Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : Physique de Laboratoire et de Procédés Industriels
Métropole - Session Juin 2011
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4
La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.
Le formulaire officiel est autorisé.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation des copies.
Une feuille de papier millimétré est fournie avec le sujet.
6 points exercice 1
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (O ;

,

) direct d'unité graphique 1 cm.
Première partie
On considère le polynôme

défini pour tout nombre complexe

par :
.
1. Montrer que -1 est une racine du polynôme

.
2. Déterminer les réels

,

et

tels que :
 = (z + 1)(az^2 + bz + c))
.
3. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation
 = 0)
.
Deuxième partie
On appelle A, B, C et D les points d'affixes respectives :
;
;
et
.
1. Placer les points A, B, C et D dans le repère (O ;

,

).
a) Déterminer le module et un argument des nombres complexes

et

.
b) Écrire

et

sous la forme

où

est un réel strictement positif et

est un réel compris entre

et

.
c) Montrer que le point B est l'image du point C par une rotation de centre O dont on précisera l'angle.
2. a) Montrer que le triangle ABD est rectangle en A.
b) En déduire l'affixe du centre du cercle circonscrit au triangle ABD.
c) Déterminer l'affixe du point E tel que le quadrilatère ABED soit un rectangle.
4 points exercice 2
On estime qu'une batterie de téléphone portable perd, à chaque charge, 0,2% de sa capacité. La capacité initiale de la batterie, notée

, est de 800 mAh (milliampères-heure). Pour tout entier naturel

, on note

la capacité restante après la

-ième charge.
1. Donner les valeurs de

et

arrondies à l'unité près.
a) Justifier que pour tout entier naturel

,

.
b) En déduire la nature de la suite
)
. On donnera son premier terme et sa raison.
2. Exprimer

en fonction de

.
3. Calculer la valeur arrondie à l'unité près de la capacité restante de la batterie après 100 charges.
4. On considère que la batterie est hors d'usage lorsque sa capacité est inférieure à 10 mAh.
Déterminer à partir de combien de charges la batterie est hors d'usage.
10 points probleme
La deuxième partie peut être traitée indépendamment de la première partie.
Première partie : résolution d'une équation différentielle
Dans cette partie, on se propose de déterminer une solution particulière de l'équation différentielle
 :\quad y' + y = 2x - \dfrac{3}{2})
où

représente une fonction de la variable

, définie et dérivable sur

.
1. Résoudre l'équation différentielle
2. Vérifier que la fonction

définie sur

par :
 = 2x - \dfrac{7}{2})
est une solution de l'équation différentielle (E).
3. Soit

la fonction définie sur

par :
 = C\text{e}^{-x} + u(x))
où

est un réel quelconque et

la fonction définie à la question
2.
a) Vérifier que la fonction

est solution de l'équation (E).
b) Déterminer le nombre réel

tel que
 = - \dfrac{1}{2})
.
Deuxième partie : étude de la fonction 
On considère la fonction

définie sur

par :
 = 3\text{e}^{-x} + 2x - \dfrac{7}{2})
et on appelle

sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O ;

,

) d'unités 2 cm en abscisses et 1 cm en ordonnées.
1. a) Déterminer la limite de

en

.
b) Justifier que pour tout nombre réel
 = \text{e}^{-x}\left(2x\text{e}^{x} - \dfrac{7}{2}\text{e}^{x} + 3\right))
, puis en déduire la limite de

en

.
c) Montrer que la droite

d'équation

est asymptote oblique à la courbe

. Préciser la position de

par rapport à la droite

.
2. Étudier le sens de variation de la fonction

sur

.
3. Déterminer une équation de la tangente

à la courbe

au point d'abscisse 0.
4. Tracer les droites

et

, puis la courbe

dans le repère (O ;

,

).
Troisième partie : calcul d'une aire
On appelle

la partie du plan délimitée par la courbe

, l'axe des abscisses et les droites d'équations

et

.
1. Donner une estimation de l'ordre de grandeur en cm
2 de l'aire de la partie

en calculant l'aire d'un trapèze que l'on précisera.
Rappel :
On rappelle que l'aire d'un trapèze est donnée par la formule

, où

,

et

sont les longueurs respectives de la grande base, de la petite base et de la hauteur.
2. Calculer la valeur exacte de l'aire de la partie

en unités d'aire. Donner sa valeur arrondie en cm
2 à 0,01 cm
2 près.