Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : Physique de Laboratoire et de Procédés Industriels
Métropole - Session Juin 2011

Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4
La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.
Le formulaire officiel est autorisé.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation des copies.
Une feuille de papier millimétré est fournie avec le sujet.

6 points

exercice 1

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (O ; $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ) direct d'unité graphique 1 cm.

Première partie

On considère le polynôme $P$ défini pour tout nombre complexe $z$ par : $P(z) = z^3 - z^2 + 2$ .
1. Montrer que -1 est une racine du polynôme $P$ .

2. Déterminer les réels $a$ , $b$ et $c$ tels que : $P(z) = (z + 1)(az^2 + bz + c)$ .

3. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation $P(z) = 0$ .

Deuxième partie

On appelle A, B, C et D les points d'affixes respectives : $z_{\text{A}} = - 1$ ; $z_{\text{B}} = 1 + \text{i}$ ; $z_{\text{C}} = 1 - \text{i}$ et $z_{\text{D}} = 1 - 4\text{i}$ .
1. Placer les points A, B, C et D dans le repère (O ; $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ).
    a) Déterminer le module et un argument des nombres complexes $z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ .
    b) Écrire $z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ sous la forme $r\text{e}^{\text{i}\theta}$ où $r$ est un réel strictement positif et $\theta$ est un réel compris entre $- \pi$ et $\pi$ .
    c) Montrer que le point B est l'image du point C par une rotation de centre O dont on précisera l'angle.

2. a) Montrer que le triangle ABD est rectangle en A.
    b) En déduire l'affixe du centre du cercle circonscrit au triangle ABD.
    c) Déterminer l'affixe du point E tel que le quadrilatère ABED soit un rectangle.

4 points

exercice 2

On estime qu'une batterie de téléphone portable perd, à chaque charge, 0,2% de sa capacité. La capacité initiale de la batterie, notée $C_{0}$ , est de 800 mAh (milliampères-heure). Pour tout entier naturel $n$ , on note $C_{n}$ la capacité restante après la $n$ -ième charge.

1. Donner les valeurs de $C_{1}, C_{2}$ et $C_{3}$ arrondies à l'unité près.
a) Justifier que pour tout entier naturel $n$ , $C_{n+1} = 0,998 C_{n}$ .
b) En déduire la nature de la suite $\left(C_{n}\right)$ . On donnera son premier terme et sa raison.

2. Exprimer $C_{n}$ en fonction de $n$ .

3. Calculer la valeur arrondie à l'unité près de la capacité restante de la batterie après 100 charges.

4. On considère que la batterie est hors d'usage lorsque sa capacité est inférieure à 10 mAh.
Déterminer à partir de combien de charges la batterie est hors d'usage.

10 points

probleme

La deuxième partie peut être traitée indépendamment de la première partie.

Première partie : résolution d'une équation différentielle

Dans cette partie, on se propose de déterminer une solution particulière de l'équation différentielle $(\text{E}) :\quad y' + y = 2x - \dfrac{3}{2}$ où $y$ représente une fonction de la variable $x$ , définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ .

1. Résoudre l'équation différentielle $\left(\text{E}_{0}\right) : \quad y' + y = 0.7$

2. Vérifier que la fonction $u$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $u(x) = 2x - \dfrac{7}{2}$ est une solution de l'équation différentielle (E).

3. Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $h(x) = C\text{e}^{-x} + u(x)$ où $C$ est un réel quelconque et $u$ la fonction définie à la question 2.
a) Vérifier que la fonction $h$ est solution de l'équation (E).
b) Déterminer le nombre réel $C$ tel que $h(0) = - \dfrac{1}{2}$ .

Deuxième partie : étude de la fonction $f$

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = 3\text{e}^{-x} + 2x - \dfrac{7}{2}$ et on appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O ; $\vec{i}$ , $\vec{j}$ ) d'unités 2 cm en abscisses et 1 cm en ordonnées.

1. a) Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ .
b) Justifier que pour tout nombre réel $x,\, f(x) = \text{e}^{-x}\left(2x\text{e}^{x} - \dfrac{7}{2}\text{e}^{x} + 3\right)$ , puis en déduire la limite de $f$ en $-\infty$ .
c) Montrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 2x - \dfrac{7}{2}$ est asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}$ . Préciser la position de $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{T}$ .

2. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ .

3. Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.

4. Tracer les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{T}$ , puis la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère (O ; $\vec{i}$ , $\vec{j}$ ).

Troisième partie : calcul d'une aire

On appelle $\mathcal{E}$ la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 2$ et $x = 4$ .

1. Donner une estimation de l'ordre de grandeur en cm² de l'aire de la partie $\mathcal{E}$ en calculant l'aire d'un trapèze que l'on précisera.

Rappel :

On rappelle que l'aire d'un trapèze est donnée par la formule $\dfrac{B + b}{2} \times h$ , où $B$ , $b$ et $h$ sont les longueurs respectives de la grande base, de la petite base et de la hauteur.

2. Calculer la valeur exacte de l'aire de la partie $\mathcal{E}$ en unités d'aire. Donner sa valeur arrondie en cm² à 0,01 cm² près.

Publié par TP/ le 30-11--0001

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