Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Technologique
Série Techniques de la Musique et de la Danse
Métropole - Session Septembre 2011

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Une feuille de papier millimétré sera mise à la disposition des candidats.
Durée : 2 heures

LE CANDIDAT TRAITERA TROIS EXERCICES :
    OBLIGATOIREMENT L'EXERCICE 1
    OBLIGATOIREMENT L'EXERCICE 2
    AU CHOIX L'EXERCICE 3 OU L'EXERCICE 4
LE CANDIDAT INDIQUERA CLAIREMENT SON CHOIX SUR LA COPIE.
6 points

exercice 1

Un conservatoire organise un spectacle et auditionne des élèves de TMD. Parmi les élèves auditionnés, 80% sont des musiciens et les autres sont des danseurs. Le conservatoire retient pour le spectacle 75% des musiciens et 60% des danseurs.
On interroge au hasard un des élèves auditionnés.
Chaque élève auditionné a la même probabilité d'être interrogé.
On considère les évènements suivants :
    M : «l'élève interrogé est musicien» ;
    D : «l'élève interrogé est danseur» ;
    R : «l'élève interrogé est retenu pour le spectacle».
On note \overline{\text{R}} l'évènement contraire de l'évènement R.

1. Reproduire et compléter l'arbre de probabilités suivant qui correspond à cette situation.
bac TMD Métropole Septembre 2011 - terminale : image 1

2. a) Calculer la probabilité que l'élève interrogé soit musicien et soit retenu pour le spectacle.
    b) Démontrer que la probabilité de l'évènement R est 0,72.

3. Les évènements M et R sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.

4. Calculer la probabilité que l'élève interrogé soit musicien sachant qu'il est retenu pour le spectacle. On donnera la valeur décimale arrondie au centième.


7 points

exercice 2

Partie 1. Étude graphique

On donne ci-dessous, dans un repère orthogonal, la courbe \mathcal{C} représentative d'une fonction f définie sur l'intervalle [0,5 ; 3].
L'unité graphique est de 2 cm en abscisse et de 1 cm en ordonnée.
bac TMD Métropole Septembre 2011 - terminale : image 2


Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.

1. a) Donner, avec la précision que permet le graphique, les valeurs des nombres f(0,5) et f(3) ;
    b) du nombre réel \alpha de l'intervalle [0,5 ; 3] tel que f(\alpha) = 0 ;
    c) de la valeur minimale de la fonction f sur l'intervalle [0,5 ; 3].

2. Sur quel intervalle, la fonction f est-elle positive ?

Partie 2. Étude de la fonction

On désigne par ln la fonction logarithme népérien.
La fonction f représentée dans la partie 1 est définie, pour tout nombre réel x de l'intervalle [0,5 ; 3], par
f(x) = x^2 + 2x - 5 - 4\ln x.
On désigne par f^{\prime} la fonction dérivée de la fonction f.

1. Calculer, pour tout nombre réel x de l'intervalle [0,5 ; 3], f^{\prime}(x).

2. Développer l'expression (x - 1)( x + 2).

3. Démontrer que, pour tout nombre réel x de l'intervalle [0,5 ; 3]
f^{\prime}(x) = \dfrac{2(x - 1)(x + 2)}{x}.

4. Étudier le signe de la fonction dérivée f^{\prime} sur l'intervalle [0,5 ; 3].

5. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle [0,5 ; 3].


7 points

exercice 3 - Enseignement obligatoire (au choix)

Dans la gamme de tempérament égal :
    l'octave est divisée en 12 demi-tons égaux séparant les notes ; cela se traduit mathématiquement par le fait que la suite des fréquences des notes est une suite géométrique de raison q , où q est le nombre réel strictement positif tel que q^{12} = 2 ;
    une quinte juste contient sept demi-tons ; une quarte contient cinq demi-tons ;
    les notes d'une octave sont: DO, DO#, RÉ, RÉ#, MI, FA, FA#, SOL, SOL#, LA, LA#, SI ;
    à chaque octave est associé un indice n entier naturel; les notes d'une octave portent l'indice de cette octave; ainsi LA3 correspond à la note LA de l'octave d'indice 3 et LA4 correspond à la note LA de l'octave d'indice 4 située au-dessus de l'octave d'indice 3 ;
    la fréquence, exprimée en hertz (Hz), de la note LA3 est 440 Hz ;
    la différence de hauteur entre deux notes de fréquences f_{1} et f_{2} (avec f_{1} > f_{2}) est le nombre 10^3 \log \left(\dfrac{f_{1}}{f_{2}}\right) où log désigne la fonction logarithme décimal ; cette différence de hauteur s'exprime en savarts quand les fréquences sont exprimées en hertz.


Dans les questions 1. et 2., on ne tiendra pas compte des indices des octaves.

1. a) On part de la note LA. On ajoute quatre quintes. Quelle note obtient-on ?
    b) Montrer que l'on obtient la même note qu'au a) en retranchant quatre quartes de la note LA.

2. On désigne par n un entier naturel non nul.
    a) Établir la congruence 7n \equiv  - 5n (modulo 12).
    b) On ajoute n quintes à la note LA. Obtient-on la même note lorsque l'on retranche n quartes de la note LA ?

3. On part de la note LA3.
    a) Calculer la fréquence f_{1}, exprimée en hertz, de la note obtenue en ajoutant quatre quintes à la note LA3. On donnera la valeur arrondie à l'unité.
    b) Calculer la fréquence f_{2}, exprimée en hertz, de la note obtenue en retranchant quatre quartes de la note LA3. On donnera la valeur arrondie à l'unité.
    c) Calculer la différence de hauteur, exprimée en savarts, entre les deux notes obtenues aux questions 3. a) et 3. b) On donnera la valeur arrondie à l'unité.


7 points

exercice 4 - Enseignement renforcé (au choix)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O ; \vec{u},\vec{v}) où l'unité graphique est 2 cm.
On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument \dfrac{\pi}{2}.
On considère le point A d'affixe z_{\text{A}} = 1 - \text{i} et le point B d'affixe z_{\text{B}} = \sqrt{3} + \text{i}.

1. Calculer le nombre complexe \dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} sous forme algébrique, c'est-à-dire sous la forme x + \text{i}yx et y sont des nombres réels.
    a) Placer le point A dans le repère (O ; \vec{u},\vec{v}).
    b) Déterminer le module et un argument du nombre complexe z_{\text{A}}.
On pourra exploiter le graphique.

2. a) Sachant que le module du nombre complexe z_{\text{B}} est 2, démontrer qu'un argument de z_{\text{B}} est \dfrac{\pi}{6}.
    b) Construire le point B dans le repère (O ; \vec{u},\vec{v}). On laissera apparents les traits de construction.

3. a) À l'aide des résultats établis dans les questions 2. b) et 3. a), déterminer le module et un argument du nombre complexe \dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}.
    b) En déduire que : \dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} = \sqrt{2} \cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right) + \text{i}\sqrt{2} \sin \left(\dfrac{5\pi}{12}\right).
    c) Déterminer alors la valeur exacte de \cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right).
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