et b de sorte que la fonction F définie sur \mathbb{R} par F(x) = (ax + b)\text{e}^x soit une primitive de la fonction f sur \mathbb{R}.
    b) Calculer l'aire de la partie du plan limitée par la courbe \mathcal{C}, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x = \dfrac{5}{2}.
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