Fiche de mathématiques

Ile mathématiques > maths bac > Bac 2011

Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : Physique de Laboratoire et de Procédés Industriels
Métropole - Session Septembre 2011

Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4
La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.
Le formulaire officiel est autorisé.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation des copies.
Une feuille de papier millimétré est fournie avec le sujet.

6 points

exercice 1

On note i le complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$ .
Le plan est rapporté au repère orthonormal $(O ; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ d'unité graphique 1 cm.

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation suivante : $z^2 - 4z\sqrt{3} + 16 = 0$ .
Les solutions seront données sous forme algébrique.

2. On considère les points A, B et C d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 2\sqrt{3} + 2\text{i}$ ,    $z_{\text{B}} = 2\sqrt{3} - 2\text{i}$ ,    $z_{\text{C}} = 6\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$
    a) Déterminer les formes exponentielles des nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ c'est-à-dire leur écriture sous la forme $r\text{e}^{\text{i}\theta}$ avec $r$ nombre réel strictement positif et $\theta$ un nombre réel appartenant à l'intervalle $]-\pi ; \pi]$ .
    b) Déterminer la forme algébrique du nombre complexe $z_{\text{C}}$ .
    c) Construire avec précision les points A, B et C.
    d) Calculer les longueurs OA, OC et AC. En déduire la nature du triangle OAC.

3. On considère la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$ . On définit le point D comme l'image du point A par cette rotation.
    a) Calculer la forme algébrique de l'affixe de D notée $z_{\text{D}}$ .
    b) À l'aide de la question 2. a), déterminer la forme exponentielle de $z_{\text{D}}$ .
    c) Déduire de ce qui précède les valeurs exactes de $\cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right)$ et $\sin \left(\dfrac{5\pi}{12}\right)$ .

5 points

exercice 2

On considère l'équation différentielle (E) suivante : $y^{\prime\prime} + 4y = 0,$ où $y$ est une fonction définie sur $\mathbb{R}$ et $y^{\prime\prime}$ sa dérivée seconde.

1. Donner la solution générale de (E).

2. Déterminer la solution particulière, notée $f$ , de (E) telle que $f\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = 2\sqrt{3}$ et $f^{\prime}\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = - 4$ , où $f^{\prime}$ est la dérivée de la fonction $f$ .
3. Vérifier que $f$ peut s'écrire sous la forme : $f(t) = 4 \cos \left(2t - \dfrac{\pi}{6}\right)$ .

4. Calculer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $[0 ; \pi]$ .

9 points

probleme

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O ; \overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ d'unité graphique 2 cm.

Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par $g(x) = 1 - 2x - 2 \ln x$ .

1. Calculer la fonction $g^{\prime}$ , dérivée de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ et dresser le tableau de variation de la fonction $g$ sur cet intervalle (les limites ne sont pas demandées).

2. En déduire que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $\left]\dfrac{1}{2} ; 1\right[$ .
Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude 10^-2.

3. En déduire le signe de $g$ sur $]0 ; +\infty[$ .

Partie B : Étude de la fonction $f$

On considère la fonction $f$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = \dfrac{2x + \ln x}{x^2} + 3$ On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le repère $(O ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ .

1. a) Déterminer la limite de la fonction $f$ en 0.
b) Vérifier que pour tout réel $x$ strictement positif, on a $f(x) = \dfrac{\ln x}{x^2} + \dfrac{2}{x} + 3$ .
En déduire la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ .
c) Interpréter graphiquement les résultats des limites précédentes.

2. Déterminer la fonction $f^{\prime}$ , dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ et montrer que pour tout $x$ strictement positif : $f^{\prime}(x) = \dfrac{g(x)}{x^3}$ .

3. En déduire le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ .

4. Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{D}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1.

5. Représenter la courbe $\mathcal{C}$ et la tangente $\mathcal{D}$ dans le repère orthonormé $(O ; \overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ .

Partie C : Calcul d'aire

1. On note $\mathcal{E}$ le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}$ . Hachurer le domaine $\mathcal{E}$ sur le graphique.

2. Montrer que la fonction $H$ définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par $H(x) = \dfrac{- \ln x - 1}{x}$ est une primitive de la fonction $x \longmapsto \dfrac{\ln x}{x^2}$ sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ .

3. On admet que la fonction $f$ est positive sur l'intervalle [1 ; e].
Montrer que la valeur exacte de l'aire du domaine $\mathcal{E}$ est $3\text{e} - \dfrac{2}{\text{e}}$ unités d'aire.

Correction

EXERCICE 1

$z^2-4z\sqrt{3}+16=0$
1. Résolution dans $\mathbb{C}$

$\Delta=(-4\sqrt{3})^2-4\times 1\times 16=16\times 3-64=48-64=-16=(4i)^2\\\\ z=\dfrac{4\sqrt{3}\pm 4i}{2}=2\sqrt{3}\pm 2i=2(\sqrt{3}\pm i)$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{L'ensemble }\mathcal{S}\text{ des solutions dans }\mathbb{C}\text{ est donc }\mathcal{S}=\lbrace2(\sqrt{3}-i),2(\sqrt{3}+i)\rbrace.}}}$

2. A, B et C d'affixes respectives :

$z_A=2 \sqrt{3}+2i \text{, }z_B=2 \sqrt{3}-2i \text{ et }z_C=6\text{e}^{i\frac {2\pi}{3}}$

a. Formes exponentielles des nombres $z_A$ et $z_B$

$z_A=2 \sqrt{3}+2i=2\times 2 (\dfrac {\sqrt{3}}{2}+i\dfrac {1}{2})=4(\cos\dfrac{\pi}{6}+i \sin\dfrac{\pi}{6}) =4\text{e}^{i\frac{\pi}{6}}$

$z_B$ étant le conjugué de $z_A$ , nous avons :

$z_B=\overline{z_A}=4\text{e}^{-i\frac{\pi}{6}}$

$\boxed{\textcolor{blue}{z_A=4\text{e}^{i\frac{\pi}{6}}\text{ et }z_B= 4\text{e}^{-i\frac{\pi}{6}}.}}}$

b. Forme algébrique du nombre complexe $z_C$

$z_C=6\text{e}^{i\frac {2\pi}{3}}=6(\cos\dfrac{2\pi}{3}+i\sin\dfrac{2\pi}{3})=6(-\dfrac {1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}) =-3+i3\sqrt{3}$

$\boxed{\textcolor{blue}{z_C=-3+i3\sqrt{3}.}}}$

c. Construction des points A, B et C

Les points A et B appartiennent au cercle de centre O et de rayon 4, les ordonnées valent respectivement 2 et -2 ; le point C appartient au cercle de centre 0 et de rayon 6, son abscisse est -3.

Bac STL physique de laboratoire et de procédés industriels Métropole Septembre 2011 - terminale : image 3

d. Longueurs OA, OC et AC et nature du triangle OAC.

$z_A=4\text{e}^{i\frac{\pi}{6}}\Longrightarrow OA=4$

$z_C=6\text{e}^{i\frac {2\pi}{3}}\Longrightarrow OC=6$

$AC=\mid z_C-z_A\mid=\mid -3+i3\sqrt{3}-2\sqrt{3}-2i\mid=\sqrt{(-3-2\sqrt{3})^2+(3\sqrt{3}-2)^2}=\sqrt{9+12+\cancel{12\sqrt{3}}+27+4-\cancel{12\sqrt{3}}}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$

$\boxed{\textcolor{blue}{OA=4\text{, }OC=6\text{ et }AC=2\sqrt{13}.}}}$

Or :

$OA^2+OC^2=4^2+6^2=16+36=52$ et $AC^2=4\times 13=52$ donc $AC^2=OA^2+OC^2$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{Le triangle } OAC\text{ est donc rectangle en O.}}}}$

Bac STL physique de laboratoire et de procédés industriels Métropole Septembre 2011 - terminale : image 1

3. Rotation de centre $O$ et de rotation $\dfrac{\pi}{4}$

a. Forme algébrique de l'affixe de D

$z_D=z_A\times \text{e}^{i\frac{\pi}{4}}=(2\sqrt{3}+2i)\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=(\sqrt{6}-\sqrt{2})+i(\sqrt{6}+\sqrt{2})$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{La forme algébrique de l'affixe de D est donc } z_D=(\sqrt{6}-\sqrt{2})+i(\sqrt{6}+\sqrt{2}).}}}}$

Bac STL physique de laboratoire et de procédés industriels Métropole Septembre 2011 - terminale : image 5

b. Forme exponentielle de $z_D$

$z_D=z_A\times \text{e}^{i\frac{\pi}{4}}=4\text{e}^{i\frac{\pi}{6}}\times \text{e}^{i\frac{\pi}{4}}=4\text{e}^{i\frac{5\pi}{12}}$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{La forme exponentielle de } z_D\text{ est donc }z_D=4\text{e}^{i\frac{5\pi}{12}}.}}}}$

c. Valeurs de $\cos\dfrac{5\pi}{12}$ et de $\sin\dfrac{5\pi}{12}$

D'après les questions précédentes :

$z_D=4\text{e}^{i\frac{5\pi}{12}}=4(\cos\dfrac{5\pi}{12}+i\sin\dfrac{5\pi}{12})=4\cos\dfrac{5\pi}{12}+i4\sin\dfrac{5\pi}{12} =(\sqrt{6}-\sqrt{2})+i(\sqrt{6}+\sqrt{2})$

$\boxed{\textcolor{blue}{\cos\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\text{ et }\sin\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.}}}}$

EXERCICE 2

$(E)\text{ : }y''+4y=0$
1. Solution générale de $(E)$

On sait que les solutions d'une équation différentielle de type $y''+\omega^2y=0$ sont de la forme :

$y=\lambda_1 \cos(\omega x)+\lambda_2 \sin(\omega x)\text{ avec }\lambda_1 \text{ et }\lambda_2 \text{ réels}$

Nons avons :

$y''+4y=0\Longleftrightarrow y''+2^2y=0$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{La solution générale de }(E)\text{ est donc }y=\lambda_1 \cos(2x)+\lambda_2 \sin(2x) \text{ avec }\lambda_1\text{ et }\lambda_2\text{ réels}.}}}}$

2. Solution particulière de $(E)$

Nous avons :

$f(x)=\lambda_1 \cos(2x)+\lambda_2 \sin(2x)$

Donc :

$f'(x)=-2\lambda_1 \sin(2x)+2\lambda_2 \cos(2x)$

Donc :

$f(\dfrac{\pi}{6})=2\sqrt{3}\Rightarrow \lambda_1 \cos(2\times \dfrac{\pi}{6})+\lambda_2 \sin(2\times \dfrac{\pi}{6}) =2\sqrt{3}\Rightarrow \lambda_1 \cos\dfrac{\pi}{3}+\lambda_2 \sin\dfrac{\pi}{3}=2\sqrt{3}\Rightarrow \dfrac{1}{2}\lambda_1 +\dfrac{\sqrt{3}}{2}\lambda_2 =2\sqrt{3}\Rightarrow \lambda_1 +\sqrt{3}\lambda_2=4\sqrt{3}$

$f'(\dfrac{\pi}{6})=-4\Rightarrow -2\lambda_1 \sin(2\times \dfrac{\pi}{6})+2\lambda_2 \cos(2\times \dfrac{\pi}{6}) =-4\Rightarrow \lambda_1 \sin\dfrac{\pi}{3}-\lambda_2 \cos\dfrac{\pi}{3}=2\Rightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2}\lambda_1 -\dfrac{1}{2}\lambda_2 =2\Rightarrow \sqrt{3}\lambda_1 -\lambda_2 =4$

Résolvons le système :

$\left\lbrace\begin{array}l \lambda_1 +\sqrt{3}\lambda_2=4\sqrt{3} \\\\ \sqrt{3}\lambda_1 -\lambda_2 =4 \end{array} \Rightarrow \left\lbrace\begin{array}l \sqrt{3}\lambda_1 +3\lambda_2=12 \\\\ \sqrt{3}\lambda_1 -\lambda_2 =4 \end{array} \Rightarrow \cancel{\sqrt{3}\lambda_1} +3\lambda_2-\cancel{\sqrt{3}\lambda_1} +\lambda_2=12-4\Rightarrow 4\lambda_2 =8\Rightarrow \lambda_2=2$

Donc :

$\sqrt{3}\lambda_1- \lambda_2=4\Rightarrow \sqrt{3}\lambda_1-2=4\Rightarrow \lambda_1=\dfrac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{La solution particulière de }(E)\text{ est donc }y=2\sqrt{3}\cos(2x)+2 \sin(2x).}}}}$

3. Ecriture de $f$

On sait que :

$\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)$

Donc :

$4\cos(2t-\dfrac{\pi}{6})=4\left[\cos(2t)\cos\dfrac{\pi}{6}-\sin(2t)\sin\dfrac{\pi}{6}\right]=4\left[\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos(2t)-\dfrac{1}{2}\sin(2t)\right] =2\sqrt{3}\cos(2t)+2\sin(2t)=f(t)$

$\boxed{\textcolor{blue}{f(t)=4\cos(2t-\dfrac{\pi}{6}).}}}}$

4. Valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $[0,\pi]$

Pour une fonction $g$ sur un intervalle $[a,b]$ , la valeur moyenne de la fonction $g$ sur $[a,b]$ est le nombre :

$g_{moyenne}=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle {\int_a^b} g(x)\text{d}x$

Donc :

$f_{moyenne}=\dfrac{1}{\pi-0}\displaystyle {\int_0^{\pi}}f(x)\text{d}x=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle {\int_0^{\pi}}(4\cos(2t-\dfrac{\pi}{6})\text{d}x =\dfrac{2}{\pi}\left[ {\sin(2t-\frac{\pi}{6})\right]_{0}^{\pi}=\dfrac{2}{\pi}\left[\sin(2\pi-\dfrac{\pi}{6})-\sin(-\dfrac{\pi}{6}) \right] =\frac{2}{\pi}\left[\sin(\dfrac{\pi}{6})-\sin(-\dfrac{\pi}{6}) \right]=0$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{La valeur moyenne de }f\text{ sur }[0,\pi]\text{ est donc nulle.}}}}}$

PROBLEME

Partie A : étude d'une fonction auxilliaire

$g(x)=1-2x-2\ln x\text{ sur }]0,+\infty[$

1. Dérivée et tableau de variations

La fonction $g$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ comme somme de fonctions dérivables sur $]0,+\infty[$

$g'(x)=-2-2\times\dfrac{1}{x}=-2(1+\dfrac{1}{x})$

$\boxed{\textcolor{blue}{g'(x)=-2(1+\dfrac{1}{x}).}}}}$

$\forall x>0\text{, }1+\dfrac{1}{x}>0\Rightarrow -2(1+\dfrac{1}{x})<0\Rightarrow g'(x)<0$

La fonction $g$ est donc strictement décroissante sur $]0,+\infty[$

$\begin{tabvar}{|C|CCCCC|} \hline x & 0 && & & +\infty \\ \hline g'(x) & \dbarre& && - & \\ \hline \niveau{2}{3} g & \dbarre&\textcolor{blue}{+\infty} && \decroit & \textcolor{blue}{-\infty} \\ \hline \end{tabvar}$
Les limites figurant en bleu dans le tableau n'étaient pas demandées.

$\text{. }\underset{x\to 0}{\lim}g(x)=\underset{x\to 0}{\lim}(1-\underbrace{2x}_{\to 0}-\underbrace{2\ln x}_{\to -\infty}) =+\infty$

$\text{. }\underset{x\to +\infty}{\lim}g(x)=\underset{x\to +\infty}{\lim}(1-2x-2\ln x)=-\infty$

2. Solution pour l'équation $g(x)=0$ et encadrement à $10^{-2}$

$\text{. }g(\dfrac{1}{2})=1-2\times \dfrac{1}{2}-2\ln\dfrac{1}{2}=\cancel{1}-\cancel{1}-2(\underbrace{\ln1}_{=0}-\ln2)=2\ln2\approx 1,39>0$

$\text{. }g(1)=1-2\times 1-2\underbrace{\ln1}_{=0}=1-2=-1<0$

La fonction $g$ décroît strictement d'une valeur positive en $\dfrac{1}{2}$ à une valeur négative en $1$ donc :

$\boxed{\textcolor{blue}{g\text{ admet donc une valeur unique }\alpha\text{ telle que }g(\alpha)=0\text{ avec }\alpha\in]\dfrac{1}{2},1[.}}}}}$

Avec une calculatrice, on obtient :

$g(0,76)\approx 0,03 > 0 \text{ et } g(0,77)\approx -0,02 < 0$

$\boxed{\textcolor{blue}{0,76<\alpha<0,77}}}}}$

3. Signe de $g$ sur $]0,+\infty[$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{Si }x\in]0,\alpha]\text{, alors }g(x)\ge 0\text{. Si }x\in]\alpha,+\infty[\text{, }g(x)<0.}}}}}$

Partie B : étude de la fonction $f$

$f(x)=\dfrac{2x+\ln x}{x^2}+3\text{ sur }]0,+\infty[$

1-a. Limite de $f$ en $0$

$\underset{x\to 0^+}{\lim}2x+\ln x=-\infty\text{ et }\underset{x\to 0^+}{\lim}x^2=0^+ \text{ donc : }\underset{x\to 0^+}{\lim}\dfrac{2x+\ln x}{x^2}=-\infty \text{ et }$

$\boxed{\textcolor{blue}{\underset{x\to 0^+}{\lim}f(x)=-\infty}}}}}$

b. Pour tout réel $x$ strictement positif, on a :

$f(x)=\dfrac{2x+\ln x}{x^2}+3=\dfrac{2\cancel{x}}{x^{\cancel{2}}}+\dfrac{\ln x}{x^2}+3=\dfrac{\ln x}{x^2}+\dfrac{2}{x}+3$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{Donc : }\forall x\in\mathbb{R^{+*}}\text{, }f(x)=\dfrac{\ln x}{x^2}+\dfrac{2}{x}+3}}}}}$

$\underset{x\to +\infty}{\lim}f(x)=\underset{x\to +\infty}{\lim}[ \underbrace{\dfrac{\ln x}{x^2}}_{\to 0^+}+\underbrace{\dfrac{2}{x}}_{\to 0^+}+3]=3$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{Donc }\underset{x\to +\infty}{\lim}f(x)=3}}}}}$

c. Interprétation graphique des limites

$\text{. }\underset{x\to 0^+}{\lim}f(x)=-\infty$ , l'axe des ordonnées est donc une asymptote à la courbe de $f$

$\text{. }\underset{x\to +\infty}{\lim}f(x)=3$ , la droite d'équation $y=3$ est donc une asymptote à la courbe de $f$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{La courbe de }f\text{ admet donc les droites d'équations }x=0\text{ et }y=3\text{ comme asymptotes.}}}}}}$

2. Dérivée $f'$

La fonction $f$ est dérivable comme somme et quotient de fonctions dérivables sur $]0,+\infty[$ , dont le dénominateur ne s'annule pas sur $]0,+\infty[$ .

$f'(x)=\dfrac{\frac{1}{x}\times x^2-\ln x\times 2x}{x^4}-\dfrac{2}{x^2}=\dfrac{x-2x\ln x-2x^2}{x^4}=\dfrac{1-2x-2\ln x}{x^3}=\dfrac{g(x)}{x^3}$

$\boxed{\textcolor{blue}{f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^3}}}}}}$

3. Tableau de variations de $f$

$\forall x\in]0,+\infty[\text{, }x^3>0$

Le signe de $f'(x)$ est le même que celui du numérateur sur $]0,+\infty[$ , donc $f'(x)$ est du même signe que de celui de $g(x)$ .

Nous avons étudié ci-dessus à la question 3 de la partie A le signe de $g(x)$ , donc :

$\text{Si }x\in]0,\alpha[\text{, alors }g(x)>0\text{, donc }f'(x)>0\text{, donc }f\text{ croissante.}\\\\ \text{Si }x\in]\alpha,+\infty[\text{, alors }g(x)<0\text{, donc }f'(x)<0\text{, donc }f\text{ décroissante.}$

$\begin{tabvar}{|C|CCCCCC|} \hline x & 0 &&& \alpha & & +\infty \\ \hline f'(x) & \dbarre& &&& - & \\ \hline \niveau{2}{3} f & \dbarre&-\infty &\croit& f(\alpha)\approx 5,16 &\decroit & 3 \\ \hline \end{tabvar}$

4. Equation de la tangente $\mathcal{D}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$

Une équation de la tangente $\mathcal{D}$ peut s'écrire :

$y=f'(1)(x-1)+f(1)\Longleftrightarrow y=\dfrac{g(1)}{1^3}(x-1)+\dfrac{\ln 1}{1^2}+\dfrac{2}{1}+3\Longleftrightarrow y=-(x-1)+5\Longleftrightarrow y=-x+6$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{Une équation de la tangente }\mathcal{D}\text{ est donc }y=-x+6}}}}}$

5. Représentation graphique

Bac STL physique de laboratoire et de procédés industriels Métropole Septembre 2011 - terminale : image 4

Partie C : calcul d'aire

1. Représentation graphique du domaine $\large\varepsilon$

Bac STL physique de laboratoire et de procédés industriels Métropole Septembre 2011 - terminale : image 2

2. Fonction $H(x)=\dfrac{-\ln x-1}{x}$

Calculons $H'(x)=\dfrac{-\frac{1}{x}\times x-(-\ln x-1)\times 1}{x^2}=\dfrac{-1+\ln x+1}{x^2}=\dfrac{\ln x}{x^2}$

$\boxed{\textcolor{blue}{H\text{ est donc une primitive de }\dfrac{\ln x}{x^2}\text{ sur } ]0 ; +\infty[.}}}}}$

3. Valeur exacte du domaine $\large\varepsilon$

Sur l'intervalle $[1 ; \text{e }]$ , la fonction $f$ ne prend que des valeurs positives.

$\varepsilon=\displaystyle {\int_{1}^{\text{e}}}f(x)\text{d}x=\displaystyle {\int_{1}^{\text{e}}}(\frac{\ln x}{x^2}+\frac{2}{x}+3)\text{d}x =\displaystyle {\int_{1}^{\text{e}}}\frac{\ln x}{x^2}\text{d}x+\displaystyle {\int_{1}^{\text{e}}}\frac{2}{x}\text{d}x+\displaystyle {\int_{1}^{\text{e}}}3\text{d}x =\left[H(x) \right]_{1}^{\text{e}}+2\int_{1}^{\text{e}}\frac{1}{x}\text{d}x+\int_{1}^{e}3\text{d}x \\\\=H(\text{e})-H\displaystyle {(1)+2\left[ \ln x\right]_{1}^{\text{e}}+\left[ 3x\right]_{1}^{\text{e}} =\dfrac{-\ln \text{e}-1}{\text{e}}-\dfrac{-\cancel{\ln 1}-1}{1}+2\ln\text{e}-\cancel{2\ln 1}+3\text{e}-3 =\dfrac{-2}{\text{e}}+\cancel{1}+\cancel{2}+3\text{e}-\cancel{3}\\\\=3\text{e}-\dfrac{2}{\text{e}}\text{ u.a}$

$\boxed{\textcolor{blue}{\varepsilon=3\text{e}-\frac{2}{\text{e}}\text{ u.a}}}}}}$

Publié par TP/ le 10-06-2016

ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter

Merci à pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche

Cette fiche

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, Connectez vous
Forum de maths

forum de terminale
Plus de 147 320 topics de mathématiques en terminale sur le forum.