Baccalauréat Technologique
Série Hôtellerie
Métropole - Session Juin 2011

Durée de l'épreuve : 1 heure 30 Coefficient : 2

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.

8 points

exercice 1

Cet exercice a pour but d'étudier l'évolution du nombre de bactéries au cours du temps dans une situation de nature expérimentale.

On dépose un morceau de viande sur un comptoir l'été à 14 h 00, la température avoisine les 35°C. Ce morceau de viande contient 100 bactéries, et dans ces conditions, le nombre de bactéries double toutes les 15 minutes.
On note $u_{0}$ le nombre de bactéries à 14 h 00, $u_{1}$ le nombre de bactéries à 14 h 15, $u_{2}$ le nombre de bactéries à 14 h 30, et $u_{n}$ le nombre de bactéries $n$ quarts d'heure après 14 h 00, $n$ étant un entier naturel.

1. Recopier et compléter le tableau suivant (on suppose que les conditions ne changent pas durant tout le temps de l'expérience) :

Heure	14 h 00	14 h 15	14 h 30	14 h 45	15 h 00
Rang : $n$	0	1	2	3	4
Nombre de bactéries $u_{n}$	100

2. Si $u_{n}$ est le nombre de bactéries à un moment déterminé, $u_{n+1}$ correspond au nombre de bactéries 15 minutes plus tard.
Quelle est la relation entre $u_{n}$ et $u_{n+1}$ ?

3. Préciser la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ définie précédemment et sa raison.

4. Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .

5. Calculer le nombre de bactéries à 17 h 00.

6. On estime qu'à partir de 150 000 bactéries présentes dans un aliment, celui-ci a atteint un niveau impropre à la consommation pour l'être humain.
Jusqu'à quelle heure, arrondie au quart d'heure, l'être humain peut-il consommer sans risque le morceau de viande ?

12 points

exercice 2

Un restaurateur voudrait maintenant faire une étude sur le coût unitaire de fabrication d'un menu proposé dans sa carte.

Partie A :

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [1 ; 30] par : $f(x) = x + 50 -18\ln x$ .
1. Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ et montrer que la dérivée est $f'(x) = \dfrac{x -18}{x}$ .

2. Étudier le signe de la dérivée sur l'intervalle [1 ; 30].

3. En déduire le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [1 ; 30].

4. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant: (on arrondira les résultats à 10^-2 près).

$x$	1	5	10	15	18	20	25	30
$f(x)$

5. Représenter graphiquement la fonction $f$ dans un repère orthonormal :
Unités graphiques : 1 cm pour 2 unités sur les deux axes.

Partie B :

Le coût total de fabrication de $x$ menus en euros, est donné par la fonction : $g(x) = x^2 + 50x - 18x \ln x$ où $x$ est le nombre de menus fabriqués.
1. Montrer que le coût unitaire d'un menu est égal à $f(x)$ .

2. Déterminer alors le nombre de menus qu'il faut servir pour que le coût unitaire soit minimal. Quel est ce coût ?

3. Un menu est vendu 30 €. Combien faut-il vendre de menus pour ne pas être en déficit ?
Faire apparaître les traits de construction sur le graphique et répondre à la question.

Publié par TP/ le 30-11--0001

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